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广东省深圳中学2013届高三第二次阶段测试数学理试题


试卷类型:A

深 圳 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 阶 段 测 试 理 科 数 学

本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡 相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信 息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案.答案不能答在试 卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案,不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求.

则 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6},集合 A ? {1,3,5}, B ? {1,2}, A ? ( сU B)=(
A. ? B. {5} C. {3} D. {3,5}
2.设直线 l1 与 l2 的方程分别为 a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 与 a2 x ? b2 y ? c2 ? 0, 则

)

“a1b2 ? a2b1 ? 0 ” l1 // l2 ”的 ( ) 是“
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知实数 a, b, c 满足 c ? b ? a, 且 ac ? 0, 那么( )

A. ab ? ac   B.c b ? a ) ? 0   (

C. cb 2 ? ab 2

D. ac(a ? c) ? 0

4.已知 {an } 是等差数列,且 a2 ? ?8, a15 ? 5 , S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则( )

A. S10 ? S11

B. S10 ? S11

C. S9 ? S10

D. S9 ? S10

? x 2 , x ? [0,1] ? 5.设 f ( x) ? ? 1 , 则 ? e f ? x ?dx 的值为( ) 0 ? , x ? (1, e] ?x
A. 1 B. 2 C.

4 3

D.

2 3

6.在四边形 ABCD 中, AB // CD, AB ? 3DC ,

E 为 BC 的中点. 则 AE ? (
2 1 AB ? AD 3 2 5 1 C. AB ? AD 6 3 A.
2

)

B.

1 2 AB ? AD 2 3 1 5 D. AB ? AD 3 6

7.点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0,?1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离和

的最小值是( )

A. 5

B. 3

C. 2

D. 2
f ( x) ? a x , 且 f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) , g ( x)

8. 已知定义在 R 上的函数若有穷数列,f ( x)、g ( x)满足

? f ( n) ? 31 f (1) f (?1) 5 ? ? ? , 若有穷数列 ? ? (n ? N ) 的前 n 项和等于 , 则 n 等于( ) 32 g (1) g (?1) 2 ? g ( n) ?
A.4 B.5 C.6 D. 7

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 将答案填在答卷指定位置上.

9.若双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为(4,0),则双曲线 a2 8

的渐近线方程为_______. 10.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S =__________.
11. 若函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点 x 0 ? [k , k ? 1),

则整数 k 的值为________.

12.已知偶函数 f (x) 在区间 [0,??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( )的x 取值范围 是____________. 13.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若( 3b ? c) cos A ? a cos C ,

1 3

则 cos A ? ____________?
14.如图,阴影部分区域 ? 是由线段 AC,线段 CB 及半圆所围成 的 图形(含边界),其中边界点的坐标为 A(1, 1), B (3, 3), C (1,3) . 当动点 P( x, y ) 在区域 ? 上运动时, 是_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? 3a cos 2 x ? (1)求函数 f (x) 的单调递减区间; (2)设 x ? [0, ], f ( x) 的最小值是-2,最大值是 3 , 求实数 a,b 的值.

y 的取值范围 x

3 a ? b(a ? 0) ? 2

?

2

16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2), 其中a3 ? 7. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知数列 {bn } 满足 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an ? 1

17.(本小题满分 14 分) 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元 ,门票每张为 30 元 ,变动成本与购票进入 旅游景点的人数的算术平方根成正比,一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一 天购票人数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x ,盈 利额为 y . (1)求 x 与 y 之间的函数关系式 y ? f (x) ;

(2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施(其它 条件不变),则每张门票至少要多少元(取整数)? 注:参考数据: 5 ? 2.24.

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? a , 其中常数 a ? R, e 为自然对数的底数. ex

(1)若 a ? 2, 求函数 f (x) 的图象在 x ? ?1 处的切线的方程; (2)若函数 f (x) 的极大值为 3,求 a 的值及 f (x) 的极小值. 19.(本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) ? y ? 1, 过抛物线 C 上一点
2 2 2

H ( x0 , y0 )( y0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线为 E、F 两
点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的 斜率; (3)若直线 AB在y 轴上的截距为 t , 求t 的最小值.

17 . 4

20.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 的图像过点 ( ?4n,0), 且f ' (0) ? 2n, 数列 {an } 满足
2

1 1 ? f ' ( ), a1 ? 4, n ? N ? . an ?1 an
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: b1 ? 1 , bnbn ?1 ? 求证:① b2 n ? b2 n ?1 ? b2 n ?1 ; ② b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ?bn ?

1 an ?1 ,当n ? 3, n ? N ?时, 2

2n ? 1 ? 1.

参考答案
第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合要求. A卷 l D 2 B 3 A 4 C B卷 1 C 2 A 3 B 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 5 C 6 A 7 D 8 B

第Ⅱ卷(非选择题

110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在答卷指定位置上.

9. y ? ? x ;
1 2 12. ( , ); 3 3

10.. 420 ;
13. 3 ; 3

11. 2 ;
14. 2 ? 3 ,3 .

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? 3a cos x ?
2

3 a ? b(a ? 0) ? 2

(1)求函数 f (x) 的单调递减区间; (2)设 x ? [0,

?
2

], f ( x) 的最小值是-2,最大值是 3 , 求实数 a,b 的值.

解: f ( x) ?

1 3a 3 a sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? a?b 2 2 2
…………………… 2 分

?

a 3a ? sin 2 x ? cos 2 x ? b ? a sin(2 x ? ) ? b. 2 2 3

(1)由 2k? ?

3? 5? 11? , 得k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ), 2 3 2 12 12 5? 11? , k? ? ], (k ? Z ). ……………………6 分 ? f (x) 的单调递减区间为: [k? ? 12 12 (注:单调减区间有等价形式同样得分,没有加 k? 扣 2 分.) ? 2x ? ? 2k? ?

?

?

(2)? 0 ? x ?

?
2

,? ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? , ?? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 2 3 3
………………………… 10 分

? f ( x) min ? ?

3 a ? b ? ?2, f ( x) max ? a ? b ? 3 , 2

(注:最大值与最小值少一个扣一分.)

? 3 a ? b ? ?2, ?a ? 2, ?? ?? 1 ?? ?b ? ?2 ? 3. ?a ? b ? 3. ?

………………………… 12 分

16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2), 其中a3 ? 7. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知数列 {bn } 满足 bn ?

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an ? 1

解:(1)由 an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2), 及a3 ? 7知2a2 ? 1 ? 7, 得a2 ? 3, 同理得 a1 ? 1. ……………………………………………………2 分

由an ? 2an ?1 ? 1(n ? 2)得an ? 1 ? 2(an ?1 ? 1 , ……………………………4 分 )
数列 {an ? 1} 是首项为 a1 ? 1 ? 2, 公比为 2 的等比数列.

故 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2

n ?1

,
n

化简得数列 {an } 的通项公式为 a n ? 2 ? 1. (2)? an ? 2 ? 1, ? bn ?
n

………………………………6 分 ………………………………8 分

n n ? n. an ? 1 2

? S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ?

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n , ① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n ② S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得: (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , …………………11 分 2 2 2 2 2 2 n?2 故 Sn ? 2 ? ……………………………………12 分 ? 2n

17.(本小题满分 14 分) 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成本与购票进入 旅游景点的人数的算术平方根成正比,一天购票人数为 25 时,该旅游景点收支平衡;一 天购票人数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元.设每天的购票人数为 x ,盈利额 为y. (1)求 x 与 y 之间的函数关系式 y ? f (x) ; (2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施(其它 条件不变),则每张门票至少要多少元(取整数)? 注:参考数据: 5 ? 2.24. 解:(1)根据题意,得 f ( x) ? ?

? 30 x ? k x ? 500 ( x ? N , x ? 100), ? 30 x ? k x ? 700 ( x ? N , x ? 100) ?

…………4 分

由 f ?25? ? 0得30 ? 25 ? k 25 ? 500 ? 0, 解得k ? 50.

……………7 分 …………………9 分

?30 x ? 50 x ? 500 ( x ? N , x ? 100), f ( x) ? ? ?30 x ? 50 x ? 700 ( x ? N , x ? 100).
(2)设每张门票价格提高到 m 元,根据题意,得

m ? 20 ? 50 20 ? 500 ? 0,

…………………12 分

?m ? 25 ? 5 5 ? 36.2.
答:每张门票最少要 37 元.

…………………………………… 13 分 ……………………………………14 分

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? a , 其中常数 a ? R, e 为自然对数的底数. ex

(1)若 a ? 2, 求函数 f (x) 的图象在 x ? ?1 处的切线的方程; (2)若函数 f (x) 的极大值为 3,求 a 的值及 f (x) 的极小值.

解: f ' ( x) ?

(2 x ? a )e x ? ( x 2 ? ax ? a )e x x[ x ? ?2 ? a )] ( ?? ? ? …………………… 2 分 2x e ex

(1)当 a=2 时, f ' ( x) ? ?

x2 , f ' (?1) ? ?e, ex

f ?? 1? ? e,

…………………4 分 …………………6 分

故直线的方程为: y ? e ? ?e( x ? 1),即ex ? y ? 0.
2

(2)①当 a =2 时, f ' ( x) ? ?

x ? 0, 函数 f (x) 在区间 (??,??) 上是增函数, f (x) 无极 ex
…………………………………………7 分

值,不合题意;

②当 a ? 2时, x, f ' ( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

x
f ' ( x) f (x)
调递减

(??,2 ? a )
- 单 小值

2?a
0 极 调递增

(2 ? a,0)

0 0

(0,??)
- 单 调递减

+ 单

极大值

所以 f (x) 的极大值为 f (0) ? a ? 3,

f (x) 的极小值为 f (2 ? a ) ? f (?1) ? (1 ? 3 ? 3)e ? e.
③当 a ? 2时,x, f ' ( x), f ( x) 的取值变化情况如下:

…………………………10 分

x
f ' ( x) f (x)

(??,0)
- 单调递减

0 0 极小值

(0,? a) 2
+ 单调递增
a?2

2?a
0 极大值

(2 ? a,??)
- 单调递减

所以 f (x) 的极大值为 ? (a ) ? f (2 ? a ) ? (4 ? a )e

,

…………………12 分

? ' (a) ? ?e a ? 2 ? (4 ? a)e a ? 2 ? (3 ? a)e a ? 2 ? 0, 故? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3, 不合题意.
综上,知 a ? 3, f ( x) 的极小值为 f (0) ? e. ……………………………………14 分 19.(本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) ? y ? 1, 过抛物线 C 上一点
2 2 2

H ( x0 , y0 )( y0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A、B 两点,分别交抛物线为 E、F 两
点,圆心 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的 斜率; (3)若直线 AB在y 轴上的截距为 t , 求t 的最小值.

解;(1)? 点M 到抛物线准线的距离为 4 ?

p 17 ? , 2 4

1 ? p ? , 即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x. ………………………………………4 分 2
(2)法一:?当?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, H (4,2), ? k HE ? ? k HF ,

设E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ),
y ?y y ?y y ?y y ?y ? xH ? x 1 ? ? xH ? x 2 , ? H 21 ? ? H2 2 2 , 2 ?y yH 1 y H ? y2 H 1 H 2

? y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4.

……………………………………7 分

y ?y y ? y1 1 1 k EF ? x2 ? x 1 ? 2 ? ?? ? 2 2 2 1 y2 ? y1 y2 ? y1 4

………………………………9 分

法二:? ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, 点H (4,2), ? ?AHB ? 60 , 可得
?

k HA ? 3 , k HB ? ? 3 , ?直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2,
联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ? , 得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0, 2 ?y ? x ?
……………………7 分

? yE ? 2 ?

3 3?6 13 ? 4 3 , ? yE ? , xE ? . 3 3 3

同理可得 y F ?

? 3?6 3

, xF ?

13 ? 4 3 1 , ? k EF ? ? . …………………9 分 3 4
y3 4? x , ? kH 4 ? y 3 , 3 x3 ? 4
/

(3)法一:设 A( x3 , y3 ), B ( x4 , y4 ),? k MA ? ?

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x3 ) x ? y3 y ? 4 x3 ? 15 ? 0, 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x4 ) x ? y4 y ? 4 x4 ? 15 ? 0,
2 ? (4 ? x3 ) y 0 ? y 3 y 0 ? 4 x3 ? 15 ? 0, 2 (4 ? x4 ) y0 ? y4 y0 ? 4 x4 ? 15 ? 0,

……………………………………11 分

2 2 ? 直线 AB 的方程为 (4 ? y0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0,

令 x ? 0, 可得 t ? 4 y0 ?

15 ( y0 ? 1), y0

……………………………………13 分

? t 关于 y0 的函数在 (1,??) 单调递增,? t mm ? ?11. ………………………14 分

法二:设点 H (m ,m)(m ? 1), HM ? m ? 7 m ? 16, HA ? m ? 7 m ? 15.
2 2 4 2 2 4 2

以 H 为圆心,HA 为半径的圆方程为 ( x ? m ) ? ( y ? m) ? m ? 7 m ? 15, …①
2 2 2 4 2

⊙M 方程: ( x ? 4) ? y ? 1.
2 2

??????????????????②

①-②得:
直线 AB 的方程为 (2 x ? m 2 ? 4)(4 ? m 2 ) ? (2 y ? m)m ? m 4 ? 7 m 2 ? 14. ??11 分
当 x ? 0 时,直线 AB在y 轴上的截距 t ? 4m ?

15 (m ? 1), m

??????13 分

? t 关于 m 的函数在 [1;??) 单调递增,

?tmin ? ?11.
20.(本小题满分 14 分)

???????????????????????14 分

已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 的图像过点 ( ?4n,0), 且f ' (0) ? 2n, 数列 {an } 满足
2

1 1 ? f ' ( ), a1 ? 4, n ? N ? . an ?1 an
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: b1 ? 1 , bnbn ?1 ? 求证:① b2 n ? b2 n ?1 ? b2 n ?1 ; ② b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ?bn ?

1 an ?1 ,当n ? 3, n ? N ?时, 2

2n ? 1 ? 1.
2

解:(1) f ' ( x) ? 2ax ? b, 有题意知 b ? 2n, 16n a ? 4nb ? 0,

1 1 ? a ? , b ? 2n, 则f ( x) ? x 2 ? 2nx, n ? N ? . 2 2
数列 {an } 满足

???????????2 分

1 1 ? f ' ( ) 又f ' ( x) ? x ? 2n, an ?1 an

1 1 1 1 ????????????4 分 ? ? 2n, ? ? ? 2n, an ?1 an an ?1 an 1 1 ? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2(n ? 1) ? n 2 ? n an 4 1 1 1 4 ? ? ( n ? ) 2 ? an ? ? (n ? N ? ), 1 2 (2n ? 1) 2 an 2 (n ? ) 2 当n ? 1 时,1 ? 4也符合, a ????????????????6 分 ?
所以数列 {an } 的通项公式为 an ?

4 ? (2n ? 1) 2

(2)①由 b1 ? 1 得 b2 ?

1 1 bb 2n ? 3 1 an ?1 ? 得 n n ?1 ? , , 由bnbn ?1 ? 2 2n ? 1 bn ? 2bn ?1 2n ? 1 3
……………………8 分



bn ? 2 2n ? 1 b2 n ?1 4n ? 1 ? ? ? ? 1 ? b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? bn 2n ? 3 b2 n ?1 4n ? 1



bn? 2 2n ? 1 1 1 5 4n ? 3 3 7 4n ?1 ? 及b1 ? 1, b2 ? 可得: b2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ,b2 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? . ? bn 3 7 4n ? 1 5 9 4n ? 1 2n ? 3 3

?

4n ? 3 4n ? 1 ? , ? b2 n ? b2 n ?1 ? 4n ? 1 4n ? 1
?

故 b2 n ? b2 n ?1 ? b2 n ?1 (n ? N ). ②由 bnbn ?1 ?

…………………………10 分

1 1 1 1 an ?1 ? 得 ? 2n ? 1, ? 2n ? 3. 2 2n ? 1 bnbn ?1 bn ? 2bn ?1

两式相减得 bn ?1 ?

1? 1 1? ? ?b ? b ?? ? 2 ? n?2 n ?

…………………………12 分

由①知: bn ? bn ?1 , ? 所以 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ?bn ? 1 ?

1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?b b b b 2? 3 bn ?1 bn ?1 ? 1 4 2 ?

1? 1 1 1 1? 1? 1 1? 1 1 ……14 分 ?1? ?? ? ? ? b b b ? b ? ? ?1 ? 2 ? b ? b ? ? ?1 ? b ? b ? 2n ? 1 ? 1. ? ? ? 2? 1 2 n ?1 n ? n ? n ?1 n ? n ?1


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