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2015 概率统计 5.1


第五章 样本及统计量

§ 5.1 总体(population)与样本(sample)
1 总体、个体与总体容量
(1)把被研究的对象的全体叫做总体。 (2)总体中各个研究对象称为个体, (3)总体中所包含的个体数称为总体容量。

(4) 容量有限的总体称为有限总体,

容量无限的总体称为无穷总体。

实例 在研究2000名学生的年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生的年龄就是个体.

总体X 即研究对象的某项数量指标 X , 其取值 在客观上有一定的分布, X是一个随机变量.

2 样本、样本容量与简单随机样本
若干次试验)所构成的叫样本。

(1)从总体中抽取一部分个体(即对r.v.X进行

(2)样本中所包含的个体数称为样本容量。

(3) 由总体中取出样本的过程称为抽样。
为使样本具有充分的代表性, ①抽样必须是随机的, ②抽样必须是独立的。

(4)这种抽样方法叫做简单随机抽样,得到的 样本叫做简单随机样本。

Notes
简单随机样本满足: (1)随机变量X 1 , X 2 ,?, X n是独立的, (2)且与总体X服从相同的分布。
X1 , X 2 ,?, X n
i .i .d .

~

F ( x)

总体分布(分布函数、分布律或分布 密度)、数字特征或参数
从总体中取 出简单随机 样本(样本 来自总体) 根据样本观测 之作出估计推 断(样本代表 总体)

样本观测值的分布函数、频率分布直 方图、数字特征或参数

3 样本的联合分布
若总体X是离散型的随机变量,分布函数为F(x),
分布律为 P{ X ? xi } ? p( xi ),

则样本X1 , X2 ,?, Xn的联合分布函数为:
F * ( x1 , x2 ,? , xn ) ? ? F ( xi ),
n i ?1

联合分布率为:

P{ X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,? , X n ? xn } ? ? p( xi ).
i ?1

n

若总体X是连续型的随机变量 分布函数为F(x),分布密度为 p( x ),

则样本 X1 , X 2 ,?, X n的联合分布函数为:
F * ( x1 , x2 ,? , xn ) ? ? F ( xi ),
i ?1 n

联合分布密度为:

p ( x1 , x2 ,?, xn ) ? ? p( xi ).
* i ?1

n

例 设总体X ~ B(1, p ), 求样本X 1 ,?, X n的 联合分布律。

解 ? X ~ B(1, p), 分布律
P{ X ? xi } ? p( xi ) ? p x (1 ? p )1? x , ( xi ? 0,1),
i i

? 联合分布律:
? xi
i ?1 n

P{ X 1 ? x1 , X 2 ? x2 ,?, X n ? xn } ? ? p( xi ).

n

?p

(1 ? p )

n? ? xi
i ?1

n

i ?1

.

从总体中抽取容量为 n的样本,得到n个 样本观测值,列表

4. 样本观测值的分布函数(经验分布 )
样本观测值 频数 频率

x(1) x( 2 ) ? x( k )

n1 n2 ? nk

f1 f2 ? fk

其中 x ( 1 )? x( 2) ? ? ? x( k ) ( k ? n)

ni fi ? , n

i ?1

? ni ? n, ? fi ? 1.
i ?1

k

k

1 F ( x ) = P{X * ? x} = ? P{X * = x(i ) } = ? x( i ) ? x x( i ) ? x n
* n

1 P{ X * = x(i ) } = n

样本观测值的分布函数
1 F ( x ) = P{X * ? x} = ? P{X * = x(i ) } = ? x( i ) ? x x( i ) ? x n
* n

? 0,当x ? x(1) ; ? ? * Fn ( x ) ? ? ? f i ,当x( i ) ? x ? x( i ?1) ; ? x( i ) ? x ? 1,当x ? xk . ?

在样本容量较大时,可 用样本观测值的
* 的分布函数Fn ( x)来估计总体X的分布函数F( x).

由贝努利大数定理: lim P{| Fn? ( x ) ? F ( x ) |? ? } ? 1
n??

经验分布函数依概率收敛于总体分布函数. 即经验分布函数是总体分布函数的近似.

例 从总体X中随机抽取8个观测值为45,46,48, 51,51,64,57,62,写出样本观测值的分布函数。 解 大小重新排列 45<46<48<51=51<57<62<64

当x ? 45时,Fn* ( x ) ? 0,
1 当45 ? x ? 46时,F ( x ) ? , (仅有45) 8 2 * 当46 ? x ? 48时,Fn ( x ) ? , (有45,46) 8 3 * 当48 ? x ? 51时,Fn ( x ) ? , (有45,46,48) 8
* n

5 当51 ? x ? 57时,F ( x ) ? , (有45,46,48,51,51) 8 6 * 当57 ? x ? 62时,Fn ( x ) ? , (45,46,48,51,51,57 ) 8 7 * 当62 ? x ? 64时,Fn ( x ) ? , 8 (45,46,48,51,51,57,62)
* n

8 当64 ? x时,F ( x ) ? ? 1. 8
* n

5. 样本观测值的频率分布直方图

从总体中抽取容量为 n的样本,得到n个 样本观测值,列表 样本观测值
频数 频率

x(1) x( 2 ) ? x( k )

n1 n2 ? nk

f1 f2 ? fk

其中x ( 1) ? x( 2) ? ? ? x( k ) (k ? n) k ni k f i ? , ? ni ? n, ? f i ? 1. n i ?1 i ?1

样本观测值 x1,x2,…,xn (1) 排序x(1)≤x(2) ≤… ≤ x(n) (2) 分组 a<x(1), b>x(n) 组数m 组间距Δi =(b-a)/m [a,a1)[a1,a2)…[am-1,b) (3) 统计
频数 n1 频率 n1/n
n2 n2/n nm nm/n

(4)作图 以组间距为宽度,以fi/Δi为高作长方形 频率直方图是总体分布密度f(x)的近似

§5.2 样本的数字特征
若总体X的一个样本为 X1 , X 2 ,?, X n ,

一. 样本均值 样本和: ? X i ? X 1 ? X 2 ? ? ? X n ,
i ?1 n

样本均值:

1 n X ? ? Xi n i ?1

二. 样本方差 样本离差平方和 样本方差 样本标准差 修正样本方差

SS ? ? ( X i ? X )2
i ?1
n 1 S 2 ? ? ( X i ? X )2 , n i ?1

n

修正样本标准差

1 n 2 ?X i ? X ? S? ? n i ?1 n 1 2 S *2 ? ( X ? X ) , ? i n ? 1 i ?1 n 1 2 * ?X i ? X ? S ? ? n ? 1 i ?1

2 1 2 例1. 证明: S ? ? X i ? ( X ) n i ?1 2

n

例2. 设总体X满足EX=?, DX=σ2. 证明: (1)E X ? ? , D X ? n n?1 2 2 *2 2 ES ? ? , ES ? ? (2)
n

?2

三. 样本矩
样本k阶原点矩: 样本k阶中心矩:
1 n k Ak ? ? X i n i ?1

1 n Bk ? ? ( X i ? X )k n i ?1

四. 其它样本数字特征 样本变异系数
S* CV ? ? 100 X

众数(mode)的观测值为样本观测值中重复 出现的频数最大的观测值(或组中值); 极差(range)的观测值=最大观测值与最小 观测值之差;

p分位数(0<p<1)的观测值Q为样本观测值
中的某一个观测值(或组中值),不大于Q的观 测值的频率不小于p; 中位数(median)的观测值为0.5分位数的 观测值,或样本观测值按大小排序后位于中 间的一个观测值或两个观测值的算术平均值。

例: 设样本观测值为

1,2,2,3,3,3,4,5,6,7,8, 试计算它的数字特征: (1)样本总和; (2)样本均值; (3)样本标准差; (4)修正样本标准差; (5)样本变异系数; (6)极差; (7)众数; (8)中位数; (9)0.75分位数.

作业:P132,1

P138, 2, 3


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