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2019精选教育届高三数学一轮复习精讲精练:38解三角形.doc

第8课 解三角形

【考点导读】

1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为 角或化角为边,实施边和角互化.

【基础练习】

1.在△ABC
2.在 ?ABC

中中,,若已知sinBAC:=si1n2B,:As=in6C0°?,5 :B7=: 845,°则,?则BA的C=大小是4 _6___.___?_______.

3.在 △ABC 中,若 tan A ? 1 , C ? 150 , BC ? 1,则 AB ?

3 10



3

2

【范例解析】

例1. 在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,已知 a ? c ? 20 ,C ? 2 A ,cos A ? 3 . 4

(1)求 c 的值;(2)求 b 的值. a

分析:利用 C ? 2 A 转化为边的关系.

解:(1)由 c ? sin C ? sin 2 A ? 2 cos A ? 3 .

a sin A sin A

2

?a ? c ?

(2)由

? ?

c

?? a

?

3. 2

20,



?a ??c

? 8, .由余弦定理 a2 ? 12.

?

b2

?

c2

?

2bc cos

A

得: b2 ?18b ? 80 ? 0 ,解得: b ? 8 或 b ? 10 ,

若 b ? 8 ,则 A ? B ,得 A ? ? ,即 cos A ? 2 ? 3 矛盾,故 b ? 10 .

4

24

点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论.

例 2.在三角形 ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) sin( A ? B) ,试判断该三角形

的形状.

解法一:(边化角)由已知得:a2[sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b2[? sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ,

化简得 2a2 cos Asin B ? 2b2 cos B sin A ,

由 正 弦 定 理 得 : sin2 Acos Asin B ? sin2 B cos B sin A , 即 sin A sinB (sinA cosA? sinB coBs ?) ,0

又 A, B ? (0,? ) ,?sin A?sin B ? 0 ,?sin 2A ? sin 2B .

第1页

又 2A, 2B ? (0, 2? ) ,?2A ? 2B 或 2A ? ? ? 2B ,即该三角形为等腰三角形或直角三角形.

解法二:(角化边)同解法一得: 2a2 cos Asin B ? 2b2 cos B sin A ,

由正余弦定理得: a2b b2 ? c2 ? a2 ? b2a a2 ? c2 ? b2 ,

2bc

2ac

整理得: (a2 ? b2 )(c2 ? a2 ? b2 ) ? 0 ,即 a ? b 或 c2 ? a2 ? b2 ,

即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 点评:判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化,从而利用角或边判定三角形 形状.

例 3.如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=? ,∠ABC= ? .
A
(1)证明: sin? ? cos 2? ? 0 ;

(2)若 AC= 3 DC,求 ? .

α

β

分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系.

B

(1)证明: ? ? ? ? C , C ? ? ? B ,?2? ? ? ? ? ,

例4 D

C

2

2

(2)解: AC= 3 DC,?sin ? ? 3 sin? ? ? 3 cos 2? ? 2 3 sin2 ? ? 3 .

点评:本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系,进而求

出 ? 的值.

【反馈演练】

1.在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =___3__?___3_____.

3

2.?ABC 的内角∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c ? 2a ,

4

则 cos B ? _____.

3.在 ?ABC 中,若 2a ? b ? c , sin2 A ? sin B sin C ,则 ?ABC 的形状是____等边___三

角形.

15

4.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2A ? 2 ,则 sin A ? cos A =

3


3

5.在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3, cos A ? ? 4 . 5

(Ⅰ)求 sin B 的值;

(Ⅱ)求

sin

? ??

2B

?

? 6

? ??

的值.

解:(Ⅰ)在 ?ABC 中, sin A ?

1? cos2 A ?

1

?

? ??

?

4 5

?2 ??

?

3 ,由正弦定理, 5

第2页

BC ? AC .所以 sin B ? AC sin A ? 2 ? 3 ? 2 .

sin A sin B

BC

35 5

(Ⅱ)因为 cos A ? ? 4 ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

6.在 ?ABC 中,已知内角 A ? ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式和定义域;(2)求 y 的最大值.

解:(1) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? ?,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? 2? .

?

?

应用正弦定理,知

AC

?

BC sin A

sin

B

?

2 sin

3 ?

sin

x

?

4 sin

x



?

AB

?

BC sin A

sin

C

?

4 sin

? ??

2? ?

?

x

? ??



因为 y ? AB ? BC ? AC ,

所以

y

?

4

sin

x

?

4

sin

? ??

2? ?

?

x

? ??

?

2

3

? ??

0

?

x

?

2? 3

? ??



? (2)因为 y ? 4??? sin x ?

? ?

cos

x

?

1 2

sin

x

? ???

?

2

3

所以,当 x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, y 取得最大值 6 3 .

??

?

7.在 ?ABC 中, tan A ? 1 , tan B ? 3 .

4

5

(Ⅰ)求角 C 的大小;(Ⅱ)若 ?ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

解:(Ⅰ)

1?3

C

?

π

?(A?

B)

,? tan C

?

?

tan( A ?

B)

?

?

1

4 ?

1

5 ?3

?

?1.

45

又 0 ? C ? π ,?C ? 3 π . 4

(Ⅱ) C ? 3 ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4



tan

A

?

tan

B,A,B

?

? ??

0,? ?

? ??

,?角

A

最小,

BC

边为最小边.



??tan ?

A

?

sin cos

A A

?

1, 4且

??sin2 A ? cos2 A ? 1,

A

?

? ??

0,π 2

? ??



第3页

得 sin A ? 17 .由 AB ? BC 得: BC ? AB sin A ? 2 .

17 sin C sin A

sin C

所以,最小边 BC ? 2 .

第4页