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三角函数、解三角形


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中档题目强化练——三角函数、解三角形
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知角 A 是△ABC 的一个内角,若 sin A+cos A= 12 A.- 5 答案 A 7 ? ?sin A=13, ?sin A+cos A=13, 解析 由? 得? 5 2 2 ? ?sin A+cos A=1, ?cos A=-13 12 7 B. 12 7 C.- 12 7 ,则 tan A 等于 13 12 D. 5 ( )

?sin A=-13, 或? 12 ?cos A=13
3π A. 4 答案 A

5

12 (舍去),∴tan A=- . 5

π 2. 函数 y=3cos(x+φ)+2 的图像关于直线 x= 对称,则 φ 的可能取值是 4 3π B.- 4 π C. 4 π D. 2

(

)

解析 ∵y=cos x+2 的对称轴为 x=kπ(k∈Z), π π ∴x+φ=kπ(k∈Z),即 x=kπ-φ(k∈Z),令 =kπ-φ(k∈Z)得 φ=kπ- (k∈Z),在四个 4 4 3π 选项中,只有 满足题意. 4 π? π 3. 已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图像关于直线 x= 对称,且 f? ?3?=0,则 ω 的最小 12 值为 A.2 答案 A π π π 解析 由题意知 ω· +φ=k1π,ω·+φ=k2π+ , 12 3 2 其中 k1,k2∈Z,两式相减可得 ω=4(k2-k1)+2, 又 ω>0,易知 ω 的最小值为 2.故选 A. B.4 C .6 D.8 ( )

1

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π 4. 设函数 f(x)=cos(ωx+φ)- 3sin(ωx+φ)(ω>1,|φ|< ),且其图像相邻的两条对称轴为 x1 2 π =0,x2= ,则 2 π? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为增函数 π? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为减函数 C.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为 2π,且在(0,π)上为减函数 答案 B π ωx+φ+ ?, 解析 由已知条件得 f(x)=2cos? 3? ? T π 由题意得 = ,∴T=π. 2 2 2π ∴T= ,∴ω=2. ω π φ+ ?,x=0 为 f(x)的对称轴, 又∵f(0)=2cos? ? 3? π π ∴f(0)=2 或-2,又∵|φ|< ,∴φ=- , 2 3 π 0, ?上为减函数,故选 B. 此时 f(x)=2cos 2x,在? ? 2? π 0, ?上有两个零点,则 m 的取值范围是( 5. 已知函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x-m 在? ? 2? A.(1,2) C.(1,2] 答案 B π 解析 利用三角函数公式转化一下,得 f(x)=2sin(2x+ )-m, 6 π 它的零点是函数 y1=2sin(2x+ )和 y2=m 的交点所对应的 x 的值, 6 π? ∴要在? ?0,2?上有两个零点,y1 和 y2 就要有两个交点, π? ? π? 结合函数 y1=2sin? ?2x+6?在?0,2?上的图像, 知道当 y2=m 在[1,2)上移动时,两个函数有两个交点. 二、填空题 6. 已知△ABC 的面积为 3 π ,AC= 3,∠ABC= ,则△ABC 的周长等于________. 2 3 B.[1,2) D.[1,2] ) ( )

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答案 3+ 3 1 3 解析 S= acsin∠ABC= ,得 ac=2; 2 2 a2+c2-b2 根据余弦定理 cos∠ABC= ,得 a2+c2=5. 2ac 由①②可求得 a+c=3,则三角形周长可求. π? 7. 函数 y=tan? ?2x+6?的对称中心为________. π kπ - + ,0?(k∈Z) 答案 ? ? 12 4 ? kπ ? π 解析 ∵y=tan x(x≠ +kπ,k∈Z)的对称中心为? ? 2 ,0?(k∈Z), 2 π kπ π kπ ∴可令 2x+ = (k∈Z),解得 x=- + (k∈Z). 6 2 12 4 π? 因此,函数 y=tan? ?2x+6?的对称中心为 ① ②

?- π +kπ,0?(k∈Z). ? 12 4 ?
π? 2 8. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图像如图所示,f? ?2?=-3,则 f(0)=________.

答案

2 3

2π 解析 由图像,可知所求函数的最小正周期为 , 3 故 ω=3. 7π ? 从函数图像可以看出这个函数的图像关于点? ?12,0?中心对称, 7π ? ?7π ? 也就是函数 f(x)满足 f? ?12-x?=-f?12+x?, π? π ?2π? 当 x= 时,得 f? ?2?=-f? 3 ?=-f(0), 12 2 故得 f(0)= . 3 三、解答题 9. (2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a2=b2+c2+ 3bc. (1)求 A; (2)设 a= 3,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值.
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解 (1)由余弦定理得 b2+c2-a2 - 3bc 3 cos A= = =- . 2bc 2bc 2 5π 又因为 0<A<π,所以 A= . 6 1 (2)由(1)得 sin A= , 2 又由正弦定理及 a= 3得 1 1 asin B S= absin C= · · asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A 因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C) =3cos(B-C). π-A π 所以,当 B=C,即 B= = 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12 π 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的图像与 x 轴的相交点中,相邻两个 2 2π π ? 交点之间的距离为 ,且图像上一个最低点为 M? ? 3 ,-2?. 2 (1)求 f(x)的解析式; π π? (2)当 x∈? ?12,2?时,求 f(x)的值域. 解 2π ? (1)由最低点为 M? ? 3 ,-2?,得 A=2.

π T π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得, = , 2 2 2 2π 2π 即 T=π,所以 ω= = =2. T π 2π ? 由点 M? ? 3 ,-2?在函数 f(x)的图像上, 2π ? 得 2sin? ?2× 3 +φ?=-2, 4π ? 即 sin? ? 3 +φ?=-1. 故 4π π 11π +φ=2kπ- ,k∈Z,所以 φ=2kπ- (k∈Z). 3 2 6

π? π 又 φ∈? ?0,2?,所以 φ=6, π? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin? ?2x+6?. π π? π ?π 7π? (2)因为 x∈? ?12,2?,所以 2x+6∈?3, 6 ?.
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π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π 7π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 2 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1. 若 0≤sin α≤ 2 ,且 α∈[-2π,0],则 α 的取值范围是 2 ( )

7π? ? 5π ? A.? ?-2π,- 4 ?∪?- 4 ,-π? 7π ? ? 5π ? B.? ?-2π+2kπ,- 4 +2kπ?∪?- 4 +2kπ,-π+2kπ? (k∈Z) π? ?3π ? C.? ?0,4?∪? 4 ,π? π? ? 3π ? D.? ?2kπ,2kπ+4?∪?2kπ+ 4 ,2kπ+π?(k∈Z) 答案 A 解析 根据题意并结合正弦线可知, π? α 满足? ?2kπ,2kπ+4?∪

?2kπ+3π,2kπ+π?(k∈Z), 4 ? ?
∵α∈[-2π,0], ∴α 的取值范围是

?-2π,-7π?∪?-5π,-π?.故选 A. 4? ? 4 ? ?
π 2. 同时具有下列性质:“①对任意 x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立;②图像关于直线 x= 对称; 3 π π - , ?上是增函数”的函数可以是 ③在? ? 6 3? x π? A.f(x)=sin? ?2+6? π 2x- ? B.f(x)=sin? 6? ? π 2x+ ? C.f(x)=cos? 3? ? π 2x- ? D.f(x)=cos? 6? ? ( )

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答案 B 解析 依题意,知满足条件的函数的一个周期是 π, π π π - , ?上是增函数. 以 x= 为对称轴,且在? ? 6 3? 3 对于 A,其周期为 4π,因此不正确; π? ? π π? 对于 C,f? ?3?=-1,但该函数在?-6,3?上不是增函数,因此 C 不正确; π? 对于 D,f? 1,因此 D 不正确. ?3?≠± π ? 3. 已知函数 f(x)=2sin x,g(x)=2sin? ?2-x?,直线 x=m 与 f(x),g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值为________. 答案 2 2 π? 解析 构造函数 F(x)=2sin x-2cos x=2 2sin? ?x-4?,故最大值为 2 2. π? ? π? 1 4. 曲线 y=2sin? ?x+4?cos?x-4?与直线 y=2在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,P3,?,则|P2P4|=________. 答案 π

π π x+ ?cos?x- ? 解析 y=2sin? ? 4? ? 4? π ?x+π-π? x+ ?· =2sin? cos ? 4? ? 4 2? π x+ ? =2sin2? ? 4? π 2x+ ?=1+sin 2x, =1-cos? 2? ? |P2P4|恰为一个周期的长度 π. 5. 已知函数 f(x)= 3(sin2x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; π π? (2)设 x∈? ?-3,3?,求 f(x)的值域和单调递增区间. 解 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2x)-2sin xcos x

π 2x+ ?, =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin? 3? ? ∴f(x)的最小正周期为 π. π π π π - , ?,∴- ≤2x+ ≤π. (2)∵x∈? ? 3 3? 3 3

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∴- π? 3 ≤sin? ?2x+3?≤1. 2

∴f(x)的值域为[-2, 3]. π? ∵当 y=sin? ?2x+3?递减时,f(x)递增, π π 3π 令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 则 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12 π π? π π 又 x∈? ?-3,3?,∴12≤x≤3. π π? 故 f(x)的单调递增区间为? ?12,3?.

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