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江苏省七校2017届高三上学期期中联考试题 数学Word版含答案.doc


2017 届高三七校联考期中考试数学试卷
第Ⅰ卷 说明:本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应位 ....... 置上 . .. 1.已知复数 z1=1+3i, z2=3+i(i 为虚数单位). 在复平面内, z1-z2 对应的点在第 限. 2.某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分 成六段:[40,50), [50,60),?,[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示),则分数在[70,80)内的人数 是 ▲ . ▲ 象 2016 年 11 月

S←1 I←3 While S≤200 S←S×I I←I+2 End While Print I (第 2 题) (第 4 题)

3.在△ ABC 的边 AB 上随机取一点 P,记△ CAP 和△ CBP 的面积分别为 S1 和 S2,则 S1>2S2 的概率是 ▲ . ▲ . ▲ .

4.执行右上边的伪代码,输出的结果是 5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

a5 5 S ? ,则 5 ? a3 3 S3

6.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? ax(a ? R) ,且 f (2) ? 6 ,则 f (1) ? ▲ .

7. 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示 . 则

A ?? ?? =

▲ y 2

O

? 3

5? 6

x

(第 7 题)

r r r r ? ? 8.如图,在 2 ? 4 的方格纸中,若 a 和 b 是起点和终点均在格点的向量,则向量 2a ? b 与 a ? b
的夹角余弦值是 ▲ . 1 2 9.已知 0<α<β<π,且 cosαcosβ= ,sinαsinβ= ,则 tan(β-α)的值为 5 5 x+8y 10.正数 x、y 满足 x+2y=2,则 的最小值为 xy ▲ . ▲ .

11.已知直线 l:x-y=1 与圆 M:x2+y2-2x+2y-1=0 相交于 A,C 两点,点 B,D 分别在 圆 M 上运动,且位于 直线 AC 两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值为 ▲ . 12.如图,梯形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 ,
uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AC ? BD ? ?14 ,则 AD ? BC ?





13.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn=kn2+n, n∈N*, 其中 k 是常数. 若对于任意的 m∈N*, am,a2m,a4m 成等比数列,则 k 的值为 14 . 若 ▲ .

f ( x) ? x ? 1 ? a ln x, g ( x) ?

ex ,a ? 0 ex











x1, x2 ??3,4? ? x1 ? x2 ? , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?|
为 ▲ .

1 1 ? | 的恒成立,则实数 a 的取值范围 g ( x1 ) g ( x2 )

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程活盐酸步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 V ABC 中,已知 C ? (1) 求 A 的值; → → (2) 若点 D 在边 BC 上,且 3BD=BC,AD= 13,求△ ABC 的面积.

?
6

,向量 m ? ? sin A,1? , n ? ?1,cos B ? ,且 m ? n .

?

?

?

?

16. (本小题满分14分)

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点. (1)求证:A1C∥平面AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D,求证:平面 AB1D⊥平面 ABM.

A1

B1

C1

M

A

D
B

C

17.(本小题满分 14 分)

2 x2 y2 已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0), 离心率为 , 左准线方程是 x ? ?2 , 设 O 为原点, a b 2
点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求Δ AOB 面积取得最小值时,线段 AB 的长度;

y B

A O x

18.(本小题满分 16 分)

如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD,其中 BMN 是半径为
? 上选一点 P 1 百米的扇形,?ABC ? 2π . 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路: 在 MN (异 3

于 M、N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ. (1).若 ?PBC ?

?
3

,求 PQ 的长度;

? 与 PQ 及 QD 的总长最小?并说明理由. (2).当点 P 选择在何处时,才能使得修建的小路 MP

A

D Q

M

P

B

N

C

19.(本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2 ? an , n ? 1, 2,3g g g. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 Cn ?

n ? 3 ? bn ? 15 ,数列 {Cn } 的前 n 项和为 Tn ? .求 n . 8 2

20. (本小题满分 16 分) 对于两个定义域均为 D 的函数 f(x),g(x),若存在最小正实数 M,使得对于任意 x∈D, 都有|f(x)-g(x)|≤M,则称 M 为函数 f(x),g(x)的“差距”,并记作||f(x),g(x)||.

(1)求 f(x)=sinx(x∈R),g(x)=cosx(x∈R)的差距; a a (2)设 f(x)= x(x∈[1,e2]),g(x)=mlnx(x∈[1, e2]).(e≈2.718) ①若 m=2,且||f(x),g(x)||=1,求满足条件的最大正整数 a; ②若 a=2,且||f(x),g(x)||=2,求实数 m 的取值范围.

2017 届高三七校联考数学试卷
第Ⅱ卷 附加题部分 说明:本部分共 4 大题,每题 10 分,共 40 分.考试时间为 30 分钟. 请在相应的答题区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21(B). (选修4-2:矩阵与变换) 已知 a、b∈R,若 M= ? a、b.

? ?1 a ? ? 所对应的变换 T 把直线 2x-y=3 变换成自身,试求实数 ? b 3?

21(C). (选修4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知点 P ? 2 3, 离.

? ?

??

?? ? ? ,直线 l : ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距 6? 4? ?

22. (本小题满分 10 分) 已知曲线 C:y2=2x-4. (1) 求曲线 C 在点 A(3, 2)处的切线方程; (2) 过原点 O 作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两不同点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

23. (本小题满分 10 分) 已知整数 n≥4,集合 M={1,2,3,?,n}的所有含有 4 个元素的子集记为 A1,A2, A3,?, AC 4 .
n

设 A1,A2,A3,?, AC 4 中所有元素之和为 Sn.
n

(1) 求 S4 , S5 , S6 并求出 Sn;
6 (2) 证明:S4+S5+…+Sn= 10Cn ?2 .

参考答案及评分标准 2017 届高三七校联考期中考试数学试卷
第Ⅰ卷 2016 年 11 月 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.已知复数 z1=1+3i, z2=3+i(i 为虚数单位). 在复平面内, z1-z2 对应的点在第 限. 答案:二 解析:z1-z2=(1-3)+(3-1)i=-2+2i,从而 z1-z2 在第二象限. 本题考查了复数的四则运算.本题属于容易题. 2.某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分 成六段:[40,50), [50,60),?,[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示),则分数在[70,80)内的人数 是 ▲ . ▲ 象

答案:30 解析:由题设可知 a=0.03,从而[70,80)人数为 0.03× 10× 100=30 人. 本题考查频率直方图的基础知识,属于容易题. S←1 I←3 While S≤200 S←S×I I←I+2 End While Print I

(第 2 题)

(第 4 题)

3.在△ ABC 的边 AB 上随机取一点 P,记△ CAP 和△ CBP 的面积分别为 S1 和 S2,则 S1>2S2 的概率是 1 答案: 3 容易题. ▲ .

PA 1 解析:由题设可知 P(S1>2S2)= = .本题考查几何概型的基础知识.本题属于 PB 3

4.执行右上边的伪代码,输出的结果是 答案:11





解析:由流程图知 S ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9, I ? 11 .本题考查流程图中当循环语句.本

题属于容易题. 5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

a5 5 S ? ,则 5 ? a3 3 S3



答案:

5 .本题主要考查等差数列的通项、前 n 项和公式.本题属于容易题. 2

2 6 . 已 知 函 数 y ? f ( x ) 是 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x , 且 f ( 2 )? 6, 则 ? ax ( a ? R)

f (1)?

. y

答案: 4 .本题属于容易题. 7.设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? 图象如图所示.则 A ? ? ? ? = ▲ O

?
2

?? ?

?
2

, x ? R) 的部分

2

答案: 3 ?

? .本题考查三角函数的图像和性质.本题属于容易题. 6
? ?

? 3

5? 6

8.如图,在 2 ? 4 的方格纸中,若 a 和 b 是起点和终点均在格点的向量,

r r r r 则向量 2a ? b 与 a ? b 的夹角余弦值是 ▲ .
答案: ?
10 本题主要考查向量的运算.本题属于中等题. 10

1 2 9.已知 0<α<β<π,且 cosαcosβ= ,sinαsinβ= ,则 tan(β-α)的值为 5 5 答案:



4 .本题考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式.本题属于中等题. 3
▲ .

x+8y 10.正数 x、y 满足 x+2y=2,则 的最小值为 xy 答案: 9

x+8y 1 ? 1 8 ? 1 x y 1 1 解析: = ? ? ? (x+2y)= (2+8+ + · 16)≥ (10+2 16)= ×18=9, xy 2 y x 2 2 2? y x?

x 1 4 当且仅当 =4,x+2y=2,即 y= ,x= 时“=”成立.本题考查基本不等式综合应用.本 y 3 3 题属于中等题.

11.已知直线 l:x﹣y=1 与圆 M:x2+y2﹣2x+2y﹣1=0 相交于 A,C 两点,点 B,D 分别在圆 M 上运动,且位于直线 AC 两侧,则四边形 ABCD 面积的最大值为 ▲ . 答案: 30 .本题考查直线与圆的位置关系.本题属于中等题. 12.如图,梯形 ABCD 中, AB / / CD , AB ? 6 , AD ? DC ? 2 ,
uuu r uuu r uuu r uuu r 若 AC ? BD ? ?14 ,则 AD ? BC ?





答案: ?2 . 13. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn=kn2+n, n∈N*, 其中 k 是常数. 若对于任意的 m∈N*, am,a2m,a4m 成等比数列,则 k 的值为 ▲ .

答案:0 或 1 解析:∵ Sn=kn2+n,∴ 数列{an}是首项为 k+1 公差为 2k 的等差数列,an =2kn+1-k.
2 2 又对于任意的 m∈N*都有 a2 2m=ama4m,∴ a2=a1a4,(3k+1) =(k+1)(7k+1),解得 k=0 或

1. 又 k=0 时 an=1,显然对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 成等比数列;k=1 时 an=2n,am =2m,a2m=4m,a4m=8m,显然对于任意的 m∈N*,am,a2m,a4m 也成等比数列.综上所 述,k=0 或 k=1. 本题主要考查等差数列、等比数列的有关知识,考查推理变形的能力.本题属于中等题. 14. 若

f ( x) ? x ? 1 ? a ln x, g ( x) ?

ex ,a ? 0 ex











x1,

??x2

??3

1 1 ( x1 ) ? f x (2x2 ) |?| , ? | ? , ? |xf 4 1 g ( x1 ) g ( x2 )
▲ .

的恒成立,则实数 a 的取值范围为 答案: [3 ? 则

2 2 1 e , 0) ,解析:易知 f ( x ), 在 x ? ?3, 4? 上均为增函数,不妨设 x1 ? x2 , 3 g ( x)

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| f ( x2 ) ?

1 1 ? | g ( x1 ) g ( x2 )







f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 1 ? g ( x2 ) g ( x1 )



1 1 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) g ( x1 )

1 ex 令 h( x) ? f ( x) ? ? x ? 1 ? a ln x ? ,则 h( x) 在 x ??3, 4? 为减函数, g ( x) ex
则 h( x ) ? 1 ?
' x e x ?1 a e ? x ? 1? x ?1 ? a ? x ? e ? , x ??3, 4? 恒成 x ? (3, 4) ? ? 0 在 上恒成立, x x ex 2

立 令

u ( x) ? x ? e x ?1 ?

e x ?1 , x ? ?3, 4? x



? u '( x) ? 1 ? e x ?1 ?

2 ? e x ?1 ( x ? 1) 1 ? 3? x ?1 ? 1 ? 1 ? e ? ?? ? ? ? , x ? ?3, 4? x2 x 2 ? ? 4? ? ? ?

Qe

x ?1

?? 1 1 ? 2 3 ? 3 2 ?? ? ? ? ? ? e ? 1,? u '( x) ? 0 , ? u ( x) 为减函数, ? u ( x) 在 x ??3, 4? 的 ?? x 2 ? 4 ? ? 4 ?
2 2 e 3

最大值为 u (3) ? 3 ?

综上,实数 a 的取值范围为 [3 ?

2 2 e , 0) . 3

本题主要考查函数导数的有关知识,考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力.本题属 于难题. 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 14 分)在 V ABC 中,已知 C ? 且m ? n . (1) 求 A 的值; → → (2) 若点 D 在边 BC 上,且 3BD=BC,AD= 13,求△ ABC 的面积. 解 (2 分) 又 (4 分) 即 (6 分) 又 0<A< (7 分) 注:不写范围扣 1 分. π → → → → → (2) 设|BD|=x,由 3BD=BC,得|BC|=3x,由(1)知 A=C= ,所以|BA|=3x,B= 6 2π . 3 sinA - 3 2 cosA + 1 2 sinA = 0 , 即 sin C = π , A + B + C = π , 所 以 6 sinA + cos ( : (1) 由 题 意 知 m· n = sinA + cosB = 0 ,
? ?

?
6

,向量 m ? ? sin A,1? , n ? ?1,cos B ? ,

?

?

5? ? A) = 0 , 6

(A ? ) 6

?



0.

? 5π π 2π π π , 所 以 (A ? ) ∈ ( - , ),所以 A- =0,即 A= . 6 6 3 6 6 6

在 △ ABD 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 ( (10 分) 解 (12 分) 所 以 (14 分) S


13 )2 = (3x)2 + x2 - 2× 3x× xcos

2π , 3



x



1







AB



BC



3



ABC



2π 1 1 9 3 BA · BC · sinB = × 3 × 3 × sin = . 2 2 3 4

16. (本小题满分14分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点. (1)求证:A1C∥平面AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D,求证:平面 AB1D⊥平面 ABM. 证明:(1) 记 A1B∩AB1=O,连接 OD. ∵四边形 AA1B1B 为矩形,∴O 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点,∴A1C∥OD. 又∵A1C? ∕平面 AB1D,OD? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ?……6 分 ?……2 分
A
A1
B1

C1

M

D
B

C

注意:条件“A1C? ∕平面 AB1D,OD? 平面 AB1D”少写一个扣除 2 分,两个都不写本小步 4 分扣完! (2)∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ?……8 分
O

A1 B1

C1

M

∵平面 ABC⊥平面 BB1C1C, 平面 ABC∩平面 BB1C1C=BC,AD? 平面 ABC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 【或利用 CC1⊥平面 ABC 证明 AD⊥平面 BB1C1C.】 ∵BM? 平面 BB1C1C,∴AD⊥BM. 又∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D? 平面 AB1D, ∴BM⊥平面 AB1D. 又∵BM? 平面 ABM,∴平面 AB1D⊥平面 ABM. ?……14 分 ?……10 分 ?……12 分
A

D
B

C

2 x2 y2 17. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0),离心率为 ,左准线方程是 a b 2
x ? ?2 ,设 O 为原点,点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求Δ AOB 面积取得最小值时,线段 AB 的长度;
A O x y B

?c 2 ? ? ?a? 2 ?a 2 ,解得 ? 解析:(1)设椭圆的半焦距为 c ,则由题意的 ? ? 2 ?c ? b ? 1 ? ? a ?2 ? ? c
x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.........4 分 2 (2)由题意,直线 OA 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k, 若 k=0,则 A( 2,0)或(- 2,0),B(0,2),此时Δ AOB 面积为 2,AB= 6.6 分 x2 若 k≠0,则直线 OA:y=kx 与椭圆 +y2=1 联立得: 2 (1+2k2)x2=2,可得 OA= 1+k2? 2 1+2k2 , 8分

直线 OB:y=-

1 x 与 y=2 联立得:B(-2k,2),则 OB=2 k 1+k2 1+2k2 1+2k2>1,

1+k2,

10 分

1 SΔ OAB= OA?OB= 2? 2

,令 t=

12 分

t2-1 1+ 2 2 1 则 SΔ OAB= 2? = (t+ )> 2, t 2 t 所以 SΔ OAB 的最小值为 2,在 k=0 时取得,此时 AB= 6. ..........14 分

(注:若利用 SΔ OAB=

2 1 (t+ )≥ 2,忽略 k≠0 的条件,求出答案的,本问给 2 分) 2 t

18.(本小题满分 16 分)如图,某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD,其 中 BMN 是半径为 1 百米的扇形, ?ABC ? 2π .管理部门欲在该地从 M 到 D 修建小路:在 3

? ? 上选一点 P(异于 M、N 两点) ,过点 P 修建与 BC 平行的小路 PQ.(1).若 ?PBC ? , MN
3
? 与 PQ 及 QD 的总长最 求 PQ 的长度; (2)当点 P 选择在何处时,才能使得修建的小路 MP

小?并说明理由. 解. (1)连接 BP , 过 P 作 PP 1 ? BC 垂足为 P 1 , 过 Q 作 QQ 1 ? BC 垂足为 Q 1 在 Rt ?PBP 1 中, PP 1 ? QQ1 ?

3 1 , BP , PQ ? 1 ……………4 分 1 ? CQ1 ? 2 2
A M B P D Q

N

C

? ? 2π ? ? (2)设 ?PBP 0 ? ? ? 2π , MP 1 ?? 3 3

?

?

若 0 ? ? ? ? ,在 Rt ?PBP 1 中, PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若 ? ? ? , 则 PP 1 ? sin ?,BP 1 ? cos ? 2 若

? ? ? ? 2? ,
2 3



3 sin ? …………………8 分 PP 1 ? sin? , BP 1 ? cos(? ? ? ) ? ? cos? , ? PQ ? 2 ? cos? ? 3
在 Rt ?QBQ1 中, QQ1 ? PP CQ1 ? 3 sin ?,CQ ? 2 3 sin ? , DQ ? 2 ? 2 3 sin ? 1 ? sin ?, 3 3 3 所以总路径长
f (? ) ? 2? ? ? ? 4 ? cos? ? 3 sin? (0 ? ? ? 2? ), 3 3

……………

……………10 分
f ' (? ) ? sin? ? 3 cos? ? 1 ? 2 sin(? ? ? ) ? 1 3

………………

…………12 分 令 f ' ?? ? ? 0 , ? ?

π 2

当 0 ? ? ? π 时, f ' ?? ? ? 0 2 当
f ' ?? ? ? 0
π ? ? ? 2π 2 3

时 …………………………14 分



所以当 ? ? 答 短. :

π 时,总路径最短. 2

BP ? BC













…………………………16 分

19.(本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2 ? an , n ? 1, 2,3g g g. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? an ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (3)设 Cn ?

n ? 3 ? bn ? 15 ,数列 {Cn } 的前 n 项和为 Tn ? .求 n . 4 2

解:(1)当 n=1 时, S1 ? 2 ? a1 ,所以 a1 ? 1

(1 分) 当 n≥2 时, Sn?1 ? 2 ? an?1 ,且 Sn ? 2 ? an 所以 an ? (2 ? an ) ? (2 ? an?1 ) 得: an ?
1 an ?1 2

(3 分) 则数列 ?an ? 是以 1 为首项, 为公比的等比 数列, 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ( ) (2)
n ?1 由 bn?1 ? bn ? an 且 an ? ( )

1 2

1 2

n ?1



(4 分)

1 2

n ?1 所以: bn ?1 ? bn ? ( ) ,

1 2

0 1 2 n ?2 则: b2 ? b1 ? ( ) , b3 ? b2 ? ( ) , b4 ? b3 ? ( ) ?? ?bn ? bn ?1 ? ( ) , (7 分)

1 2

1 2

1 2

1 2

以上 n-1 个等式相加得: bn ? b1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( )
0 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

n ?2

1 1 ? ( )n ?1 ? ? 1 ?n ?1 ? 1 2 ? 2 ?1 ? ? ? ? =2- n ?2 ,又 b1 ? 1 则: bn ? b1 ? 1 2 ? ? ?2? ? ? 1? 2
所以: bn ? 3 ? 分)

(9 分)

1 2
n ?2

(10

(3)由题意知 cn ? 分)

1 n n ? 3 ? bn ? ? n ?1 2 2

(11

1 2 3 n ? 1 ? 2 ?ggg? n ?1 0 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ?? 1 ? 2 ? 3 ?ggg? n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 以上两式相减得 Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ggg? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2
则 Tn ? 分) 则 Tn ? 4 ?

(13

2?n 1 5 ? 2n ?1 4 3? n 2?n 2 ? n 3 ? n 4 ? 2n ? 3 ? n 1 ? n Q Tn ?1 ? Tn ? (4 ? n ) ? (4 ? n ?1 ) ? n ?1 ? n ? ? n ? 0 ?Tn ? Tn ?1 2 2 2 2 2n 2 ?Tn ? 4 ?

2?n 2n ?1

恒成立

Q T6 ? 4 ?
分)

2 ? 6 15 ?n ? 6 ? , 26?1 4

注: 需用单调性证明唯一性, 否则扣 1 分.

(16

20. (本小题满分 16 分) 对于两个定义域均为 D 的函数 f(x), g(x), 若存在最小正实数 M, 使得对于任意 x∈D, 都有|f(x)-g(x)|≤M,则称 M 为函数 f(x),g(x)的“差距”,并记作||f(x),g(x)||. (1)求 f(x)=sinx(x∈R),g(x)=cosx(x∈R)的差距; a a (2)设 f(x)= x(x∈[1,e2]),g(x)=mlnx(x∈[1, e2]).(e≈2.718) ①若 m=2,且||f(x),g(x)||=1,求满足条件的最大正整数 a; ②若 a=2,且||f(x),g(x)||=2,求实数 m 的取值范围. π 3π 解: (1)|f(x)-g(x)|=|sinx-cosx|= 2|sin(x- )|≤ 2,当 x=kπ+ ,k∈Z 时取“=”,所 4 4 以||f(x),g(x)||= 2(4 分) (2)①令 h(x)=f(x)-g(x)= x-2lnx.则 (16,+ x h′(x - ) h(x) ↘ ↗ 0 + (0,16) 16 ∞) h′(x)= 1 2 x x-4 2 - = ,令 h′(x)=0,则 x x 2x

=16.列表:

a 3 3 3 ∵h(1)=1;当 a=3 时,h(e2)=e4-3,由于 e3>16,因此 e4>2,所以 e4-3>-1; a 当 a = 4 时 , h(e 2 ) = e - 4 < - 1 , 故 满 足 条 件 的 最 大 正 整 数 为 3. (10 分)

②法一:由 a=2,且||f(x),g(x)||=2,得|f(x)-g(x)|≤2,从而| x-mlnx|≤2,所以-2≤ x-

mlnx≤2. 当 x=1 时,上式显然成立; x-2 x+2 ≤m≤ lnx lnx 1 令 w(x)= 2 x x+2 ,则 w′(x)= lnx 1 lnx-( x+2) x ln x
2

当 x∈(1,e]时,上式化为



xlnx-2( x+2) x(lnx-2)-4 = <0, 2 2xln x 2xln2x

从而 w(x)在(1,e]上递减,从而 w(x)min=w(e)= e+2,从而 m≤ e+2; 1 lnx-( x-2) x 2 x x-2 xlnx-2( x-2) x(lnx-2)+4 令 v(x)= ,则 v′(x)= = = >0, lnx ln2x 2xln2x 2xln2x 从而 v(x)在(1,e]上递增,从而 v(x)max=v(e)= e-2,从而 m≥ e-2, 所以 e-2≤m≤ e+2 又由于||f(x),g(x)||=2,故 m= e-2 或 m= e+2,所以 m 的取值范围为{ e-2, e+ 2}. (16 分) 1 x-2m m - = . x 2x 1

法二:令 h(x)=f(x)-g(x)= x-mlnx,则 h′(x)=

2 x

1 (1)若 m≤ ,则 h′(x)≥0,从而 h(x)在[1,e]上递增,又 h(1)=1,h(e)= e-m,所以 e-m 2 =2,m= e-2; e ,则 h′(x)≤0,从而 h(x)在[1,e]上递减,又 h(1)=1,h(e)= e-m,所以 e- 2

(ii)若 m≥

m=-2,m= e-2; 1 e (iii)若 <m< ,则由 h′(x)=0,可得 x=4m2,列表 2 2 (1, x h′(x 1 4m2) - 4m 0
2

(4m2,e e ) +

) 2m- h(x) 1 ↘ mln(4m ) 1 因为 e-m< e- <2,所以 2m-mln(4m2)=-2, . 2 令 u(m)=2m-mln(4m2)=m(2-ln4)-2mlnm ∴u′(m)=2-ln4-2-2lnm=-ln4-2lnm=-2 ln2m<0, e e e )= e- = ,故该情况不成立. 2 2 2 , m 的 取 值 范 围 是 { e - 2 , e +
2

↗ m

e-

∴u(m)>u(

综 2}.



(16 分)

2017 届高三七校联考数学试卷 卷Ⅱ 附加题部分 本部分共 4 大题,每题 10 分,共 40 分。请在相应的答题区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 附加:矩阵、极坐标与参数方程、曲线与方程、二项式定理 21(B). (选修4-2:矩阵与变换) 已知 a、b∈R,若 M= ? a、b. 解:设 ?

? ?1 a ? ? 所对应的变换 T 把直线 2x-y=3 变换成自身,试求实数 ? b 3?

? x0 ? ? x ? ay ? ?1 a ? ? x ? ? x0 ? ,则 ? ? ?? ? ? ? ? b 3 ? ? y ? ? y0 ? ? y0 ? bx ? 3 y

(3 分)

∵ 2 x0 ? y0 ? 3 ,∴ 2(-x+ay)-(bx+3y)=3. 即(-2-b)x+(2a-3)y=3. 此直线即为 2x-y=3, ∴ -2-b=2,2a-3=-1.则 a=1,b=-4. 21(C). (选修4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知点 P ? 2 3, 离. 解:点 P 的直角坐标为(3, 3), 直线 l 的普通方程为 x-y-4=0, 从而点 P 到直线 l 的距离为 |3- 3-4| 2+ 6 = . 2 2 22. (本小题满分 10 分) 已知曲线 C:y2=2x-4. (1) 求曲线 C 在点 A(3, 2)处的切线方程; (2) 过原点 O 作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两不同点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:(1) ∵ 当 y>0 时 y=f(x)= 2x-4,∴ y′= ∴ k=f′(3)= 2 , 2 2 (x-3),即 x- 2y-1=0. 2 2 1 = , 2 2x-4 2x-4 (3 分) (4 分) (5 分) (10 分) (4 分) (8 分) (10 分) (6 分)

? ?

??

?? ? ? ,直线 l : ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距 6? 4? ?

∴ 切线为 y- 2=

? ?y=kx, (2) 设 l:y=kx,线段 AB 的中点 M(x,y).由? 2 得 k2x2-2x+4=0,(6 分) ?y =2x-4, ?

1 1 1 ∴ Δ =4-16k2>0,∴ 16k2<4,即 k2< ? 2k2< ? 2>2. 4 2 2k 设直线 l 与曲线 C 的交点 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 -2 1 1 x1 + x2 = - 2 = 2 , y1 + y2 = k(x1 + x2) = , 由 中 点 坐 标 公 式 得 2k k k (9 分) 1 1 消去 k,得 y2= x,即所求轨迹方程为 y2= x(x>2). 2 2

(7 分)

?x=2k , ? 1 ?y=2k,
2

1

(10

分)

23. (本小题满分 10 分) 已知整数 n≥4,集合 M= {1, 2,3,?, n}的所有含有 4 个元素的子集记为 A1,A2, A3,?, AC 4 .设 A1,A2,A3,?, AC 4 中所有元素之和为 Sn.
n n

(1) 求 S4 , S5 , S6 并求出 Sn;
6 (2) 证明:S4+S5+…+Sn= 10Cn ?2 .

(1) 解:当 n=4 时,集合 M 只有 1 个符合条件的子集, S4 =1+2+3+4=10,(1 分)
3 3 当 n=5 时,集合 M 每个元素出现了 C4 次, S5 = C4 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5? =40,(2 分)
3 当 n=6 时,集合 M 每个元素出现了 C5 次, S6 = C5 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6? =140,(3

3

分) n(n+1) 3 3 所以,当集合 M 有 n 个元素时,每个元素出现了 Cn .(5 分) ?1 ,故 Sn= Cn?1 · 2

3 (2) 证明:因为 Sn= Cn ?1 ·

n(n+1) 1 5 = ? n ? 1? n ? n ? 1?? n ? 2 ?? n ? 3? ? 10Cn ?1 , 2 12

(7 分) 则 (10 分) S4 + S5 + … + Sn = 10(
5 5 5 5 6 )= 10Cn . C5 ? C6 ? C7 ?g g g?Cn ?1 ?2


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