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2011届高考数学二轮复习课件2.4 指数与指数函数


§2.4 指数与指数函数 基础知识 自主学习
要点梳理
1.根式 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a ),那么这 如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*),那么这 个数叫做a 个数叫做a的n次方根.也就是,若xn=a,则x叫做 次方根.也就是, a的n次方根 其中n ___________,其中 ___________,其中n>1且n∈N*.式子
n

a 叫做_____, 根式 叫做_____,

根指数 被开方数 这里n叫做_________, 叫做___________. 这里n叫做_________,a叫做___________. _________

(2)根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的 为奇数时,正数的n次方根是一个正数, n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号____ 次方根是一个负数,这时, 次方根用符号____ a
n

表示. 表示. ②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为 为偶数时,正数的n次方根有两个, 相反数,这时,正数的正的n次方根用符号____表示, 相反数,这时,正数的正的n次方根用符号____表示, ____表示 a
n

负的n次方根用符号________表示.正负两个n 负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根 ________表示 ? a
n

可以合写为________( 可以合写为________(a>0). ________ ± a
n

③ ( a)n =______. a
n

?a (a ≥ 0) ? n n 为偶数时, ?? a (a < 0) 当n为偶数时, a =| a | =_______________.
⑤负数没有偶次方根. 负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 (1)幂的有关概念

a ④当n为奇数时, an =____; 为奇数时,
n

a n = a ?4243(n∈N*); 正整数指数幂: ①正整数指数幂: 1 a ?L? a
1 负整数指数幂: =_____( ≠0, ③负整数指数幂:a-p=_____(a≠0,p∈N*); ap
1 ②零指数幂:a0=____(a≠0); 零指数幂: =____( ≠0);
n个

④正分数指数幂: 正分数指数幂: a 且n>1); >1); ⑤负分数指数幂: 负分数指数幂: a ∈N*,且n>1).

m n

m =_______( >0, =_______(a>0,m、n∈N*, a
n

?

m n

=

1 a
m n

=
n

1 am

(a>0,m (a>0,m、n

⑥0的正分数指数幂等于______,0的负分数指数幂 的正分数指数幂等于______, ______ 0 _____________. 没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ______(a>0,r ②(ar)s= ______(a>0,r、s∈Q); ars ______(a>0,r ①aras= ______(a>0,r、s∈Q); ar+s

③(ab)r= _______(a>0,b>0,r∈Q). ab) _______(a>0,b>0,r a r br

3.指数函数的图象与性质 3.指数函数的图象与性质
y= a x 图象 a>1 0<a 0<a<1

定义域 值域

R ___ (0,+∞) ___________
(1)过定点 (0,1) (1)过定点_________ 过定点_________ 0<y (2)当 >0时 y>1 (2)当 >0时 0<y<1 (2)当x>0时,_____; (2)当x>0时,_______; 0<y <0时 0<y<1 <0时 y>1 x<0时,_______ x<0时,_____ (3)在 (3)在(-∞,+∞) 增函数 上是_______ 上是_______ (3)在 (3)在(-∞,+∞)上 +∞)上 减函数 是________

性质

基础自测
1 4 1.已知 已知a 1.已知a< , 则化简 (4a ? 1) 2 的结果是 4 A. 4a ? 1 B. ? 4a ? 1

(C )

C. 1? 4a 解析
4 4

D. ? 1? 4a
1 2

(4a ? 1) 2 = (1 ? 4a ) 2 = (1 ? 4a) = 1 ? 4a .

2.下列函数中,既是偶函数又在( 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递 下列函数中 +∞) 增的是 A.y A.y=x3 C.y=|x C.y=|x|+1 解析 B.y B.y=-x2+1 D.y D.y=2-|x| 因为y 是奇函数,从而可排除A 因为y=x3是奇函数,从而可排除A,因为函数 (C )

+1及 +∞)上单调递减, y=-x2+1及y=2-|x|在(0,+∞)上单调递减,所以排 除B、D.

3.右图是指数函数( 3.右图是指数函数(1)y=ax, 右图是指数函数 (2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx 的图象, 的图象,则a,b,c,d与1的大 小关系是 A.a <1<c A.a<b<1<c<d B.b <1<d B.b<a<1<d<c C.1<a C.1<a<b<c<d D.a <1<d D.a<b<1<d<c ( )

解析

当指数函数底数大于1 图象上升, 方法一 当指数函数底数大于1时,图象上升,

且当底数越大时,在第一象限内,图象越靠近y 且当底数越大时,在第一象限内,图象越靠近y轴; 当底数大于0且小于1 当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内, 图象下降,且在第一象限内, 底数越小,图象越靠近x 底数越小,图象越靠近x轴. 故可知b <1<d 故可知b<a<1<d<c,选B. 方法二 答案 B 令x=1,由图象知c1>d1>a1>b1, =1,由图象知c 由图象知 ∴b<a<1<d<c,故选B. <1<d 故选B.

4.已知f )=3,则 (2a 4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于 已知 A.5 解析 B.7 C.9 D.11 =3, ∵f(x)=2x+2-x,f(a)=3,

(B )

∴2a+2-a=3, =3, f(2a)=22a+2-2a=4a+4-a 2=9=(2a+2-a)2-2=9-2=7.

5.若函数y=(a +3)·a 为指数函数, 5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数,则有 ( C ) 若函数 A.a=1或 A.a=1或2 C.a C.a=2 B.a B.a=1 D.a>0且 D.a>0且a≠1

?a > 0且a ≠ 1, ?a > 0且a ≠ 1, 解析 Q ? ∴? 2 2 ?a ? 3a + 3 = 1, ?a ? 3a + 2 = 0.
∴a=2.

题型分类 深度剖析
题型一 指数幂的化简与求值
2 3 1

【例1】计算下列各式: 计算下列各式:

27 ? 3 7 0.5 (1)(0.027 ) + ( ) ? (2 ) ; 125 9 1 ( 2) ? ( 3 ? 1)0 ? 9 ? 4 5 ; 5+2 (3)( 2a b )( ?6a b ) ÷ ( ?3a b ); ( 4) 8ab ? b
2 3
3

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

1 3

4 3 2 3

4a + 2 ab + b

3 a ÷ (2 ? 1) × b . b 3

思维启迪 解

先把根式化为分数指数幂, 先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运
1 3

算性质进行计算. 算性质进行计算.

125 25 (1)原式 = (0.3) + ( ) ? 9 27 9 5 5 9 = + ? = . 100 3 3 100
2

(2)原式 = 5 ? 2 ? 1 ? ( 5 ? 2) 2 = ( 5 ? 2) ? 1 ? ( 5 ? 2) = ?1. (3)原式 = [2 × (?6) ÷ (?3)]a = 4ab 0 = 4a.
2 1 1 + ? 3 2 6 1 1 5 + ? 2 3 6

b

(4)原式 =
1 3 1 3

b (8a ? b) 4a + 2a b + b
2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3

1 3

÷

2a ? b b
2 3 1 3

1 3

1 3

×b
1 3

1 3

=

b (2a ? b )(4a + 2a b + b ) 4a + 2a b + b
1 3 1 3 1 3 1 3 3 2 3 1 3 1 3 2 3

×

b
1 3

2a ? b

1 3

×b

1 3

= b × b × b = (b ) = b. 根式运算或根式与指数式混合运算时, 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时,将 根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果, 根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不
强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求, 强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根 据要求写出结果. 据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指 数,也不能既有分母又含有负指数. 也不能既有分母又含有负指数.

知能迁移1 知能迁移1

(1)化简: .027) 化简: (0 ( 2)若a + a
1 2 ? 1 2

?

1 3

1 ?2 7 1 ? ( ) + ( 2 ) 2 ? ( 2 ? 1)0 ; 7 9
1 2

= x (a > 1), 求

x ? 2 + x2 ? 4x x ? 2 ? x2 ? 4x

的值 .

27 ? 3 25 2 2 解 (1)原式 = ( ) ? 7 + ( ) ?1 1 000 9 10 5 = ? 49 + ? 1 = ?45. 3 3 1 1 1 ? 1 2 2 2 (2)由x = a + a , 得x = a + + 2, a 1 1 2 ∴ x ? 4 x = x( x ? 4) = (a + + 2)(a + ? 2) a a 1 1 1 = (a + ) 2 ? 4 = a 2 + ( ) 2 ? 2 = (a ? ) 2 , a a a 1 1 a + + (a ? ) 2 a a = a2. ∴ 原式 = 1 1 a + ? (a ? ) 2 a a

1

1

题型二 求:

a ? 2x + a ? 2 【例2】(12分)设函数f(x)= (12分 设函数f 为奇函数. 为奇函数. x 2 +1
(1)实数a的值; 实数a的值; (2)用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性. 用定义法判断f 在其定义域上的单调性. 思维启迪 由f(-x)=-f(x)恒成立可解得a的值; 恒成立可解得a的值;

指数函数的性质

第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. (2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可. 问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可

(1)方法一 解 (1)方法一

依题意,函数f 依题意,函数f(x)的定义域为R, 的定义域为R 2分

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 是奇函数,

+1)=0, ∴2(a-1)(2x+1)=0,∴a=1. 2(a

a ? 2? x + a ? 2 a ? 2x + a ? 2 ∴ =? , ?x x 2 +1 2 +1
6分 6分

方法二 ∵f(x)是R上的奇函数, 上的奇函数,

2a ? 2 (0)=0, ∴f(0)=0,即 = 0, ∴a=1. 2 2x ?1 (1)知 (2)由(1)知, f ( x) = ,
设x1<x2且x1,x2∈R,

6分 6分

2x +1

8分

2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 则f ( x2 ) ? f ( x1 ) = x2 ? x1 2 +1 2 +1 2 2 = (1 ? x2 ) ? (1 ? x1 ) 2 +1 2 +1 2(2 x2 ? 2 x1 ) = x2 > 0, x1 (2 + 1)(2 + 1)
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数. )>f ),∴f 上是增函数. 探究提高 数,则有f(0)=0,即可求得a=1. 则有f(0)=0,即可求得a 即可求得 (2)由x1<x2推得 2 x1 < 2 x2 , 实质上应用了函数 上是单调递增这一性质. f(x)=2x在R上是单调递增这一性质.

10分 10分 12分 12分

(1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函 (1)若 =0处有定义, 处有定义

(1)f(x)可能是奇函数吗? 可能是奇函数吗? 解

e? x a 是定义在R上的函数. 知能迁移2 知能迁移2 设 f ( x) = + ? x 是定义在R上的函数. a e

(2)若f(x)是偶函数,试研究其单调性. 是偶函数,试研究其单调性.

∴f(x)不可能是奇函数. 不可能是奇函数.

ex a e? x a + x = ?( + ? x ), ∴ f ( - x ) = - f ( x) , 即 a e a e 1 x ?x 整理得 (a + )(e + e ) = 0, a 1 +1=0,显然无解 显然无解. 即 a + = 0, 即a2+1=0,显然无解. a

(1)方法一 假设f 是奇函数,由于定义域为R (1)方法一 假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,

方法二

若f(x)是R上的奇函数, 上的奇函数,

则f(0)=0,即 (0)=0,即

∴f(x)不可能是奇函数. 不可能是奇函数

1 + a = 0, 无解, a

(2)因为f 是偶函数,所以f )=f (2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 因为

e x a e? x a + x = + ?x , 即 a e a e 1 x ?x 整理得 (a ? )(e ? e ) = 0, a
又∵对任意x∈R都成立, 对任意x 都成立,

1 ∴有 a ? = 0, 得a=±1. a
任取x 任取x1,x2∈R且x1<x2,

以下讨论其单调性, 当a=1时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性, =1时

则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = e x1 + e ? x1 ? e x2 ? e ? x2 (e x1 ? e x2 )(e x1 + x2 ? 1) , = x1 x2 e ?e 其中 e x1 ? e x2 > 0, e x1 ? e x2 < 0,



此时需要x1+x2>0,即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0] >0,即增区间为[0,+∞),反之( [0,+∞),反之 此时需要x 为减区间. 为减区间. 当a=-1时,同理可得f(x)在(-∞,0]上是增函数, 同理可得f 上是增函数, 在[0,+∞)上是减函数. +∞)上是减函数.

e x1 + x2 ? 1 > 0,

)<f ),f 为增函数, f(x1)<f(x2),f(x)为增函数,

题型三

指数函数的图象及应用 1 | x +1| 【例3】已知函数 y = ( ) . 3 (1)作出图象 作出图象; (1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (2)由图象指出其单调区间; 由图象指出其单调区间 (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. 由图象指出当 思维启迪 化去绝对值符号 作图象 写出x 写出x的取值

将函数写成分段函数的形式 写出单调区间



(1)由已知可得

1 | x +1| y=( ) 3

? 1 x +1 ?( ) =? 3 ?3 x +1 ?

( x ≥ ?1) , ( x < ?1)

其图象由两部分组成: 其图象由两部分组成:
向左平移 1 x 一部分是: 一部分是:y = ( ) ( x ≥ 0) 1个单位 3 1 x +1 y = ( ) ( x ≥ ?1); 3

另一部分是: 另一部分是:y=3x

(x<0)

向左平移 1个单位

y=3x+1 (x<-1).

图象如图: 图象如图:

(2)由图象知函数在( (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数, 由图象知函数在 上是增函数, 在(-1,+∞)上是减函数. +∞)上是减函数. (3)由图象知当x (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 由图象知当 函数有最大值1,无最小值. 1,无最小值 探究提高 在作函数图象时, 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成. 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.

知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|a (a>0,且 知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且a≠ 1 (0, ) 1)的图象有两个公共点 的图象有两个公共点, 的取值范围是______. 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______. 2 解析 数形结合. 数形结合. 当a>1时,如图①,只有一个公共点,不符合题意. >1时 如图① 只有一个公共点,不符合题意. 1 0<a<1时 如图② 由图象知0<2 0<2a 当0<a<1时,如图②,由图象知0<2a<1, ∴0 < a < . 2

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.单调性是指数函数的重要性质, 1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的 单调性是指数函数的重要性质 无限伸展性, 轴是函数图象的渐近线. 0<a<1, 无限伸展性,x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1, x→+∞时,y→0;当a>1,x→-∞时,y→0;当a>1时, →+∞时 →0; >1, →0;当 >1时 a的值越大,图象越靠近y轴,递增的速度越快; 的值越大,图象越靠近y 递增的速度越快; 当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速 0<a<1时 的值越小,图象越靠近y 度越快. 度越快. 2.画指数函数y 的图象,应抓住三个关键点:(1, :(1,a 2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、 画指数函数 (0,1)、 (0,1)、(-1, 1 ).

a

3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中, 3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要 在有关根式 注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组) 注意运用方程的观点处理问题,通过解方程( 来求值,或用换元法转化为方程来求解. 来求值,或用换元法转化为方程来求解.

失误与防范
1.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的图象和性质与a的取值 1.指数函数y >0,a≠1)的图象和性质与a 指数函数 的图象和性质与 有关,要特别注意区分a>1与0<a<1来研究. 有关,要特别注意区分a>1与0<a<1来研究. 来研究 2.对可化为a =0或 (≤0)的 2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)的 对可化为 指数方程或不等式,常借助换元法解决, 指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意 换元后“新元”的范围. 换元后“新元”的范围.

定时检测
一、选择题 1.下列等式 1.下列等式 3 6a 3 = 2a; 3 ? 2 = 6 ( ?2) 2 ;?3 4 2 = 4 ( ?3) 4 × 2 中一定成立的有 A.0个 A.0个 解析
3 3 3

( A) C.2个 C.2个 D.3个 D.3个

B.1个 B.1个
3
3

6a = 6a ≠ 2a;
6

? 2 = ? 2 < 0, ( ?2) = 2 = 2 > 0,
2
6

2

3

∴ ? 2 ≠ ( ?2) 2 ;
3 6

? 3 2 < 0, ( ?3) × 2 > 0,∴ ?3 2 ≠ ( ?3) 4 × 2 .
4 4

4

4

4

2.函数f(x)=ax-b的图象如右图, 2.函数f )=a 的图象如右图, 函数 其中a 其中a、b为常数,则下列结 为常数, 论正确的是 A.a>1,b A.a>1,b<0 B.a>1,b B.a>1,b>0 C.0<a<1,b C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b D.0<a<1,b<0 ( )

解析

由图象得函数是减函数, 由图象得函数是减函数,

∴0<a<1. 0<a 又分析得,图象是由y 又分析得,图象是由y=ax的图 象向左平移所得, 象向左平移所得, ∴-b>0,即b<0.从而D正确. >0,即 <0.从而D正确. 从而 答案 D

3.已知函数y +3,当其值域为[1,7]时 当其值域为[1,7] 3.已知函数y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x的取 已知函数 值范围是 A.[2, A.[2,4] C.(0,1]∪[2, C.(0,1]∪[2,4] 解析
x

(D ) B.(B.(-∞,0]

D.(D.(-∞,0]∪[1,2] 0]∪[1, x)2-3×2x+3 = ( 2 x ? 3 ) 2 + 3 ∈ [1,7], y=(2 2 4

3 2 1 25 ∴ (2 ? ) ∈ [ , ]. 2 4 4 3 5 1 1 5 x ∴ 2 ? ∈ [? ,? ] U [ , ]. 2 2 2 2 2
∈[1]∪[2,4], ∴2x∈[-1,1]∪[2,4], ∴x∈(-∞,0]∪[1,2]. ∈(0]∪[1,

?a ( a ≤ b ) 4.定义运算 定义运算: 1*2=1,则函数 则函数f 4.定义运算:a*b= ? , 如1*2=1,则函数f(x) ?b (a > b)
=2x *2-x的值域为 A.R A.R C.(0, C.(0,1] B.(0,+∞) (C )

D.[1, D.[1,+∞) ? 2 x ( x ≤ 0) ? , 解析 f(x)=2x *2-x= ? ? x ?2 ( x > 0) ? 0]上是增函数 上是增函数, ∴f(x)在(-∞,0]上是增函数, 在(0,+∞)上是减函数, (0,+∞)上是减函数, 上是减函数 ∴0<f(x)≤1. 0<f

1 5.若函数 则该函数在( +∞)上是 5.若函数 f ( x) = x , 则该函数在(-∞,+∞)上是 2 +1 (A )

A.单调递减无最小值 A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值 C.单调递增无最大值

B.单调递减有最小值 B.单调递减有最小值

D.单调递增有最大值 D.单调递增有最大值 x+1,则 f (u ) = 1 . 因为u(x)在(-∞, 因为u 解析 令u(x)=2 +1,则 u +∞)上单调递增且 )>1,而 上单调递增且u 1,+∞)上 +∞)上单调递增且u(x)>1,而 f (u ) = 1 在(1,+∞)上 u 1 单调递减, ∞,+∞)上单调递 单调递减,故 f ( x) = x 在(-∞,+∞)上单调递 2 +1 且无限趋于0 故无最小值. 减,且无限趋于0,故无最小值.

6.函数 6.函数 y =

1 ? ( 2a ? 3) 的部分图象大致是如图所 2π 示的四个图象中的一个,根据你的判断, 示的四个图象中的一个,根据你的判断,a可能的取
( )

x2 ? 3

值是

A.

1 2

B.

3 2

C.2

D.4

解析

函数为偶函数,排除①②, 函数为偶函数,排除①②,又函数值恒为正 ①②

值,则排除④,故图象只能是③,再根据图象先增 则排除④ 故图象只能是③ 后减的特征可知2 3>1,即 >2,符合条件的只有D 后减的特征可知2a-3>1,即a>2,符合条件的只有D选 符合条件的只有 项,故选D. 故选D. 答案 D

二、填空题 7. 若f(x)=a-x与g(x)=ax-a (a>0且a≠1)的图象关于直 )=a )=a >0且 ≠1)的图象关于直 线x=1对称,则a=____. =1对称, 对称 2 解析 g(x)上的点P(a,1)关于直线x=1的对称 上的点P 关于直线x=1的对称 点P′(2-a,1)应在f(x)=a-x上, ′(2- ,1)应在f )=a 应在 ∴1=aa-2.∴a-2=0,即a=2. 1=a .∴a 2=0,即

8.设函数f )=a >0且 ≠1),若 (2)=4, 8.设函数f(x)=a-|x| (a>0且a≠1),若f(2)=4,则f(-2) 设函数 与f(1)的大小关系是__________. (1)的大小关系是__________. 的大小关系是 f(-2)>f(1) 2)>f 1 -2=4,解得a= (2)=a 解得a , 解析 由f(2)=a =4,解得 2 ,∴f 2)=4>2=f ∴f(x)=2|x|,∴f(-2)=4>2=f(1).

9.(2009·江苏) 9.(2009·江苏)已知 a = (2009·江苏

5 ? 1 函数f(x)=ax,若实数 , 函数f )=a 2 满足f )>f ),则 的大小关系为______. m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为______. m< n 解析 Q 0 < a = 5 ? 1 < 1, 2 函数f )=a 上是减函数. ∴函数f(x)=ax在R上是减函数.
又∵f(m)>f(n),∴m<n. )>f ),∴m

三、解答题 10.已知对任意x 10.已知对任意x∈R,不等式 已知对任意 立,求实数m的取值范围. 求实数m的取值范围. 解 由题知: 由题知:不等式 ( ) x

1 2
x2 + x

1 2 x 2 ? mx + m + 4 恒成 >( ) 2

1 2

2

+x

1 2 x 2 ? mx + m + 4 对x∈R恒 >( ) 2

成立, 成立, <2x mx+ +4对 恒成立. ∴x2+x<2x2-mx+m+4对x∈R恒成立. +1) +4>0对 恒成立. ∴x2-(m+1)x+m+4>0对x∈R恒成立. ∴Δ=( +1) +4) ∴Δ=(m+1)2-4(m+4)<0. 15<0.∴-3<m ∴m2-2m-15<0.∴-3<m<5.

11.若函数y +2a 1(a>0且 ≠1)在 ∈[-1,1]上的 11.若函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在x∈[-1,1]上的 若函数 最大值为14, 最大值为14,求a的值. 14 的值. 解 ,∴t>0, +2t 1=(t 2,其对称轴 令ax=t,∴t>0,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴 为t=-1.该二次函数在[-1,+∞)上是增函数. 1.该二次函数在[ 该二次函数在 +∞)上是增函数. ①若a>1,∵x∈[-1,1],∴t=ax∈ [ , a ], >1, ],∴ 故当t +2a 故当t=a,即x=1时,ymax=a2+2a-1=14, =1时 解得a=3(a 解得a=3(a=-5舍去). 舍去).

1 a

②若0<a<1,∵x∈[-1,1], 0<a<1, ∴t =ax∈

1 1 故当t [a, ], 故当t= , 即x=-1时, a a 1 1 1 2 ymax = ( + 1) ? 2 = 14.∴ a = 或 ? (舍去). a 3 5 1 综上可得a=3或 综上可得a=3或 . 3

?cx + 1 (0 < x < c) 12.已知函数 12.已知函数 f ( x) = ? ? x ? 2 ?2 c + 1 (c ≤ x < 1) ?

9 满足 f (c ) = . 8 求常数c的值; (1)求常数c的值;
2

2 + 1. (2)解不等式 f ( x) > 8 依题意0< <1,∴c 0<c 解 (1)依题意0<c<1,∴c2<c,

9 9 1 3 Q f (c ) = ,∴ c + 1 = , c = . 8 8 2
2

?1 ?2 x +1 ? (2)由(1)得f ( x) = ? ?2 ? 4 x + 1 ? ? 2 + 1得 由f ( x ) > 8 1 1 当0 < x < 时, x + 1 > 2 2 1 当 ≤ x < 1时,2 ? 4 x + 1 > 2 2 5 综上可知 : <x< , 4 8

1 (0 < x < ) 2 , 1 ( ≤ x < 1) 2

2 2 1 + 1,∴ <x< , 8 4 2 2 1 5 + 1,∴ ≤ x < . 8 2 8

? 2 2 5? ∴ f ( x) > + 1的解集为? x | < x < ?. 8 4 8? ?

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