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2013届高三第一次月考数理试题

2013 届闻一多中学高三第二次月考数学理科试题
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:吕长来 审题人:程贤林

一、 选择题(50 分) 1.已知 A={x|y= x ? 2 },B=(y|y=x2-2},则 A ? B=( A. [0, + ? ) B. [-2, 2] C.[一 2,+ ? ) ) D.[2,+ ? )

2.若 a , b 都是实数,则“ a3 ? b3 ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.下列命题中为真命题的是 A 命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B 命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C 命题 “若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D 命题“若 x2>x,则 x>1”的逆否命题 4.已知 a ? b ? 1,0 ? x ? 1,以下结论中成立的是
1 1 A. ( ) x ? ( ) x a b

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B. x ? x
a

b

C. logx ? logx
a

b

D. loga ? logb
x

x

5.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 ( ) A. -2 B.-
2 3

a 的值为 b

C.-2 或-

2 3

D.不存在

? x3 , x ? 0, 6.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? x2 ) > f ( x) ,则实数 x 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x>0.
( ) A (??, ?1) ? (2, ??) B (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) D. (?2,1)

7.若f (x )是定义在R 上的函数,对任意的实数x,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 4 和 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,且 f (3) ? 4 , f (2011) 的值是( ) A 2010 B 2011 C 2012 D 2013

8.已知 R 上可导函数 f (x) 的图象如图所示,则不等式 ( x 2 ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 的解 集为 A (??,?2) ? (1,??) B. (??,?2) ? (1,2) C (??,?1) ? (?1,0) ? (2,??) D (??,?1) ? (?1,1) ? (3,??) 9 某宾馆有 n(n ? N *) 间标准相同的客房,客房的定价将影响入住率.经调查分 析,得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表: 每间客房的定价 每天的住房率 220 元 50℅ 200 元 60℅ 180 元 70℅ 160 元 75℅

对每间客房,若有客住,则成本为 80 元;若空闲,则成本为 40 元.要使此 宾馆每天的住房利润最高,则每间客房的定价大致应为 A.220 元 B.200 元 C.180 元 D.160 元

10.对于函数 y ? f ( x)( x ? I ), y ? g ( x)( x ? I ), 若对于任意 x ? I , 存在 x0 , 使得

f ( x) ? f ( x0 ), g ( x) ? g ( x0 ) 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则称 f ( x), g ( x) 为“兄弟函数”.已
1 x2 ? x ? 1 知函数 f ( x) ? x ? px ? q( p, q ? R), g ( x) ? 是定义在区间 x ? [ , 2] 上的 2 x 1 “兄弟函数”,那么函数 f ( x) 在区间 x ? [ , 2] 上的最大值为 2
2

A.

3 2

B.2

C.4

D.

5 4

二、 填空题(25 分) 11.计算定积分 ? ( x2 ? sin x)dx =__________
?1 1

?1 ? x 2 , x ? 2, 12.已知函数 f ( x ? 2) ? ? ? x 则 f (1) = 2 , x ? 2, ?

___ .

13 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? 2kx(k ? R) 是偶函数,则 k=________,若方程 f ( x) ? m 有解,则实数 m 的取值范围为___________.

? 1 1 ? 2 0? 14.已知函数 f ( x) ? ? x     x ? c ,其中 c >0.且 f ( x) 的值域是 [? , 2] , 4 ? x 2 ? x  2 ? x ? 0 ? ? 则 c 的取值范围是__________________
1] 15 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上,

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 0 ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?

?1? ?3? f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为____ ?2? ?2?

三、 解答题(75 分) 16.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) 是定义在[- e , e ]上的奇函数,当
x ? (0, e] 时 f ( x) ? e x ? ln x .其中 e 是自然对数的底数.

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 的图象在点 P(-1,f (-1))处的切线方程. 19.(本小题满分 12 分)命题 p : 函数 f ( x) ? (2 ? 4a) x 是 R 上的减函数,命题 q: 函 数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 定义域为 R ,如果 为假命题,求实数 a 的取值范 “(?p) ? q” 围。

17.(本小题满分 12 分)
C1 B1

1 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ? AA1 , 2
?ACB ? 90? , D 是棱 AA 的中点. 1

A1

(Ⅰ)证明: DC1 ? BC ; (Ⅱ)求二面角 B ? DC1 ? C 的余弦值。

D C A B

??? ??? ? ? PB 18. (本小题满分 12 分)已知点 A(0,-2),B(0,4),动点 P(x,y)满足 PA ·

=y2-8. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹方程与直线 y=x+2 交于 C,D 两点,求证:OC⊥OD(O 为原 点).

19.(本小题满分 12 分)命题 p : 函数 f ( x) ? (2 ? 4a) x 是 R 上的减函数,命题 q: 函数 y ? lg(ax2 ? x ? a) 定义域为 R ,如果 为假命题,求实数 a 的取 “(?p) ? q” 值范围。

20.(本小题满分 13 分)是否存在实数 a,使函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a 的定义域 为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由。

21(本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,直线 l1 : x ? 2 ,直线 l : y ? ?t 2 ? 8t (其中 0 ? t ? 2 , t 为常数);若直线 l 1、 l 2 与函数 f ? x ? 的图象
2

以及 l2 、 y 轴与函数 f ? x ? 的图象所围成的封闭图形如 图阴影所示. (Ⅰ)求 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S ? t ? 的解析式; (Ⅲ)求 S ? t ? 的最小值。