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2017年春季学期苏教版高中数学必修5教案:第12课时 等比数列的前n项和(1)


第 12 课时 等比数列的 前 n 项和(1) 【学习导航】 7 63 S 3 ? , S 6 ? 是矛盾的,所以q≠1.从 2 2 而 听课随笔 知识网络 将上面两个等式的两边分别相除,得 所以q=2,由此可得 a1 ? 学习要求 1.掌握用“错位相减”的方法推导等 比数列的前 n 项和公式, 掌握等比数列的前 n 项和公式 2.会用等比数列的前 n 项和公式解 决有关等比数列的一些简单问题 1 ,因此 2 【自学评价】 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn 当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q ② 点评:等比数列中五个基本量 a1、q、an、n、 Sn,知三可求二. 【例 3】在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an -1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q. 【解】 ∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根, 解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由 a ? an q 或 Sn ? 1 1? q 当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①; a1 ? a n q =126 1? q 当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 2.若数列{an}的前 n 项和 Sn=p(1-qn),且 p≠0,q≠1,则数列{an}是等比数列. 得 2-64q=126-126q, ∴q=2, - - 由 an=a1qn 1 得 2n 1=32, ∴n=6. 若 a1=64,an=2,同理可求得 q= 1 ,n=6. 2 1 . 2 【精典范例】 【例 1】在等比数列{an}中, (1)已知 a 1 =-4, q =12,求 S10 ; (2)已知 a 1 =1, a k =243, 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 q =3,求 S k . 【解】 (1)根据等比数列的前n项和公式,得 点评:等比数列中五个基本量 a1、q、an、n、 Sn,知三可求二,列方程组是求解的常用方 法.解本题的关键是利用 a1an=a2an-1,进而 求出 a1、an,要注意 a1、an 是两组解. 追踪训练一 1.某厂去年的产值记为1,计划在今后五 年内每年的产值比上年增长10%, 则从今 年起到第五年,这个厂的总产值为(C) . A. 1.14 B. 1.15 C. 11 ? (1.15 ? 1) D. 10 ? (1.16 ? 1) 2.求下列等比数列的各项和: (1)1,3,9,?,2187; (2)1, ? (2)根据等比数列的前n项和公式,得 【例 2】在等比数列{an}中, 7 63 S 3 ? , S 6 ? ,求 an. 2 2 【解】若q=1,则S6=2S3,这与已知 1 1 1 1 , , ? ,?, ? . 8 512 2 4 341 512 【答案】 (1)3280; (2) 3.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1 =81,a5=16,则它的前 5 项和是( B ) A.179 B.211 C.243 D.275 4.若等比数列{an}的前 n 项之和 Sn=3n+a, 则 a 等于( D ) A.3 B.1 C.0 D.-1 5. 已知等比数列的公比为 2, 若前 4 项之和 等于 1,则前 8 项之和等于( B )

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