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最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列的前n项和》教学设计

2.5 等比数列的前 n 项和 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 《等比数列的前 n 项和》 是必修 5 第二章数列中的一个重要内容, 它不仅在现实生活中有着 广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,而且数列是初等数学与高等数学的重要 衔接点,是考查学生推理和思维能力的好素材,长期以来,数列一直是高考的热点,而高考 对数列的考查又集中在等差数列与等比数列上,都充分说明了它的重要性.。从教材体系来 看,它为后继学习提供了知识基础,具有承上启下的作用;从知识特点而言,蕴涵丰富的思 想方法;就能力培养来看,通过公式推导教学可培养学生逻辑思维能力,运用数学语言交流 表达的能力. 2.从学生的认知角度来看 学生很容易把本节内容与等差数列前 n 项和公式的形成、 特点等方面进行类比, 这是认知的 有利因素. 认知的不利因素有: 本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的 不同,这对学生的思维定势是一个突破,另外,对于公比 q=1 这一特殊情况,学生往往容易 忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3.重点、难点分析 本节课的重点是公式的推导和公式的运用;难点是公式的推导方法及公式应用中公比 q 与 1 的关系. 二、目标分析 1.知识目标 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解 决与之有关的问题. 2.能力目标 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学 思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力. 3.情感目标 通过对公式推导方法的探索与发现, 优化学生的思维品质, 渗透事物之间等价转化和理论联 系实际的辩证唯物主义观点. 三、教法和学法分析 根据新课程标准及本节课的特征,在教学中,我主要采用问题教学法,以教师设计的小设问 层层推导,并穿插启发引导、互动讨论多种教学方式,希望能达到起点低,落点高的教学效 果.在课堂上学生的学法以观察发现、自主探究、类比联想、归纳总结的方式学习,让学生 体会由特殊到一般,再由一般回到特殊的学习过程。 四、过程分析 1. 创设情境,引入课题 首先故事引例后,设置问题一:同学们,你们知道发明者西萨要的是多少小麦吗? 在学生 思考交流后容易得到发明者西萨要求的麦粒总数是: s64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 63 ①。 紧接着提出问题二: 你能说出此式的特点吗?让学生观察得到这就是等比数列求和问题。 再 抛出第三个问题:你会计算吗? 本环节的设计意图是通过教科书故事引例,让学生从数学角度看待生活中的问题,体现数学 与生活的密切联系,激发探索兴趣。 2. 师生互动,探究问题 在上个环节提出第三个问题后,给学生时间思考交流,学生可能会用计算器逐步计算,但是 遇到阻力,计算量太巨大了,此时提出问题: 还有更好的方法来计算吗?这里给学生留适 当 的 时 间 思 考 后 再 提 出 问 题 : 如 果 ① 式 两 边 同 时 乘 以 2 得 : 2s64 ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 可以,得到 s64 ? 264 ? 1 ② 请你比较①、②两式,你有什么发现? 在学生充分地比较、讨论后可以发现, 两式上下相对的一些项完全相同,把两式相减,就 .到这里,学生会惊奇的发现如此简洁的计算方式,从而激发 强烈的学习兴趣,充分感受到成功的情感体验,和学好数学的信心. 设立两个思考: (1) 你能仿照等差数列给这种计算方法起个名字吗?目的是培养学生的高度 概括能力, 和等差数列前 n 项和公式的推导方法——倒序求和法对比学习。 错位的方法不同, 正是由于这种差异, 教师才有了更大的教学空间。 当教师把学生从“倒序相加”的思维定式 中引导出来的时候,学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高,思维品质 提高了,思维能力也就提高了。 (2) 纵观全过程,①式两边为什么要乘以 2 而不乘以其它的数呢?通过反问,让学生能发 现乘以 2 就是乘以公比,才能做减法消去相同的项,这是突破错位相减法学习的关键。 本环节的设计意图是让学生通过对特殊问题的解决,为下一步向一般过渡做好铺垫。 3. 类比联想,解决问题 在这个环节中先给出教材问题,求和: sn ? 1 ? q ? q 2 ? ? ? q n?1 ,让学生观察此式特点, 与①式有何区别?学生会发现这依然是一个等比数列求和问题,首项是 1,公比是 q 。让学 生类比联想使用刚得到的错位相减法,让学生自主探究,合作交流,并展示学生的解法,教 师适时提出问题, 当通过错位相减得到 sn ?1 ? q? ? 1 ? q n 时, 能不能直接两边同除以 (1 ? q) 呢?从而引导学生对 q =1 和 q ? 1 进行分类讨论,得到完整准确的结果。 那么, 在等比数列 ?an ? 中, 其 前 n 项和 sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n?1 , , 你会计算吗? 由于前两次活动逐步深入分步突破,学生很快可以得到等比数列前 n 项和公式 na1 ?q ? 1 ? a ? a1 q n sn ? ? q ?1 1 ? 1? q ? 。 本环节中,以问题为载体,学生活动为主体,在教师指导下,让学生从特殊到一般, 从已知到未知,步步深入,归纳总结,形成通法,解决了本节课的大部分重点难点。增强了 思维的严谨性和全面性并体验到学习的成功和愉快。 4. 新知运用,深化认识 例 1:求下列等比数列前 8 项的和。 1 1 1 , , ,? 2 4 8 1 , q ? 0. (2) a1 ? 27 , a9 ? 243 (1) 此题选自教材 P56 例题,通过对本题的学习和解答,研究公式特点,直接套用公式,促进学 生新的数学认知结构的形成, 目的一方面是加深对公式的认识和理解, 另一方面是提高分析、 类比、和综合能力. 5.拓展提高,形成技

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