kl800.com省心范文网

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性规划教师用书文北师大版


第三节
[考纲传真]

简单线性规划

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的

几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元 线性规划问题,并能加以解决.

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成 的平面区域 各个不等式所表示平面区域的公共部分 不包括边界直线 包括边界直线

Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0
不等式组

2.线性规划中的相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式(组) 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.( (2)线性目标函数的最优解可能不唯一.( ) )

(3)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截 距.( )
2 2

(4)不等式 x -y <0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线 围成的含有 y 轴的两块区域.( )

1

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改编)不等式组?
?x-3y+6<0, ? ?x-y+2≥0 ?

表示的平面区域是(

)

C

[x-3y+6<0 表示直线 x-3y+6=0 左上方的平面区域, x-y+2≥0 表示直线 x-y

+2=0 及其右下方的平面区域,故选 C.]

x-y+1≥0, ? ? 3.(2016·全国卷Ⅲ)若 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, ? ?x+2y-2≤0,
为________. 3 2 [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.

则 z=x+y 的最大值

由?

? ?x-2y=0, ?x+2y-2=0 ?

? 1? 得 A?1, ?. ? 2?

1 3 ? 1? 当直线 z=x+y 过点 A?1, ?时,zmax=1+ = .] 2 2 ? 2? 4.(2016·保定调研)在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1)到直线 4x-3y-1=0 的 距离为 4,且点 P(m,1)在不等式 2x+y≥3 表示的平面区域内,则 m=__________. 【导学号:66482287】 6 |4m-3-1| [由题意得 =4 及 2m+1≥3, 5

解得 m=6.]

x≥1, ? ? 5 .在平 面直角坐标系中,不等 式组 ?x+y≤0, ? ?x-y-4≤0
__________.

表示的平面区域的 面积是

【导学号:66482288】 1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示,
2

由 x=1,x+y=0 得 A(1,-1), 由 x=1,x-y-4=0 得 B(1,-3), 由 x+y=0,x-y-4=0 得 C(2,-2), 1 ∴|AB|=2,∴S△ABC= ×2×1=1.] 2

二元一次不等式(组)表示的平面区域

x+y-3≥0, ? ? (1)(2016·浙江高考)若平面区域?2x-y-3≤0, ? ?x-2y+3≥0
行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( A. 3 5 5 3 2 2 B. 2 )

夹在两条斜率为 1 的平

C.

D. 5

x-y+5≥0, ? ? (2)(2016·衡水中学调研)若不等式组?y≥a, ? ?0≤x≤2
形,则 a 的取值范围是( A.a<5 C.5≤a<7 (1)B (2)C ) B.a≥7 D.a<5 或 a≥7

表示的平面区域是一个三角

[(1) 根据约束条件作出可行域如图阴影部分, 当斜率为 1 的直线分别过 求 得 A(1,2) , 联 立 方 程 组

?x+y-3=0, ? A 点和 B 点时满足条件,联立方程组? ? ?x-2y+3=0 ? ?2x-y-3=0, ? ?x+y-3=0 ?

求得 B(2,1),可求得分别过 A,B 点且斜率为 1 的两条直线方程为 x-y

3

|1+1| +1=0 和 x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为 = 2,故选 B. 2

(2)如图,当直线 y=a 位于直线 y=5 和 y=7 之间(不含 y=7)时满足条件,故选 C.]

[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平 面区域,若直线不过原点,特殊点常选取原点. 2.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,画出图形后,面 积关系结合平面几何知识求解.

x+y-2≥0, ? ? [变式训练 1] 不等式组?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0
4 由?

表示的平面区域的面积为_____.

[不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.
?x+3y-2=0, ? ? ?x+2y-4=0

得?

?x=8, ? ? ?y=-2,

∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2). 直线 x+2y-4=0 与 x 轴的交点 D 的坐标为(4,0). 1 1 因此 S△ABC=S△ABD+S△BCD= ×2×2+ ×2×2=4.] 2 2

4

简单的线性规划问题 ?角度 1 求线性目标函数的最值

x-y+1≥0, ? ? (1)(2016·全国卷Ⅱ)若 x, y 满足约束条件?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0,
的最小值为________.

则 z=x-2y

x+y≤2, ? ? 1 (2)(2017·福州质检)已知实数 x,y 满足?x≥ , 2 ? ?y≥x,
列,则实数 z 的最大值是__________.

且数列 4x,z,2y 为等差数

x-y+1≥0, ? ? (1)-5 (2)3 [(1)不等式组?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0
1 1 由 z=x-2y 得 y= x- z. 2 2

表示的可行域如图阴影部分所示.

1 平移直线 y= x,易知经过点 A(3,4)时,z 有最小值,最小值为 z=3-2×4=-5. 2

?1 1? ?1,3?, (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以? , ?, ? ? (1,1) ?2 2? ?2 2?
为顶点的三角形区域(包含边界),又由题意易得 z=2x+y,所以当目标函数 z=2x+y 经过 平面区域内的点(1,1)时,z=2x+y 取得最大值 zmax=2×1+1=3.]
5

?角度 2 求非线性目标函数的最值

x+y≤2, ? ? (1)(2016·山东高考)若变量 x, y 满足?2x-3y≤9, ? ?x≥0,
是( ) A.4 C.10 B.9 D.12

则 x +y 的最大值

2

2

x≥-1, ? ? (2)(2017·湖北七市 4 月联考)若变量 x, y 满足约束条件?y≥x, ? ?3x+5y≤8,
的取值范围是__________. (1)C

则 z=

y

x-2

1? ? 2 (2)?-1, ? [(1) 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x + 3? ? 得 A(3,-1),由图易得(x +
2

?x+y=2, ? y2 表示平面区域内的点到原点距离的平方,由? ? ?2x-3y=9

y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选 C.

x≥-1, ? ? (2)作出不等式组?y≥x, ? ?3x+5y≤8
界),

所表示的区域,如图中△ABC 所表示的区域 (含边

6

11? y ? 其中点 A(1,1),B(-1,-1),C?-1, ?.z= 表示△ABC 区域内的点与点 M(2,0) 5? x-2 ? 1 -1 1 的连线的斜率,显然 kMA≤z≤kMB,即 ≤z≤ ,化简得-1≤z≤ .] 1-2 -1-2 3 ?角度 3 线性规划中的参数问题

x≥1, ? ?y≥-1, (2016·河北石家庄质检)已知 x,y 满足约束条件? 4x+y≤9, ? ?x+y≤3,
标函数 z=y-mx(m>0)的最大值为 1,则 m 的值是( )

若目

【导学号:66482289】 20 A.- 9 C.2 B B.1 D.5

[作出可行域,如图所示的阴影部分.

∵m>0,∴当 z=y-mx 经过点 A 时,z 取最大值,由?

?x=1, ? ? ?x+y=3,

解得?

?x=1, ? ? ?y=2,



A(1,2),∴2-m=1,解得 m=1.故选 B.]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一作图、二平移、三求值.其关键是 准确作出可行域,理解目标函数的意义. 2.常见的目标函数有: (1)截距型:形如 z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数 z=ax+by 转化为直线 的斜截式:y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. (2)距离型:形如 z=(x-a) +(y-b) . (3)斜率型:形如 z=
2 2

a b

z b

z b

y-b . x-a

易错警示:注意转化的等价性及几何意义. 线性规划的实际应用

7

(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种 主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料

A

B

C

甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨.在此基础上生产甲、乙两种 肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润 为 3 万元.分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮, 能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

[解]

? ?8x+5y≤360, (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为?3x+10y≤300, x≥0, ? ?y≥0.
4x+5y≤200, 5分

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.

(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 2 z 2 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ ,它的图象是斜率为- ,随 z 变化的一族平 3 3 3 行直线, 为直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时,z 的值最大.根据 x,y 满足的约束条 3 3 件,由图②可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大. 3 分

z

z

z

7

8

? ?4x+5y=200, 解方程组? ?3x+10y=300, ?

得点 M 的坐标为(20,24),

所以 zmax=2×20+3×24=112. 答: 生产甲种肥料 20 车皮, 乙种肥料 24 车皮时利润最大, 且最大利润为 112 万元. 分 [规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤 (1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题; (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题; (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案. 2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示 变量,列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. [变式训练 2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种 产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( ) 【导学号:66482290】 甲 乙 2 2 B.16 万元 D.18 万元 原料限额 12 8 12

A(吨) B(吨)
A.12 万元 C.17 万元

3 1

D

[ 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、 y 吨,每天所获利润为 z 万元,则有

9

3x+2y≤12, ? ? ?x+2y≤8, ? ?x≥0,y≥0,

z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线 z=

3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3=18.]

[思想与方法] 1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”. (1)直线定界:即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线. (2)特殊点定域: 当 C≠0 时, 常把原点作为测试点; 当 C=0 时, 常选点(1,0)或者(0,1) 作为测试点. 2.利用线性规划求最值的步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数求最值. [易错与防范] 1.画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. 2.求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求 y=- x+ 的 截距 的最值间接求出 z 的最值,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时,z 也取最大值;截 距 取最小值时,z 也取最小值.当 b<0 时,结论与 b>0 的情形恰好相反.

a b

z b

z b

z b

z b

10


2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单....doc

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性规划教师用书文北师大版 - 第三节 [考纲传真] 简单线性规划 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组...

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性....doc

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性规划教师用书文北师大版 -

高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第3节 简单....doc

高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第3节 简单线性规划教师用书 文 北师大版 - 第三节 [考纲传真] 简单线性规划 1.会从实际情境中抽象出二元一次不...

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课....doc

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用教师用书文北师大版_其它课程_高中教育_教育专区。2018 重点强化课() 不等式及其应用 [...

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性规划课时....doc

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节简单线性规划课时分层训练文北师大版 - 课时分层训练(三十三) 简单线性规划 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) ...

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二....doc

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二元一次不等式组与简单线性规划问题学案理北师大版 - 第三节 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 ...

高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第3节二元一....doc

高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二元一次不等式(组)与简单线性规划问题学案理北师大版 - 第三节 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 [...

...2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基....doc

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文 - 第三节 基本不等式 ...

...2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基....doc

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基本不等式教师用书文新人教A版 - 第三节 基本不等式 ...

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二....doc

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二元一次不等式组与简单线性规划问题学案文北师大版 - 第三节 [考纲传真] 二元一次不等式(组)与简单的...

2018高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第4节....doc

2018高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第4节 归纳与类比教师用书 文 北师大版 - 第四节 [考纲传真] 归纳与类比 1.了解合情推理的含义,能利用...

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二....ppt

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二元一次不等式组与简单线性规划问题课件理北师大版 - 第 第三节 章 不等式、推理与证明 二元一次不等式...

2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明重点强化....ppt

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用课件文北师大版_教学案例/设计_教学研究_教育专区。重点一 重点强化课() 不等式及其...

高考数学(文)一轮复习第6章 不等式推理与证明 第3节 二....doc

高考数学(文)一轮复习第6章 不等式推理与证明 第3节 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北师大版 2019 届高考...

2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明重点强化....doc

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用教师用书文新人教A版_高考_高中教育_教育专区。2018 重点强化课() 不等式及其应用 [...

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5节综合....pdf

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5节综合法与分析法反证法教师用书文北师大版 - 第五节 综合法与分析法、反证法 [考纲传真] 1.了解直接证明的...

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二....ppt

2019年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节二元一次不等式组与简单线性规划问题课件文北师大 - 第 第三节 章 不等式、推理与证明 二元一次不等式(...

2019年高考数学一轮复习: 第6章 不等式、推理与证明 第....doc

2019年高考数学一轮复习: 第6章 不等式推理与证明 第3节 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题学案 - 第三节 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题...

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重....doc

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用教师用书文新人教A版_其它课程_高中教育_教育专区。全国通用2018高考数学一轮复习第6...

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重....doc

全国通用2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明重点强化课3不等式及其应用教师用书文新人教A版_教学案例/设计_教学研究_教育专区。重点强化课() 不等式及其...