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【山西省山大附中2013届高三12月月考数学理试题 Word版含答案


山西大学附中 2012~2013 学年度第一学期高三年级十二月月考数学试题(理)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 A= {0, } ,B= {2,a } ,则“ a ? 2 ”是“ A ? B ? {4} ”的 ( 4
2



A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. ( ?

2.已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 2 x 2 ? 2 ,则下列区间必存在零点的是( A. ( ? 2,?

3 ) 2

B. ( ?

3 ,?1) 2

C. ( ? 1,?

1 ) 2

1 ,0 ) 2


?y ? 2 ? 3.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D.-1

a S 9 4.等差数列 ?an ? 中,若 7 ? ,则 13 ? ( ) a5 13 S9 9 13 A. B. C. 1 D. 2 13 9
5.程序框图(算法流程图)如右图所示,其输出结果 A ? ( A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 )

开始

A=1

k=1

B=2A+1

6.设 l , m, n 表示三条直线,? , ? , ? 表示三个平面,给出下列 四个命题: ①若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m ; ②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ? l ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , m // n ,则 n // ? ;ks5u ④若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? . 其中真命题为( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④

A=B

k=k+1 否

k>5? 是 输出A

结束

7 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) 满 足 : 对 任 意 x1, x2 ??0, ??? , 且 x1 ? x2 , 都 有

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则( ) A. f (3) ? f (?2) ? f (1) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)
8.已知 sin x ? sin ? ? cos ? ,cos x ? sin ? cos ? ,则 cos 2x ? ( A.0 B. 1 C. -1 D.不确定 9. 如图为一个几何体的三视图, 主视图和左视图均为矩形, 视图中曲线部分为半圆, 尺寸如图, 则该几何体的表面积为 ( ) A. 6 ? 3? ? 2 3 B. 2 ? 2? ? 4 2 )



C. 8 ? 5? ? 2 3

D. 2 ? 3? ? 4 2

n?1 10. 将数列 3 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下: , (1) (3, , 9) (27, 81, 243) ?, ,

? ?

则第 10 组中的第一个数是( A. 3
44

) C. 3
46

B. 3

45

D. 3 ks5u 的 等 边 三 角 形 , 设 点 P,Q 满 足

47

11. 已 知 ? ABC

为 边 长

2

? ? ? ? A P ? ?
1 ? 10 2

???? ??? ? ???? ? ? ???? ? ? 3 A AQ ? ?1 ? ? ? AC , ? ? R ,若 BQ ? CP ? ? ,则 ? ? ( ,, B 2
B.



A.

3 4

C.

1? 2 2

D.

1 2

12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,且两条曲线在 第一象限的交点为 P , ?PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围是( A. (0, ??) B. ( , ??) ) D. ( , ??)

1 3

C. ( , ??)

1 5

1 9

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若

3 ? 2i ? 1 ? i ,则 z ? z

. ks5u

14. 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 x ? 4 处 的 切 线 方 程 是 y ? ?2 x ? 9 , 则

f ( 4? f ? )

( 4 ) ?
1 3

.

15.若存在实数 x ? [ , 2] 满足 2x ? a ? 16.给出下列三个命题: ①函数 y ?

2 ,则实数 a 的取值范围是_________________. x

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2

②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数

y ? f ? 2x ? 与 y ?

1 g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称; 2

③若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 为周期函数;其中真 命题是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 70 分) 17. (本题满分 10 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A, B, C 的对边,锐角 B 满足

sin B ?

5 。 3
2

(1)求 sin 2 B ? cos (2) 若 b ?

? 2 ,当 ac 取最大值时,求 cos( A ? ) 的值. 3

A?C 的值; 2

18. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项为 a 1 ? 1 ,其前 n 项和为 sn ,且对任意正整数 n 有: n 、 an 、 S n 成等差数列. (1)求证:数列 ? S n ? n ? 2 (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

?成等比数列;

19. (本题满分 12 分) 某大学开设甲、 丙三门选修课, 乙、 学生是否选修哪门课互不影响. 已 知某学生只选修甲的概率为 0.08 ,只选修甲和乙的概率是 0.12 ,至少选修一门的概率是

0.88 ,用 ? 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)记“函数 f ( x) ? x ? ? x 为 R 上的偶函数”为事件 A ,求事件 A 的概率;
2

(2)求 ? 的分布列和数学期望. 20. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 1 ,AD ? 3 , F 是 PB 的中点, E 在边 BC 点 点
上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关 系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ;[ (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 x ? ax ? bx ? 1( x ? R, a , b 为实数)有极值,
3 2

3

且在 x ? 1 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 的极小值为 1,若存在,求出实数 a 的值;若不存在, 请说明理由;

22. (本题满分 12 分)已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过点 M (0, 2) 的直线 l 与抛物线交于 A 、 B 两 点,且直线 l 与 x 轴交于点 C . (1)求证: | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列; (2)设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;若不是, 请说明理由.

????

??? ?

????

??? ?

山西大学附中 2012~2013 学年度第一学期十二月月考高三年级数学学科(理)答案
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分)

题号 答案 13.
1 5 ? i 2 2

1 A

2 C

3 B

4 C

5 C

6 A
20 ) 3

7 C

8 C

9 D

10 B

11 D

12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

14. 3

15. ( ??,

16. ②③

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 70 分)

17.解 (1)∵锐角 B 满足 sin B ? ∵ sin 2 B ? cos 2

5 2 ,? cos B ? ?????1 分 3 3

A?C 1 ? cos( A ? C ) ? 2sin B ? cos B ? 2 2 2 1? 1 ? cos B 5 2 3 ? 8 5 ? 3 .???????? 5 分 ? 2sin B cos B ? ? 2? ? ? 2 3 3 2 18

(2)

a 2 ? c 2 ? b2 2 ? ,?????? 7 分 ∵ cos B ? 2ac 3

4 ∴ ac ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 2ac ? 2 3

∴ ac ? 3,当且仅当a ? c ? 3时,ac取到最大值 ?ks5u ??9 分 ∴ ac取到最大值时,cosA=

b2 ? c 2 ? a 2 b 2 6 . ? ? ? 2bc 2c 2 3 6

∴ sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ?

1 30 ? 6 6

∴ cos( A ? ? ) ? cos A cos ? ? sin A sin ? ? 6 ? 1 ? 30 ? 3 ? 6 ? 3 10 ??10 分
3 3 3 6 2 6 2 12

18.解:(1)证明:? n、an、S n 成等差数列

? 2an ? n ? S n (n ? 2),又an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ??2 分 ? 2(S n ? S n?1 ) ? n ? S n即S n ? 2S n?1 ? n ? S n ? n ? 2 ? 2S n?1 ? 2n ? 2
即 ??4 分 ? S n ? n ? 2 ? [S n?1 ? (n ? 1) ? 2] 2

Sn ? n ? 2 ?2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2

??S n ? n ? 2?成等比数列ks5u

?6 分 (2)由(1)知 ?S n ? n ? 2? 是以 S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列

? S n ? n ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2n?1 ? an ? 2n ? 1??12 分

又 2an ? n ? S n ,? 2an ? 2 ? 2n?1 ??9 分

19.解: (1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x 、 y 、 z
? x(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.08, ? x ? 0.4 ? ? 解得? y ? 0.6 ? xy(1 ? z ) ? 0.12, ?1 ? (1 ? x)(1 ? y )(1 ? z ) ? 0.88, ? z ? 0 .5 ? 依题意得 ?
若函数 f ( x) ? x ? ?x 为 R 上的偶函数,则 ? =0
2

??3 分

当 ? =0 时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.?4 分

? P( A) ? P(? ? 0) ? xyz ? (1 ? x)(1 ? y)(1 ? z ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.5)(1 ? 0.6) ? 0.24
∴事件 A 的概率为 0.24

??6 分

2 (2)依题意知 ? ? 0,
则 ? 的分布列为

?
P

0

2

0.24

0.76

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52

??12 分

20..解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则

P(0,0,1),B(0,1,0), F(0, , ),D( 3,0,0),
设 BE=x(0≤x≤ 3),则 E(x,1,0), → 1 2 1 2

PE·AF=(x,1, -1)·(0, , )=0,
∴PE⊥AF. (3)设平面 PDE 的法向量为



1 1 2 2

m=(p,q,1),

?m·→=0 PD 由? → ?m·PE=0

,得 m=(

1 ,1 3



x
3

, 1).

→ 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, → 2 |m·AP| 所以 sin45°= = ,∴ 2 → |m||AP| 1 1 x +(1- )2+1 3 3 = 1 , 2

得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45°. ks5u

21.解:(1)? f ( x) ? 1 x3 ? ax 2 ? bx ? 1, 3

? f ?( x) ? x2 ? 2ax ? b, 由题意? f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 1,

? b ? 2a.

① ??????????????????????2 分

? f ( x)有极值,?方程f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b ? 0有两个不等实根 .

?? ? 4a2 ? 4b ? 0,

?a2 ? b ? 0.

②????????4 分

由①、②可得, a2 ? 2a ? 0.

? a ? ?2或a ? 0.

故实数 a 的取值范围是 a ? (??,?2) ? (0,??) ??????????????6 分 (2)存在 a ? ? 8 . ????????8 分 ks5u

3

由(1)可知 f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? b, 令f ?( x) ? 0 ,

? x1 ? ?a ? a 2 ? 2a , x2 ? ?a ? a 2 ? 2a .

x
f ?(x)
f (x)

(??, x1 )
+ 单调增

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
- 单调减

x2
0 极小值

( x 2 ? ?)
+ 单调增

? x ? x 2时, f ( x)取极小值 , 则f ( x 2 ) ?

1 3 2 x 2 ? ax 2 ? 2ax 2 ? 1 ? 1 , 3

2 ? x2 ? 0或x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0 .????????????????????9 分

若x2 ? 0, 即 ? a ? a 2 ? 2a ? 0, 则a ? 0(舍). ??????????????10 分
2 2 若x2 ? 3ax2 ? 6a ? 0, 又f ?( x2 ) ? 0,? x2 ? 2ax2 ? 2a ? 0,? ax2 ? 4a ? 0.

? a ? 0,

? x2 ? 4,

??a ? a 2 ? 2a ? 4

? a ? ? 8 ? ?2. 3

8 ? 存在实数 a ? ? , 使得函数 f ( x) 的极小值为 1.????????????12 分 3

22.解: (1)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0) ,

? y ? kx ? 2 联立方程可得 ? 2 得: k 2 x2 ? (4k ? 4) x ? 4 ? 0 y ? 4x ?
2 4k ? 4 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C (? , 0) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 2 2 k k k

① ②

| MA | ? | MB |? 1 ? k 2 | x1 ? 0 | ? 1 ? k 2 | x2 ? 0 |?

4(1 ? k 2 ) , k2

2 4(1 ? k 2 ) 而 | MC |2 ? ( 1 ? k 2 | ? ? 0 |)2 ? ,∴ | MC |2 ?| MA | ? | MB |? 0 , 2 k k

即 | MA | , | MC | 、 | MB | 成等比数列

????6 分

??? ? ???? ??? ? ???? (2)由 MA ? ? AC , MB ? ? BC 得,
2 2 ( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? 2) ? ? (? x2 ? , ? y2 ) k k

即得: ? ?

?2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ?kx1 ?kx2 ,? ? ,则 ? ? ? ? 2 kx2 ? 2 kx1 ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

由(1)中②代入得 ? ? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1 ??ks5u ?12 分


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