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动手操作题


动手操作题 顺义 22.已知正方形纸片 ABCD 的边长为 2. 操作: 如图 1, 将正方形纸片折叠, 使顶点 A 落在边 CD 上的点 P 处 (点 P 与 C, 不重合) D , 折痕为 EF,折叠后 AB 边落在 PQ 的位置,PQ 与 BC 交于点 G. 探究: (1)观察操作结果,找到一个与 △EDP 相似的三角形,并证明你的结论; (2)当点 P 位于 CD 中点时,你找到的三角形与 △EDP 周长的比是多少(图 2 为备 E 用图)? D A A D
P

B

F

Q 图1

G C

B 图2

C

22.解: (1)与 △EDP 相似的三角形是 △PCG . ……………………………… 1 分 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠A=∠C=∠D=90°. 由折叠知 ∠EPQ=∠A=90°. ∴∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°. ∴∠2=∠3. ∴ △PCG ∽ △EDP . (2)设 ED=x,则 AE= 2 x , 由折叠可知:EP=AE= 2 x . ∵点 P 是 CD 中点, ∴DP=1. ∵∠D=90°, ∴ ED + DP = EP ,
2 2 2

……… 2 分
A E D P B

F

Q

G

C

即 x + 1 = (2 x)
2 2

2

解得

x=

3 . 4

∴ ED =

3 . ………………………………………………………… 3 分 4

∵ △PCG ∽ △EDP , ∴

PC 1 4 = = . ED 3 3 4

∴ △PCG 与 △EDP 周长的比为 4:3. ………………………… 4 分

大兴 22. 如图 8-1,9-1,现将二张形状,大小完全相同的平行四边形透明纸片,分别放在方格 纸中,方格纸中的每个小正方形的边长均为 1,并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形 的顶点重合. 分别在图 8-1,图 9-1 中,经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线,沿此裁剪线 将平行四边形纸片裁成两部分,按所采裁图形的实际大小,在图 8-2 中拼成正方形,在图 9-2 中拼成一个角是 135° 的三角形. 要求: (1)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙; (2)所拼出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.

22.

西城 22.在△ABC 中, BC=a,BC 边上的高 h= 2a ,沿 图中线段 DE, 将△ABC 剪开, CF 分成的三块图形恰能 拼成正方形 CFHG,如图 1 所示. 请你解决如下问题: ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 已知:如图 2,在△A B C 中, B C =a,B C 边上 的高 h=
′ ′

A

D

F E ①② ③

H

1 a .请你设计两种不同的分割方法,将△A′ 2
B C

B C 沿分割线剪开后,所得的三块图形恰能拼成一个 正方形,请在图 2,图 3 中,画出分割线及拼接后的图 形. A′

G

A′

B′

图3

C′

B′

图4

C′

22.解: . A′ ② ① B′ ③

A′ ③ ① C
图6

② C′

B′ 说明: 说明:每个图形 2 分.

图5

崇文区 22.正方形 ABCD 的边长为 a ,等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE = b ( b < 2a ) , 且边 AD 和 AE 在同一直线上 .小明发现:当 b = a 时,如图①,在 BA 上选取中点 G , 连结 FG 和 CG ,裁掉 FAG 和 CHD 的位置构成正方形 FGCH . (1)类比小明的剪拼方法,请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示 意图.

(2)要使(1)中所剪拼的新图形是正方形,须满足 22. (1)

BG = AE

.

(2)

1 . 2

门头沟 22.阅读下列材料: 在图 1—图 4 中,正方形 ABCD 的边长为 a,等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE=2b,且边 AD 和 AE 在同一直线上. 小明的做法:当 2b<a 时,如图 1,在 BA 上选取点 G,使 BG=b,连结 FG 和 CG, 裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形 FGCH. 小明在操作后发现:该剪拼方法就是先将△FAG 绕点 F 逆时针 F 旋转 90°到△FEH 的位置,易知 EH 与 AD 在同一直线上.连结 CH, 由剪拼方法可得 DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGB A H E D 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CHD 的位置.这样,对于剪拼得到的 四边形 FGCH(如图 1) ,过点 F 作 FM⊥AE 于点 M(图略) ,利用 G SAS 公理可判断△HFM≌△CHD,易得 FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°. C B 进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形 FGCH 是正方形. (2b<a) 解决下列问题: 图1 ; (用含 a,b 的式子表示) (1)正方形 FGCH 的面积是

(2)类比图 1 的剪拼方法,请你就图 2—图 4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的 F 示意图. F
F

A

(E) D

A

D

E

A

D

E

B

C

B

C

B

C

(2b=a)
图2

(a<2b<2a)
图3

(b=a)
图4

22.解: (1)a2+b2;…………………………………1 分 (2)剪拼方法(每图 1 分)
F F A G B C H A G F

(E) D

D E

HA

D

E

B

C

B

C

丰台 22.在图 1 中,正方形 ABCD 的边长为 a,等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE=2b,且 边 AD 和 AE 在同一直线上. 操作示例 当 2b<a 时,如图 1,在 BA 上选取点 G,使 BG=b,连结 FG 和 CG,裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形 FGCH. 思考发现 小明在操作后发现:该剪拼方法就是先将△FAG 绕点 F 逆时针旋转 90°到△FEH 的位置,易知 EH 与 AD 在同一直线上.连结 CH,由剪拼方法可得 DH=BG,故△CHD ≌△CGB,从而又可将△CGB 绕点 C 顺时针旋转 90°到△CHD 的位置.这样,对于剪 拼得到的四边形 FGCH(如图 1) ,过点 F 作 FM⊥AE 于点 M(图略) ,利用 SAS 公理可 判断△HFM≌△CHD, 易得 FH=HC=GC=FG, ∠FHC=90°. 进而根据正方形的判定方法, 可以判断出四边形 FGCH 是正方形. 实践探究 (1)正方形 FGCH 的面积是 ; (用含 a,b 的式子表示) (2)类比图 1 的剪拼方法,请你就图 2—图 4 的三种情形分别画出剪拼成一个新正方 形的示意图. F
F F A A E D H (E) D A D E A

F

D

E

G B 2b<a 图1 C

B 2b=a 图2

C

B a<2b<2a 图3

C

B

C b=a 图 4

联想拓展 小明通过探究后发现:当 b≤a 时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的 点 G 的位置在 BA 方向上随着 b 的增大不断上移.当 b>a 时(如图 5) ,能否剪拼 成一个正方形?若能,请你在图 5 中画出剪拼成的正方形的示意图;若不能,简要 说明理由.
F

A

D

E

B

C

b>a
图5

22.解: (1)a +b ;

2

2

------------------ 1 分

(2)剪拼成的新正方形示意图如图 2—图 4 中的正方形 FGCH. 联想拓展: 联想拓展:能剪拼成正方形. 示意图如图 5.
F A G B 图2 C (E) D H A G B 图3 F (G) A F (H) E G A F

D E

H

D

D C 图5

H E

C

B

C 图4

B

(1)如图 1,把边长是 3 的等边三角形的各边三等分,分别以居中那条线段为一 石景山 22. 边向外作等边三角形, 并去掉居中的那条线段, 得到图 2, 再把图 2 中图形各边三等分, 分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形, 并去掉居中的那条线段, 得到一个新图 形,则这个新图形的周长是 ;

图1

图2

(2)如图 3,在 5 × 5 的网格中有一个正方形,把正方形的各边三等分,分别以居中那条 线段为斜边向外作等腰直角三角形,去掉居中的那条线段,得到图 4,请把图 4 中的图 形剪拼成正方形,并在图 4 中画出剪裁线,在图 5 中画出剪拼后的正方形.

图3

图4

图5

22. (1)16 (2)各 2 分

…………………………………………1 分

延庆 22.几何模型: 条件:如下左图, A , B 是直线 l 同旁的两个定点.问题:在直线 l 上确定一点 P ,使

PA + PB 的值最小.
方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A′ ,连结 A′B 交 l 于点 P ,则 PA + PB = A′B 的值最 小(不必证明) . 模型应用: 连结 BD , (1) 如图 1, 正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,P 是 AC 上一动点. 由正方形对称性可知, B 与 D 关于直线 AC 对称.连结 ED 交 AC 于 P ,则

PB + PE 的最小值是___________;
(2) 如图 2,⊙O 的半径为 2,点 A,B,C 在 ⊙O 上,OA ⊥ OB ,∠AOC = 60° P , 是 OB 上一动点,则 PA + PC 的最小值是___________; (3)如图 3, ∠AOB = 45° P 是 ∠AOB 内一点, PO = 10 , Q ,R 分别是 OA,OB , 上 的动点,则 △PQR 周长的最小值是___________. B A l P A P 图2 B A C B Q 图3 R B P A

A′
图1 22. (1) PB + PE 的最小值是_____ 5 ______; (2) PA + PC 的最小值是___ 2 3 ________; (3) PQR 周长的最小值是__ 10 2 _________.

,凸四边形 ABCD ,如果点 P 满足 平谷 22.如图(1) ∠APD = ∠APB = α ,且 ∠BPC = ∠CPD = β , 则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角点. (1)在图(2)正方形 ABCD 内画一个半等角点 P ,且满足 α ≠ β ; (2)在图(3)四边形 ABCD 中画出一个半等角点 P ,

保留画图痕迹(不需写出画法) .

22.解 :

D D P A A
图(2)

C B' P B B
图(3)

C

(1)所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点. (如图(2) )……………2 分 (2)画点 B 关于 AC 的对称点 B ′ ,延长 DB′ 交 AC 于点 P ,点 P 为所求(不写文字说明不 扣分) .………………………………………………………………………………………….4 分 (说明:画出的点 P 大约是四边形 ABCD 的半等角点,而无对称的画图痕迹,给 1 分)

房山 22.阅读下列材料: 小明遇到一个问题:如图 1,正方形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD 和 DA 边上靠近 A,B,C,D 的 n 等分点,连结 AF,BG,CH,DE,形成四边形 MNPQ.求 四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比(用含 n 的代数式表示) . 小明的做法是: 先取 n=2,如图 2,将△ABN 绕点 B 顺时针旋转 90゜至△CBN′,再将△ADM 绕点 D 逆时针旋转 90゜至△CDM′,得到 5 个小正方形,所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的 面积比是

1 ; 5

然后取 n=3,如图 3,将△ABN 绕点 B 顺时针旋转 90゜至△CBN′,再将△ADM 绕点 D 逆时针旋转 90゜至△CDM′,得到 10 个小正方形,所以四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比是

4 2 ,即 ; 10 5

…… 请你参考小明的做法,解决下列问题: (1)在图 4 中探究 n=4 时四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的面积比(在图 4 上画图并 直接写出结果) ; (2)图 5 是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形

(在图 5 中画出并指明拼接后的正方形) .
A E M N B F
图 1 图

H Q P

D

A M E

H Q P F N'

D

A E M N B F N'

H Q P

D

G C
B

N

G M' C

G C

M'



A E M N B F

H Q P

D

图3

G C

图4

图5

22.

A
A E M N B F H Q D

D B

P

G C

C

----------------------1 分 四边形 MNPQ 与正方形 ABCD 的 面积比是

------------------3 分 拼接后的正方形是 正方形 ABCD . -------------------4 分

9 . --------------------2 分 17

(1)观察与发现: 密云 22. 在一次数学课堂上,老师把三角形纸片

A E

A F D 图② C

ABC (AB>AC)沿过 A 点的直线折叠,使
得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,展开纸 片(如图①) ;再次折叠该三角形纸片, B D 图① C B

使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到 △ AEF (如图②) .有同学说此时 的 △ AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.

(2)实践与运用 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕 为 BE(如图③) ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点 D′ 处,折痕为 EG (如图④) ;再展平纸片(如图⑤) .试问:图⑤中 ∠α 的大小是多少?(直接回答, 不用说明理由) . A E D A
D′

E

D A

E

D

α
C B F 图⑤ G C

B 22. (本小题满分 4 分)

F 图③

C B

F C′G 图④

解: (1)同意.如图,设 AD 与 EF 交于点 M, 由折叠知,∠BAD=∠CAD, ∠AME=∠AMF=90O. ------------------------------1 分

∴ 根据三角形内角和定理得 ∠AEF=∠AFE. ------------------------------------2 分 ∴ △AEF 是等腰三角形. 3 分 (2)图⑤中 ∠α 的大小是 22.5o. 4 分

阅读下列材料: 昌平 22.阅读下列材料 阅读下列材料 将图 1 的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形,如图 2,再将图 ... 2 中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.(要求:无缝隙 且不重叠) 请你参考以上做法解决以下问题: 请你参考以上做法解决以下问题: (1)将图 4 的平行四边形分割成面积相等的八个三角形; ... (2)将图 5 的平行四边形用不同于(1)的分割方案,分割成面积相等的八个三角形, ... 再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形,类比图 2, 图 3,用数字 1 至 8 标明.

1 5

2 6

3 4 7 8

1

2

3 4

5 6 7 8

图1

图2

图3

图4

图5

22. (本小题满分 5 分) 解:如图所示: (1)图 4 分割正确. 1 分 (2)图 5 分割正确, 3 分 图 5 拼接正确. 5 分

1 5

2 6

3 4 7 8

1

2

3 4

5 6 7 8

图1

图2

图3

1 5

2 3

4

1

2 3

4

5 7

6 8

6 7 8

图4

图5

东城 22. 人们经常利用图形的规律来计算一些数的和. 如在边长为 1 的网格图 1 中,从左 下角开始,相邻的黑折线围成的面积分别是 1,3,5,7,9,11,13,15,17 LL ,它们 有下面的规律: 1+3=22 ; 1+3+5=32 ; 1+3+5+7=42 ; 1+3+5+7+9=52 ;……

1 3 5 7 9
图1 (1)请你按照上述规律,计算 1+3+5+7+9+11+13 的值,并在图 1 中画出能表示该算式的 图形; (2)请你按照上述规律,计算第 n 条黑折线与第 n 1 条黑折线所围成的图形面积; (3)请你在边长为 1 的网格图 2 中画出下列算式所表示的图形. 1+8=32 ; 1+8+16=52 ; 1+8+16+24=72 ; 1+8+16+24+32=92 .

图2

海淀 22.阅读:如图 1,在 ABC 和 DEF 中,

∠ABC = ∠DEF = 90° , AB = DE = a, BC = EF = b
直线 m 上,点 B 与点 D 重合.

(a < b ) , B ,C , D ,
2

E 四点都在

连接 AE ,FC , 我们可以借助于 S ACE 和 S FCE 的大小关系证明不等式:a + b > 2ab
2

( b > a > 0 ). 证明过程如下: ∵ BC = b, BE = a, EC = b a.

F

1 1 EC AB = (b a )a, 2 2 1 1 S FCE = EC FE = (b a )b. 2 2 ∵b > a > 0 ,
∴ S ACE = ∴ SFCE > SACE . 即

A

B D) E ( )
图1

C

m

F

1 1 (b a )b > (b a )a . 2 2
2 2

A

∴ b ab > ab a . ∴ a + b > 2ab .
2 2

B

D

E
图2

C

m

解决下列问题: (1 ) 现将△ DEF 沿直线 m 向右平移, BD = k (b a ) , 设 且 0 ≤ k ≤ 1 .如图 2,当 BD = EC 时, k = 式: a + b > 2ab ( b > a > 0 ).
2 2

.利用此图,仿照上述方法,证明不等

(2)用四个与 ABC 全等的直角三角形纸板进行拼接,也能够借助图形证明上述不等式. ) 请你画出一个示意图,并简要说明理由. ..

22. (1) k =

1 ;--------------------------1 分 2 证明:连接 AD , BF . 1 可得 BD = (b a ) . 2
∴ S ABD =

1 1 1 1 BD AB = × × ( b a ) a = a ( b a ) , 2 2 2 4 1 1 1 1 S FBD = BD FE = × × ( b a ) b = b ( b a ) . 2 2 2 4 ∵ b>a >0,

∴ S ABD < S FBD , 即

F

1 1 a (b a ) < b (b a ) . 4 4
2 2

∴ ab a < b ab . ∴ a + b > 2ab .--------------------------2 分
2 2

A

B

D

E

C

m

(2)答案不唯一,图 1 分,理由 1 分. 举例:如图,理由: 延长 BA,FE 交于点 I. ∵ b > a > 0, ∴ S矩形IBCE > S矩形ABCD , 即 b(b a ) > a (b a ) . ∴ b ab > ab a .
2 2

I

E

F

A

D

H G m

B

C

∴ a + b > 2ab .--------------------------4 分
2 2

举例:如图,理由: 四个直角三角形的面积和 S1 = 4 × 大正方形的面积 S 2 = a + b .
2 2

1 a b = 2ab , 2

∵ b > a > 0, ∴ S 2 > S1 . ∴ a + b > 2ab .--------------------------4 分
2 2

怀柔 22.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形,方法如下:

中中 ① ②

中中









请你用上面图示的方法,解答下列问题: (1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩 形; (2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩 形. (1)

22. (1)
中中 ① ② 中中 ③

① ③



(2)

注:每图 1 分,共 4 分.


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