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2、3、2线性回归方程学案

2、3、2 线性回归方程
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出热 茶的杯数与当天气温的对照表: 气温/℃ 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64

如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.

一、 【学习目标】 1、理解相关关系,能判断两个变量之间是否是相关关系; 2、会求线性回归方程,理解其真正含义(估计). 二、 【自学内容和要求及自学过程】 阅读教材 86—89 页内容,回答问题(回归直线方程) <1>请你说出作散点图的步骤和方法. <2>请你说出正、负相关的概念. <3>什么是线性相关? <4>看人体的脂肪百分比和年龄的散点图 ,当人的年龄增加时 ,体内脂肪含 量到底是以什么方式增加的呢? <5>什么叫做回归直线? <6>如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想? 结论:<1>建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的 对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点 图.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量 之间的关系,即变量之间具有函数关系. b.如果所有的样本点都落在某一函 数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线 附近,变量之间就有线性相关关系) <2>如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关. 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. <3>如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的 关系. <4>大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正 相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析. <5>如下图;从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心 的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 , 这条直线叫做回归直线 (regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程 ),
1

那么我们就可以比较清楚地了解年 龄与体内脂肪含量的相关性 . 就像 平均数可以作为一个变量的数据的 代表一样 , 这条直线可以作为两个 变量具有线性相关关系的代表. <6>从散点图上可以发现 ,人体 的脂肪百分比和年龄的散点图 , 大 致分布在通过散点图中心的一条直线. 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢? 有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出 各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位臵,测量出 此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗? 有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的 点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近 的吗? 还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再 分别求出各条直线的斜率、 截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的 斜率和截距. 同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? (学生讨论: 1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳, 使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线 方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的 斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. 实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看, 各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算 回归方程的斜率与截距的一般公式

2

n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? i ?1 ?b ? ? ? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx.

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , ? nx
2

?x
i ?1

(1)

2 i

其中,b 是回归方程的斜率,a 是截距. 推导公式①的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下 得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的 变量(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 且所求回归方程 是 y =bx+a,其中 a、b 是待定参数.当变量 x 取 xi(i=1,2,…,n)时可以得到 y =bxi+a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的 yi 之 间的偏差是 yi- y =yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 这样,用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适 的.由于(yi- y )可正可负,为了避免相互抵消,可以考虑用
^ ^ ^ ^

?| y
i ?1

n

i

? yi |

^

来代替,但由于它含有绝对值,运算不太方便,所以改用 2 2 2 Q=(y1-bx1-a) +(y2-bx2-a) +…+(yn-bxn-a) ②来刻画 n 个点与回归直线在 整体上的偏差. 这样,问题就归结为:当 a,b 取什么值时 Q 最小,即总体偏差最小.经 过数学上求最小值的运算,a,b 的值由公式①给出. 通过求② 式的最小值而得出回归直线的方法, 即求回归直线, 使得样 本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法(method of least square). 三、 【综合练习与思考探索】 例 1 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的 影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表: 温度/℃ 热饮杯数 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程;
3

(4)如果某天的气温是 2 ℃,预测这天卖出的热饮杯数. 结论: (1)散点图如下图所示:

(2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气 温与热饮销售杯数之间呈负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此, 可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程

y =-2.352x+147.767.
(4)当 x=2 时, y =143.063.因此,某天的气温为 2 ℃时,这天大约可 以卖出 143 杯热饮. 思考:气温为 2 ℃时,小卖部一定能够卖出 143 杯左右热饮吗?为什 么? 这里的答案是小卖部不一定能够卖出 143 杯左右热饮,原因如下: 1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的, 存在随机误差, 这种误差可以导致预测结果的偏差. 2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于 x 的 预报值,能够与实际值 y 很接近.我们不能保证点(x,y)落在回归直线上, 甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上, y=bx+a+e= y +e. 这里 e 是随机变量,预报值 y 与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的 标准差所决定. 一些学生可能会提出问题:既然不一定能够卖出 143 杯左右热饮,那 么为什么我们还以“这天大约可以卖出 143 杯热饮”作为结论呢?这是因 为这个结论出现的可能性最大.具体地说, 假如我们规定可以选择连续的 3
4
^ ^ ^

^

个非负整数作为可能的预测结果, 则我们选择 142, 143 和 144 能够保证预 测成功(即实际卖出的杯数是这 3 个数之一)的概率最大. 例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数 x/千台 交通事故数 y/千件 95 6.2 110 7.5 112 7.7 120 8.5 129 8.7 135 9.8 150 10.2 180 13

(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系 ,如果不具有 线性相关关系,说明理由; (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 结论: (1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系. (2)计算相应的数据之和:

? xi =1 031, ? y i =71.6,
i ?1 i ?1

8

8

? xi2 =137 835, ? xi yi =9 611.7.
i ?1 i ?1

8

8

将它们代入公式计算得 b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 四、 【作业】 1、必做题:习题 2.3A 组 3、4,B 组 1、2; 2、选做题:完成课后练习. 五、 【课后练习】 1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 答案:D 2、三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( ) A. y =5.75-1.75x
^

B. y =1.75+5.75x

^

C. y =1.75-5.75x

^

5

D. y =5.75+1.75x 答案:D 3、已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元),有如下 统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

^

设 y 对 x 呈线性相关关系.试求: (1)线性回归方程 y =bx+a 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 答案: (1)b=1.23,a=0.08; (2)12.38. 4、我们考虑两个表示变量 x 与 y 之间的关系的模型,δ 为误差项,模型如 下: 模型 1:y=6+4x;模型 2:y=6+4x+e. (1)如果 x=3,e=1,分别求两个模型中 y 的值; (2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型. 解: (1)模型 1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型 2:y=6+4x+e=6+4×3+1=19. (2)模型 1 中相同的 x 值一定得到相同的 y 值,所以是确定性模型;模型 2 中相同的 x 值,因 δ 的不同,所得 y 值不一定相同,且 δ 为误差项是随机 的,所以模型 2 是随机性模型. 5、以下是收集到的新房屋销售价格 y 与房屋大小 x 的数据: 房屋大小 x 2 (m ) 销售价格 y (万 元) 80 18.4 105 22 110 21.6 115 24.8 135 29.2
^

(1)画出数据的散点图; (2)用最小二乘法估计求线性回归方程. 解: (1)散点图如下图.

6

(2)n=5,

? xi =545, x =109, ? y i =116, y =23.2,
i ?1 i ?1 5 i ?1

5

5

? xi2 =60 952, ? xi yi =12 952,
i ?1

5

b=

5 ? 12952 ? 545 ? 116 ≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509, 5 ? 60952 ? 545 2

所以,线性回归方程为 y=0.199x+1.509. 6、下列关系中,是带有随机性相关关系的是 ① 正方形的边长面积之间的关系; ② 水稻产量与施肥量之间的关系 ③ 人的身高与年龄之间的关系 ④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 答案: 两变量之间的关系有两种: 函数关系与带有机性的相关关系.①正方 形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系 不是严格的函数关系, 但是具有相关性, 因而是相关关系.③人的身高与年 龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定 时期身高就不发生明显变化了, 因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通 事故的发生率之间具有相关关系,因此填②、④. 7、现随机抽取某校 10 名学生在入学考中的数学成绩 X 与入学后的第一次 数学考试成绩 Y,数据如下: 学号 X Y 1 120 84 2 109 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71

问这 10 名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系? 答案:应用散点图分析, (图略)这 10 名同学的两次数学考试成绩具有相 关关系. 8、在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是( )

7

A、 (1) (2)

B、 (1) (3)
?

C、 (2) (4) ]

D、 (2) (3)

9、线性回归方程 y ? bx ? a 必过[ A、 (0,0)点 B、 ( x ,0)点

C、 (0, y )点心 D、 ( x, y )点

10、设有一个直线回归方程为 y=2-1.5x, 则变量 x 增加一个单位时 A、y 平均增加 1.5 个单位于 B、y 平均增加 2 个单位 C、y 平均减少 1.5 个单位 D、y 平均减少 2 个单位 10、下列变量之间的关系是相关关系的是 . ① 球的体积与半径的关系; ② 动物大脑容量的百分比与智力水平的关系; ③ 人的年龄与体重之间的关系; ④ 降雨量与农作物产量之间的关系. 11、要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响,在高一年级 学生中随机抽取了 10 名学生,他们的入学成绩与期末考试成绩如下表: 学生编号 入学成绩 X 期末成绩 Y 1 63 65 2 67 78 3 45 52 4 88 82 5 81 92 6 71 89 7 52 73 8 99 98 9 58 56 10 76 75

(1)若变量 X 与 Y 之间具有线性相关关系,求出回归直线方程. (2)若某学生的入学成绩为 80 分,试估计他的期末成绩;

8


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