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江西省2014届新课程高三第二次适应性测试数学(文)试题 扫描版含答案


文科数学试题(二)命题解析

设计思路:主要考查平面向量数量积基本运算,容易题。 4.解: log 2 sin

?
8

? log 2 cos

?
8

= log 2 (sin

?

cos ) ? log 2 8 8

?

1 ? sin 2 4

3 ?? . 2

答案:B. 设计思路:主要考查三角函数与对数求值,中档题。 5. 解:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。 在△ABC 中,由余弦定理得:cosA= 由正弦定理得 sinB=
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60° 。 2bc 2bc 2

b sin A ,∵b2=ac,∠A=60° , a



c ac 1 2 3 。 ? 2 ? ? b sin B b sin 60? sin 60? 3

答案:C. 设计思路:主要考查余弦定理,正弦定理及其应用,中档题。 6. 解: f ?( x) ? 答案:B. 设计思路:主要考查导数知识,容易题。 7. 解:设公差为 d,

1 f ?(2) 1 , ?? . 2 2 ( x ? 1) f (2)

a4 2 ? a2 ? a8 ? a4 2 ? (a4 ? 2d ) ? (a4 ? 4d ) ? a4 ? 4d , a3 ? a6 ? a9 3a6 3(a2 ? 2d ) 18d ? ? ? ? 2. a4 ? a5 a4 ? a5 2 a4 ? d 9d

答案:A. 设计思路:主要考查等差数列与等比数列基本计算,中档题。 8.解:设 ?xOB ? ? ,则 sin ? ? 则 sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin( ? ?

4 3 , cos ? ? ? , 5 5
)? 4 1 3 3 4?3 3 ,选 D。 ? ? (? ) ? ? 5 2 5 2 10

?
3

答案:D. 设计思路:主要考查三角函数概念和求值,中档题。 9. 解 : 设 等 差 数 列

{log 2 (a n ? 1)}




公 d=1.



为 所

d.

由 以

a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8, l
2

an o ?

g ?

n (

? 即 a n ? 2 n??n . 得 a10 =210+1. 1 ? 1 1)

?

(

1

)

1

答案:A. 设计思路:主要考查数列与对数知识,考查综合应用知识能力,中高档题。 10. 解 :

S4

?S

0

? a ? a0 ? a ? ? ? a 0

? 0, 2

7



2

8

3973 a2014 =0, OP ? OQ =-2014+ S n ? a2014 =-2014. 答案:A. 设计思路:主要考查数列与向量及考查综合应用知识能力,中高档题。 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题目中的横线上。 ) 11.解:令 P(x,y), OP = OA + ? AB =(-1,1)+λ(3,-4)=(-1+3λ,1-4λ) ,则 x=-1+3λ <0,y=1-4λ<0,∴ 答案:

??? ???? ?

??? ??? ? ?

??? ?

1 1 <λ< . 4 3

1 1 <λ< . 4 3

设计思路:主要考查平面向量坐标运算,容易题。 12. 解:公差 d ? ? 答案:

1 10 ? 9 1 55 . ? a1 ? 5 , S10 ? 50 ? ? (? ) ? 2 2 2 2

55 . 2

设计思路:主要考查数列求和知识,中低档题。
2 13.解: f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 , f1 ( x) ? 2sin( x ?

?
4

) ,需

3? 图 ) ,与 f 2 ( x) ? 2sin 2 x 一样, 2 ? 1 象经过平移后能够与 f(x)重合; f 4 ( x) ? cos x( 3 sin x ? co s x) = ? sin(2 x ? ) ? ,需要 6 2
要周期变换才能得到 f(x); f3 ( x) ? ?2cos 2 x ? 2sin(2 x ? 振幅变换才能得到 f(x).

答案:B C. 设计思路:主要考查三角恒等变形和图形变换知识,中档题。 14. 解: f ( x) ? log 1
2

x = log 1 x ?2 2
2

1 x? 2 x

? log 1
2

3 ? , 当且仅当x= 2时等号成立. 2 2 2

1

答案:

3 . 2
2 cos 20? ? cos80? ? 4sin10? 1 2 cos 10 ? cos 2 10?
2 ?

设计思路:主要考查利用对数函数求最值问题,考查综合应用知识能力,中高档题。 15.解:1- 3 tan10° =4sin10° 原式= ,

?

2 2

? 2.

答案: 2. 设计思路:主要考查三角函数化简求值知识,中高档题。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 解 : (





???? ? 1 ???? ? 1 ? ???? ? 1 ??? ? 1 ? 1 ? ? ? 3? 1? AM ? b ? DC ? b ? a, AN ? a ? BC ? a ? (b ? a) ? a ? b ;……6 分 2 4 2 2 2 4 2 ? ? ???? 1 ??? ? ? ? (II) a ? 4 , DC ? AB , < a, b >= 60? ? b ? 2 ,……8 分 2 ???? ???? ? ? 1? ? 3? 1? 3 ? 2 1 ? 2 7 ?? 7 17 AM ? AN ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b ? a?b ? 3 ? 2 ? ? 4 ? 2cos 60? ? 4 4 2 16 2 8 8 2
。…12 分 设计思路:主要考查平面向量基本知识及其数量积运算知识,中档题。 17.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ?

2 cos x ? 2 sin( x ?

?
2

),

∴函数 f ( x) 的周期 T ? 2? . 函 数

………………2 分

y? (f 3

?

?2

x) ?

y ? 2 cos(2 x ? ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (? ? k? , ? k? )(k ? Z ) ; 单 调 递 减 区 间 为 3 3 6 ? 2? ( ? k? , ? k? )(k ? Z ) ……………6 分 6 3 ?? ? (II) m ? n ? (cos x ? sin x ? 2,sin x ? cos x) ,
| m ? n |= (cos x ? sin x ? 2) ? (sin x ? cos x)
2

?

2 c 3

?

o xs ?

(?

?

?

2 所) 以 x ? 3

?

函 2

数 c o

s

(

2

?? ?

2

= 4 ? 2 2(cos x ? sin x) = 4 ? 4 cos( x ?

?
4

) ∈[ 4 ? 2 2 , 2 2 ] ,

当x ?

?? ? 5? 时,| m - n |的最大值为 2 2 .………………12 分 4

设计思路:主要考查平面向量与三角函数的性质,中档题。 ? ? 18.解: (Ⅰ) f ? x ? ? a ? b ? 1 =(sin2x,2cosx)· 3 ,cosx) ? 1 ( = 3 sin2 x +2cos2 x ? 1= 3 sin2x+cos2x=2sin(2x+

? ) ,………………2 分 6

由已知 b2=ac,cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2bc 2bc 2bc 2

∴0<B≤

? ? 5? ? ? .2 B + ∈( , ] ,∴f(B) =2sin(2B+ )∈[1,2] 3 6 6 6 6

∴ 函数 f(B)的值域为[1,2] .………………6 分 (II)f(

A A ? )=2sin( + )= 3 , 4 2 6

∴sin( 分

3 A ? + )= 。………………………………………………………………………8 2 2 6

A ? ? A ? 2? + = 或 + = , 2 6 3 2 6 3 ? ∴ A= 或 A ? ? (舍去) 。………………………………………………10 分 3


1 1 ? 3 ??? ???? ? bc sin A ? ? 2 ? sin ? 由 AB ? AC ? 1 ,知 bc ? 2 ,△ ABC 的面积= 2 2 3 2 。………12
分 设计思路:主要考查平面向量与三角函数,数列和解三角形综合应用,考查综合应用知识能 力,中档题。 19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 1 ? sin 2 x ,其极值点为 x ? 分 它在 (0, ??) 内的全部极值点构成以
an ? π π 为首项, 为公差的等差数列,…………4 分 4 2 kπ π ? (k ? Z ) ,………………2 2 4

π π 2n ? 1 ? (n ? 1) ? ? π(n ? N *) .…………………………………………………………6 分 4 2 4 π (2n ? 1) ? 2n 。……………………………………………8 分 4

(II) bn ? 2n an ?

π ?Tn ? [1 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ] , 4 π 2Tn ? [1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] , 4 π 相减,得 ?Tn ? [1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1 ] 。 4

?Tn ?

π [(2n ? 3) ? 2n ? 3] 。…………………………………………………12 分 2

设计思路:主要考查三角函数和数列求和知识,中档题。 20. 解 :( Ⅰ ) 函 数

f ( x) ?

1 2

2

x?

的 义 a ?x l n ( ? x 1 )?(a 定 R) 域 是 a

(-1,+∞)……………………1 分 当a=2 时, f ' ( x) ? x ?2 ?

2 x( x ?3) , ? x ?1 x ?1

函数 f ( x)在(-1,0)递减,在(0, ??)上递增 ,所以函数 f (x)的极小值为 f (0) ? 0 ,无 极大值。

a x( x ? a ? 1) ? , 定义域是(-1,+∞)…………………………6 分 x ?1 x ?1 x( x ? a ? 1) ① 当 -a-1≤-1 即 a≥0 时 , 由 f ' ( x) ? ? 0 , 得 f(x) 的 增 区 间 为 (0,+∞) ; 由 x ?1 x( x ? a ? 1) <0,得 f(x)的减区间为(-1,0).……………8 分 f ' ( x) ? x ?1 x( x ? a ? 1) ②当-1<-a-1≤0 即-1≤a<0 时,由 f ' ( x) ? ? 0 ,得 f(x)的增区间为(-1, -a-1)和 x ?1 x( x ? a ? 1) (0,+∞);由 f ' ( x) ? <0,得 f(x)的减区间为(-a-1,0)。.……………10 分 x ?1 x( x ? a ? 1) ③当-a-1>0 即 a<-1 时,由 f ' ( x) ? ? 0 ,得 f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞); x ?1 x( x ? a ? 1) 由 f ' ( x) ? <0,得 f(x)的减区间为(0,-a-1). …………………12 分 x ?1
(II) f ' ( x) ? x ? a ? 综上,a≥0 时,f(x)的增区间为(0,+∞),减区间为(-1,0); -1≤a<0 时,f(x)的增区间为(-1, -a-1)和(0,+∞),减区间为(-a-1,0); a<-1 时,f(x)的增区间为(-1, 0)和(-a-1,+∞),减区间为(0,-a-1). …………………13 分 设计思路:主要考查函数与导数的综合运用,考查综合应用知识能力,难题。

21.(I)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,解方程组 ?b1 ? 2 ?a2 ? ?17 5 ? 得d = ? 10, q =2 q =- 舍去), ( ? ? 2 b1 (1 ? q 3 ) 2 =22, ?2a2 ? 7 d = ? 104, ?b1 q ? 1? q ? ? an =3-10n;bn =2n.???? 4分 (II)当n为偶数时,Tn ? a1 ? a2 ? ? ? a n)(b1 ? b2 ? ? ? bn) ( +
2 2

1 =- n(5n ? 4) ? 2 ? 2; 4 当n为奇数时Tn =(a1 ? a2 ? ? ? a n ?1)(b1 ? b2 ? ? ? bn ?1) +
2 2

n ?1 2

1 = ? (n ? 1)(5n ? 9) ? 2 4

n ?1 2

? 2;????10分 n?2 ? ?10 ? ?3? 2 2
n?2 2

当n为偶数时,Tn ? 2 ? Tn =a n ? bn
2 ?1 2

?1

? ? 5n ? 7 ? 2

n?2 2

, Tn 先减后增。

当n ? 8时,T10 ? T8 = ? 5 ? 8 ? 7 ? 25 ? ?15 ? 0, T10 ? T8 ; 当n ? 10时,T12 ? T10 = ? 5 ? 10 ? 7 ? 26 ? 7 ? 0, T10 ? T12 , ?当n为偶数时,有最小值T10 ? ?73;????12分 当n为奇数时,Tn ? 2 ? Tn =a n ?3 ? bn ?1 ? ?10 ?
2 2

n?3 ?3? 2 2

n ?1 2

? ?5n ? 12 ? 2

n ?1 2

, Tn 先减后增。

当n ? 11时,T13 ? T11 = ? 5 ? 11 ? 12 ? 26 ? ?3 ? 0, T13 ? T11 ; 当n ? 13时,T15 ? T13 = ? 5 ? 13 ? 12 ? 27 ? 51 ? 0, T13 ? T15 , ?当n为奇数时,有最小值T13 ? ?133; 比较T10,T13,可知Tn的最小值为T13 ? ?133.????14分
设计思路: 主要考查数列知识的综合运用, 考查综合应用知识能力, 分类讨论等能力。 难题。


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