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2017-2018学年人教A版高中数学选修4-7第1讲优穴三黄金分割法__0.618法二课件_图文

三 黄金分割法——0.618 法(二)
[学习目标] 1.能用 0.618 法解决不限定次数的优选问题,从而找到试验区间
中的最佳点. 2.掌握黄金分割法的操作过程,了解实验精度及对实验的控制.

[预习导引]

1.黄金分割法适用于目标函数为单峰的情形,该法是把试点安排在 _黄__金__分__割__点__来寻找最佳点的方法.

2.用 0.618 法确定试点的流程: (1)在因素范围[a,b]上确定第一个试点 x1= a+0.618(b-a). (2)在第一个试点 x1 的基础上,确定第二个试点 x2=a+b-x1,即
相当于“加两头,减中间”.

(3)在确定第 n 个试验点 xn 时,如果存优区间的好点是 xm,则 xn =小+大-xm .

3.衡量一种试验的效率是用存优范围与原始范围的比值来确定,这 个比值叫做 精度 ,它与试验的次数有关.n 次试验后的精度 δn
n次试验后的存优范围

= 原始的因素范围 ,0.618 法中 n 次试验后的精度δ =

_0_.6_1_8_n_-_1.在达到精度 δ 条件下的试验的次数 n 应满足:n≥ lg δ

+1.

lg 0.618

要点一 黄金分割法 例 1 关于黄金分割下列说法正确的有________.
(1)把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法,称为黄金分割法 (2)黄金分割法只适用于目标函数为单峰的情形 (3)第 1 试点确定在因素范围的 0.618 处,后续试点可以用“加两头, 减中间”的方法来确定; (4)用纸条长度表示因素范围,第 1 个试点确定在纸条长度的 0.618 处,第 2 个试点可采用对折纸条(两端点重合)与第 1 个试点重合处 确定,以后的试点均可以采用对折存优范围的纸条与前次好点重合 来确定; (5)第 n 个试点用 xn 表示,则 x1=小+0.618(大-小),xn=小+大- xm(n≥2,n∈N*,xm 为存优范围内相应的好点);
解析 由黄金分割的操作过程可知(1)(2)(3)(4)(5)都对.
答案 (1)(2)(3)(4)(5)

规律方法 黄金分割遵循两条原则: (1)试点关于[a,b]的中心a+2 b对称; (2)每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同; 在两条件原则基础上,可知本题与 5 种说法都对.

跟踪演练 1 用 0.618 法寻找某实验的最优加入量时,若当前存优范

围是[628,774], 好点是 718,则此时要做试验的加入点值是( )

628+774 A. 2

B.628+0.618×(774-628)

C.628+774-718 D.2×718-774

解析 由“加两头,减中间”知 C 项正确.

答案 C

要点二 0.618 法的应用 例 2 调酒师为了调制一种鸡尾酒,每 100 kg 烈性酒中需要加入柠
檬汁的量在 1 000 g 到 2 000 g 之间,现准备用黄金分割法找到 它的最优加入量. (1)写出这个试验的操作流程; (2)达到精度 0.001 需要多少次试验?
解 (1)试验可按以下步骤进行: ①做第一次试验.第一次试验的加入量为 (2 000-1 000)×0.618+1 000=1 618(g), 即取 1 618 g 柠檬汁进行第一次试验. ②做第二次试验.取第一试点的对称点作为第二次试点,这一试 点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按 下面公式计算):加两头,减中间,即第二试点的加入量为 1 000 +2 000-1 618=1 382(g).

③比较两次试验结果,如果第二试点比第一试点好,则去掉 1 618 g 以上的部分;如果第一试点较好,则去掉 1 382 g 以下部分.假定试 验结果是第一点较好,那么存优范围为[1 382,2 000],在此范围内 找出第一试点(即 1 618)的对称点做第三次试验,即第三次试验的加 入量为 2 000+1 382- 1618=1 764(g). ④再将第三次试验的结果与第一试点比较,如果仍然是第一试点好 些,则去掉 1 764 g 以上部分;如果第三试点好些,则去掉 1 618 g 以下部分.假设第三试点好些,则在留下部分(即[1 618,2 000])找出 第三试点(即 1 764)的对称点做第四次试验.第四试点加入量 2 000+ 1 618-1 764=1 854(g). ⑤第四次试验后,再与第二试点比较并取舍.在留下部分用同样方法 继续试验,直至找到最佳点为止. (2)0.618n-1≤0.001,得 n≥lg 0.001/lg 0.618+1,即 n≥16. 故需要 16 次试验.

规律方法 黄金分割法适用目标函数为单峰的情形,第 1 试验点 确定在因素范围的 0.618 处,后续试点可以用“加两头、减中间” 的方法来确定. 跟踪演练 2 已知一种材料的最佳加入量在 100 g 到 200 g 之间. 若用 0.618 法安排试验,则第一次试点的加入量可以是________g. 解析 用 0.618 法确定第一次试点的加入量由下面公式算出: 第一种方法为:(大-小)×0.618+小=(200-100)×0.618+100= 161.8. 第二种方法为:大-(大-小)×0.618=200-(200-100)×0.618= 138.2.
答案 161.8 或 138.2

要点三 黄金分割法的存优范围与精度 例 3 若某原始的因素范围是[100,1 100],现准备用黄金分割法 进行试验找到最优加入量.分别以 an 表示第 n 次试验的加入量(结果 都取整数). (1)求 a1,a2. (2)若干次试验后的存优范围包含在区间[700,750]内,请写出{an} 的前 6 项. (3)在条件(2)成立的情况下,写出第 6 次试验后的存优范围.
解 (1)由黄金分割法知:第一次的加入量 a1= 100+0.618×(1 100-100)=718. 所以 a2=100+1 100-718=482.

(2)因为[700,750]包含存优范围, 所以最优点在区间[700,750]上. 由此知前两次试验结果中, 好点是 718,所以此时存优范围取[482,1 100], 所以 a3=482+1 100-718=864. 同理可知第三次试验后, 好点仍是 718,此时存优范围是[482,864]. 所以 a4=482+864-718=628. 同理可求得 a5=628+864-718=774. a6=628+774-718=684. (3)由(2)知第 6 次试验前的存优范围是[628,774], 又 718 是一个好点,第 6 次试验点是 684, 比较可知 718 是好点,去掉 684 以下的范围, 故所求存优范围是[684,774].

规律方法 (1)在因素范围[a,b]上确定第一个试点 x1=a+0.618(b -a),在第一个试点 x1 的基础上,确定第二个试点 x2=a+b-x1, 若 x1 为好点,则存优范围为[x2,b];若 x2 为好点,则存优范围为 [a,x1]. (2)在新的存优范围重复上述过程,就得到更小的存优范围.

跟踪演练 3 用 0.618 法确定试点,则经过 5 次的试验后,存优

范围缩小为原来的

()

A.0.618

B.0.6184

C.0.6185

D.0.6186

解析 由 n 次试验后的精度 δn 计算公式

δn=0.618n-1 可知 5 次试验后的精度是 0.6184,

即存优范围缩小为原来的 0.6184.

故选 B.

答案 B

1.黄金分割法是适用于单因素单峰目标函数的情形的优选法. 2.黄金分割法第 1 试点确定在因素范围的 0.618 处,后续试点
可以用“加两头,减中间”的方法来确定. 3.黄金分割法 n 次试验后,存优范围缩小为原来的 0.618n-1,
即 n 次试验后的精度为 δn=0.618n-1.