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【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 立体几何 文


立体几何
G1 空间几何体的结构

8.G1,G6[2013·北京卷] 如图 1-2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三 等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )

图 1-2

A.3 个 C.5 个

B.4 个 D.6 个 3 2 3 ,D1P= .联结 AD1,B1D1,CD1,得 3 3

8.B [解析] 设棱长为 1,∵BD1= 3,∴BP= △ABD1≌△CBD1≌△B1BD1, ∴∠ABD1=∠CBD1=∠B1BD1,且 cos∠ABD1=

3 , 3

联结 AP,PC,PB1,则有△ABP≌△CBP≌△B1BP, 6 ,同理 DP=A1P=C1P=1, 3 ∴P 到各顶点的距离的不同取值有 4 个. 18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图 1-4(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1 ∴AP=CP=B1P= -4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

图 1-4

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积. 3
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18.解:

G2

空间几何体的三视图和直观图

10 . G2 , G7[2013·北京卷 ] 某四棱锥的三视图如图 1 - 3 所示,该四棱锥的体积为 ________.

图 1-3 10.3 [解析] 正视图的长为 3,侧视图的长为 3,因此,该四棱锥底面是边长为 3 的正 1 方形,且高为 1,因此 V= ×(3×3)×1=3. 3 18.G2,G4[2013·福建卷] 如图 1-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°. → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

图 1-3

18.解:(1)在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E.
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由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4,依勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD. 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60°,得 PD=4 正视图如图所示. 3.

1 (2)方法一:取 PB 中点 N,联结 MN,CN.在△PAB 中,∵M 是 PA 中点,∴MN∥AB,MN= AB 2 =3. 又 CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM∥CN. 又 DM ?平面 PBC,CN ?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC.

方法二:取 AB 的中点 E,联结 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BE∥CD,且 BE=CD, ∴四边形 BCDE 为平行四边形, ∴DE∥BC.又 DE ?平面 PBC,BC ?平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中,ME∥PB, ME ?平面 PBC,PB ?平面 PBC,∴ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME=E,∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM ?平面 DME,∴DM∥平面 PBC.

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1 (3)VD-PBC=VP-DBC= S△DBC·PD, 3 又 S△DBC=6,PD=4 3,所以 VD-PBC=8 3. 6.G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图 1-2 所示,则该三棱锥的体积是( )

图 1-2 A. C. 1 1 B. 6 3 2 D.1 3

6.B [解析] 由三视图得三棱锥的高是 2,底面是一个腰为 1 的等腰直角三角形,故体 1 1 1 积是 × ×1×1×2= ,选 B. 3 2 3 5.G2[2013·广东卷] 执行如图 1-1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的 值是( )

图 1-1 A.1 B.2 C.4 D.7 5.C [解析] 1≤3,s=1+0=1,i=2;2≤3,s=1+1=2,i=3;s=2+2=4,i=4; 4>3,故输出 s=4,选 C. 7.G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视 图是一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( A. C. 3 2 B.1 )

2+1 D. 2 2 7.D [解析] 由题可知,其俯视图恰好是正方形,而侧视图和正视图则应该都是正方体 的对角面,故面积为 2,选 D. 8.G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图 1-2 所示,则该几何体的体积为(
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)

图 1-2 A.200+9π C.140+9π B.200+18π D.140+18π

1 2 8.A [解析] 该几何体上面是半圆柱,下面是长方体,半圆柱体积为 π ·3 ·2=9π , 2 长方体体积为 10×5×4=200.故选 A. 13. G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示, 则该几何体的体积是________.

图 1-3 13.16π -16 [解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体,所以 该几何体的体积为 V=4π ×4-16=16π -16. 9.G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分 别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

图 1-3 9.A [解析] 在空间直角坐标系 O-xyz 中画出三棱锥,由已知可知三棱锥 O-ABC 为题 中所描叙的四面体,而其在 zOx 平面上的投影为正方形 EBDO,故选 A.

图 1-4 4.G2[2013·山东卷] 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图 1
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-1 所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是(

)

图 1-1 A.4 5,8 B.4 5, 8 3

8 C.4( 5+1), 3

D.8,8
2

4.B [解析] 由正视图知该几何体的高为 2,底面边长为 2,斜高为 2 +1= 5,∴侧 1 1 8 面积=4× ×2× 5=4 5,体积为 ×2×2×2= . 2 3 3 12.G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图 1-2 所示,则其表 面积为________. .

12.3π

图 1-2 [解析] 由三视图得该几何体为半径为 1 的半个球,则表面积为半球面+底面

1 2 2 圆,代入数据计算为 S= ×4π ×1 +π ×1 =3π . 2 11.G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,则该几何体的体积 为( )

图 1-3 A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 11.A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为 2,母线长为 4 的半圆柱,上 1 半部分是一个底面边长为 2、高为 4 的正四棱柱.这个空间几何体的体积是 ×π ×4×4+ 2 2×2×4=16+8π . 5.G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位: cm)如图 1-1 所示,则该几何体 的体积是( )

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图 1-1 A.108 cm B.100 cm 3 3 C.92 cm D.84 cm
3 3

5. B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得, 如图所示其体积为 3×6×6 1 1 3 - × ×3×4×4=108-8=100(cm ).所以选择 B. 3 2 19.G2 和 G5[2013·重庆卷] 如图 1-4 所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA =2 π 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

图 1-4 19.解:(1)证明:因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD,从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. 1 1 2π (2)三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= BC·CD·sin∠BCD= ·2·2·sin = 3. 2 2 3 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD= ·S△BCD·PA= × 3×2 3 3 3=2. 1 3= , 4

1 1 1 1 1 由 PF=7FC, 得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 故 VF-BCD= · S△BCD· PA= × 3× ×2 8 3 8 3 8

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1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 4 4 8.G2 和 G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,则该几何体的表面积为 )

(

图 1-3 A.180 B.200 C.220 D.240 8.D [解析] 该几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底为 2,下底为 8,高为 4, 1 其腰为 5 的等腰梯形,所以底面面积和为 (2+8)×4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+ 2 5×2)×10=200,所以该直四棱柱的表面积为 S=40+200=240,故选 D.

G3

平面的基本性质、空间两条直线

G4

空间中的平行关系

17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图 1-5,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD =2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

图 1-5 17.证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥ 底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,
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所以 AB∥DE,且 AB=DE, 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD. 又因为 BE ?平面 PAD,AD ?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 又因为 AD∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAD, 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF, 所以 CD⊥EF, 所以 CD⊥平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 18.G2,G4[2013·福建卷] 如图 1-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°. → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.

图 1-3

18.解:(1)在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E. 由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4,依勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD. 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60°,得 PD=4
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3.

正视图如图所示.

1 (2)方法一:取 PB 中点 N,联结 MN,CN.在△PAB 中,∵M 是 PA 中点,∴MN∥AB,MN= AB 2 =3. 又 CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM∥CN. 又 DM ?平面 PBC,CN ?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC.

方法二:取 AB 的中点 E,联结 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BE∥CD,且 BE=CD, ∴四边形 BCDE 为平行四边形, ∴DE∥BC.又 DE ?平面 PBC,BC ?平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中,ME∥PB, ME ?平面 PBC,PB ?平面 PBC,∴ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME=E,∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM ?平面 DME,∴DM∥平面 PBC.

1 (3)VD-PBC=VP-DBC= S△DBC·PD, 3 又 S△DBC=6,PD=4 3,所以 VD-PBC=8 3. 18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图 1-4(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1
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-4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC=

2 . 2

图 1-4 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积. 3 18.解: 8.G4、G5[2013·广东卷] 设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的 是( ) A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 8.B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质,易知选 B. 16. G4, G5[2013·江苏卷] 如图 1-2, 在三棱锥 S-ABC 中, 平面 SAB⊥平面 SBC, AB⊥BC, AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.

图 1-2

16.证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的 中点,所以 EF∥AB. 因为 EF ?平面 ABC,AB ?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E,
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所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF ?平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC ?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB ?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA ?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 15.G4[2013·江西卷] 如图 1-5 所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

图 1-5 15.4 [解析] 直线 EF 与正方体左右两个面平行,与其他四个面相交.

图 1-4 18.G4,G5[2013·辽宁卷] 如图 1-4,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 18.证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC ?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA ?平面 PAC,AC ?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)联结 OG 并延长交 AC 于 M,联结 QM,QO, 由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM ?平面 QMO. MO ?平面 QMO, BC∩PC=C,BC ?平面 PBC,PC ?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC.
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因为 QG ?平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC. 18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积.

图 1-7 18.解:(1)证明:联结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,联结 DF, 则 BC1∥DF.因为 DF ?平面 A1CD,BC1 ?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.

图 1-8 (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD.由已知 AC=CB, D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得∠ACB=90°,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 2 2 2 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC-A1DE= × × 6× 3× 2=1. 3 2 19.G4,G5[2013·山东卷] 如图 1-5,四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD, AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

图 1-6

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19.证明:(1)证法一:取 PA 的中点 H,联结 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH ?平面 PAD,CE ?平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD.

证法二:联结 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB, 2 所以 AF=CD. 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD. 又 CF ?平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 EF ?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F, 故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE ?平面 CEF, 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA.
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又 AB⊥PA, 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF ?平面 EFG,FG ?平面 EFG, 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD, 所以 MN∥AB, 因此 MN⊥平面 EFG. 又 MN ?平面 EMN, 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 18.G4,G11[2013·陕西卷] 如图 1-5,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

图 1-5 (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 18 . 解 : (1)

















BB1

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?瘙 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴BD∥B1D1. 又 BD ?平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵

A1D1

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?





B1C1

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?瘙 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B ?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2 ∴A1O= AA1-OA =1, 1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
2 2

图 1-8 如图 1-8, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, AB=AC=2AA1=2, ∠BAC=120°, D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; 1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高) 19.解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平 面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,

所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因此 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C.
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由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE= 3 3 AD= . 2 2

1 又 S△A1QC1= A1C1·AA1=1,所以 2 1 1 3 3 VA1-QC1D=VD-A1QC1= DE·S△A1QC1= × ×1= . 3 3 2 6 3 . 6 17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图 1-3 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底 面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明 EF∥平面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是

图 1-3

17.解:(1)证明:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,联结 ED,在 1 △ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC,又因为 F 为 A1C1 的中点, 2 可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1.又 EF ?平面 A1CD, DA1 ?平面 A1CD,所以,EF∥平面 A1CD. (2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB,又由于侧棱 AA1⊥底面 ABC,CD ?平面 ABC,所以 A1A⊥CD,又 A1A∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1,而 CD ?平面 A1CD, 所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (3)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G,联结 CG,由于平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线,故 BG⊥平面 A1CD,由此得∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 设三棱柱各棱长为 a,可得 A1D= BG 5 sin∠BCG= = . BC 5 5a 5a ,由△A1AD∽△BGD,易得 BG= .在 Rt△BGC 中, 2 5

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5 . 5 4.G4,G5[2013·浙江卷] 设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 4.C [解析] 对于选项 C,若 m∥n,m⊥α ,易得 n⊥α .所以选择 C. 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为

)

G5

空间中的垂直关系

图 1-5 18. G5[2013·安徽卷] 如图 1-5, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD =60°,已知 PB=PD=2,PA= 6. (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. 18.解:(1)证明:联结 AC,交 BD 于 O 点,联结 PO. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD.再由 PO∩AC=O 知,BD⊥面 APC,又 PC ?平面 APC,因此 BD⊥PC. (2)因为 E 是 PA 的中点,所以 VP-BCE=VC-PEB= 1 1 VC-PAB= VB-APC. 2 2 由 PB=PD=AB=AD=2 知,△ABD≌△PBD. 因为∠BAD=60°, 所以 PO=AO= 3,AC=2 3,BO=1.又 PA= 6,故 PO +AO =PA ,即 PO⊥AC. 1 故 S△APC= PO·AC=3. 2 1 1 1 1 由(1)知,BO⊥面 APC,因此 VP-BCE= VB-APC= · ·S△APC·BO= . 2 3 2 2
2 2 2

17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图 1-5,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD =2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD;
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(3)平面 BEF⊥平面 PCD.

图 1-5 17.证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥ 底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE, 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD. 又因为 BE ?平面 PAD,AD ?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 又因为 AD∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAD, 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF, 所以 CD⊥EF, 所以 CD⊥平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 19.G5、G11[2013·全国卷] 如图 1-3 所示,四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°, BC=2AD,△PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

图 1-3 (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. 19.解:(1)证明:取 BC 的中点 E,联结 DE,则四边形 ABED 为正方形.过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O.联结 OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点.故 OE⊥BD,从而 PB⊥OE.因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点,所以 OE∥CD. 因此 PB⊥CD.

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(2)取 PD 的中点 F,联结 OF,则 OF∥PB. 由(1)知,PB⊥CD,故 OF⊥CD. 1 2 2 又 OD= BD= 2,OP= PD -OD = 2, 2 故△POD 为等腰三角形,因此 OF⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 OF⊥平面 PCD. 因为 AE∥CD,CD ?平面 PCD,AE ?平面 PCD,所以 AE∥平面 PCD. 1 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF= PB=1, 2 所以点 A 到平面 PCD 的距离为 1. 18.G1,G4,G5[2013·广东卷] 如图 1-4(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1 -4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

图 1-4 (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积. 3 18.解: 8.G4、G5[2013·广东卷] 设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的 是( ) A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 8.B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质,易知选 B. 16. G4, G5[2013·江苏卷] 如图 1-2, 在三棱锥 S-ABC 中, 平面 SAB⊥平面 SBC, AB⊥BC, AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC;
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(2)BC⊥SA.

图 1-2

16.证明:(1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的 中点,所以 EF∥AB. 因为 EF ?平面 ABC,AB ?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, 又 AF ?平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC ?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB ?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA ?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 19.G5,G7[2013·江西卷] 如图 1-7 所示,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥ AB,AB=2,AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

图 1-7 19.解:(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC= 2.

在 Rt△BEF 中,BE= 3. 在 Rt△CFB 中,BC= 6.
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在△BEC 中,因为 BE +BC =9=EC ,故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1. 所以 BE⊥平面 BB1C1C. 1 (2)三棱锥 E-A1B1C1 的体积 V= ·AA1·S△A1B1C1= 2. 3 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1D1+D1C1=3 2. 2 2 2 2 2 同理,EC1= EC +CC1=3 2,A1E= A1A +AD +DE =2 3. 故 S△A1C1E=3 5. 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1-A1C1E 的体积 1 V= ·d·S△A1C1E= 5d, 3 从而 5d= 2,d= 10 . 5
2 2

2

2

2

图 1-4 18.G4,G5[2013·辽宁卷] 如图 1-4,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. 18.证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC,BC ?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA ?平面 PAC,AC ?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.

(2)联结 OG 并延长交 AC 于 M,联结 QM,QO, 由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM ?平面 QMO. MO ?平面 QMO, BC∩PC=C,BC ?平面 PBC,PC ?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG ?平面 QMO,
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所以 QG∥平面 PBC. 19.G4,G5[2013·山东卷] 如图 1-5,四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD, AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

图 1-6

19.证明:(1)证法一:取 PA 的中点 H,联结 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH ?平面 PAD,CE ?平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD.

证法二:联结 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 1 所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB, 2 所以 AF=CD. 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD. 又 CF ?平面 PAD,
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所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 EF ?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F, 故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE ?平面 CEF, 所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA, 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF ?平面 EFG,FG ?平面 EFG, 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD, 所以 MN∥AB, 因此 MN⊥平面 EFG. 又 MN ?平面 EMN, 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]

图 1-8 如图 1-8, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, AB=AC=2AA1=2, ∠BAC=120°, D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; 1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高) 19.解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平 面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,

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所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因此 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE= 3 3 AD= . 2 2

1 又 S△A1QC1= A1C1·AA1=1,所以 2 1 1 3 3 VA1-QC1D=VD-A1QC1= DE·S△A1QC1= × ×1= . 3 3 2 6 3 . 6 17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图 1-3 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底 面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明 EF∥平面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是

图 1-3

17.解:(1)证明:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,联结 ED,在 1 △ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC,又因为 F 为 A1C1 的中点, 2 可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1.又 EF ?平面 A1CD, DA1 ?平面 A1CD,所以,EF∥平面 A1CD. (2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB,又由于侧棱 AA1⊥底面 ABC,CD ?平面 ABC,所以 A1A⊥CD,又 A1A∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1,而 CD ?平面 A1CD, 所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (3)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G,联结 CG,由于平面 A1CD⊥平面
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A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线,故 BG⊥平面 A1CD,由此得∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 设三棱柱各棱长为 a,可得 A1D= BG 5 sin∠BCG= = . BC 5 5 . 5 19.G5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图 1-5 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB= AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 5a 5a ,由△A1AD∽△BGD,易得 BG= .在 Rt△BGC 中, 2 5

图 1-5

19.解:(1)取 AB 的中点 O,联结 OC,OA1,A1B, 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ?平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1= 3. 2 2 2 又 A1C= 6,则 A1C =OC +OA1,故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC·OA1=3. 4.G4,G5[2013·浙江卷] 设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 4.C [解析] 对于选项 C,若 m∥n,m⊥α ,易得 n⊥α .所以选择 C. 19.G2 和 G5[2013·重庆卷] 如图 1-4 所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA =2 π 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.
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图 1-4 19.解:(1)证明:因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD,从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. 1 1 2π (2)三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= BC·CD·sin∠BCD= ·2·2·sin = 3. 2 2 3 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD= ·S△BCD·PA= × 3×2 3 3 3=2. 1 3= , 4

1 1 1 1 1 由 PF=7FC, 得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 故 VF-BCD= · S△BCD· PA= × 3× ×2 8 3 8 3 8 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 4 4

G6

三垂线定理

8.G1,G6[2013·北京卷] 如图 1-2,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三 等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( )

图 1-2 A.3 个 C.5 个 B.4 个 D.6 个 3 2 3 ,D1P= .联结 AD1,B1D1,CD1,得 3 3

8.B [解析] 设棱长为 1,∵BD1= 3,∴BP= △ABD1≌△CBD1≌△B1BD1,

3 , 3 联结 AP,PC,PB1,则有△ABP≌△CBP≌△B1BP, ∴∠ABD1=∠CBD1=∠B1BD1,且 cos∠ABD1= ∴AP=CP=B1P= 6 ,同理 DP=A1P=C1P=1, 3

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∴P 到各顶点的距离的不同取值有 4 个.

G7

棱柱与棱锥

17.G4,G5,G7[2013·北京卷] 如图 1-5,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD =2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

图 1-5 17.证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥ 底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE, 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD. 又因为 BE ?平面 PAD,AD ?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 又因为 AD∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAD, 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF, 所以 CD⊥EF, 所以 CD⊥平面 BEF, 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 10 . G2 , G7[2013·北京卷 ] 某四棱锥的三视图如图 1 - 3 所示,该四棱锥的体积为 ________.

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图 1-3 10.3 [解析] 正视图的长为 3,侧视图的长为 3,因此,该四棱锥底面是边长为 3 的正 1 方形,且高为 1,因此 V= ×(3×3)×1=3. 3 8.G7[2013·江苏卷] 如图 1-1,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点, 设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1, 三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1∶V2=________.

图 1-1 8.1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为 S,高为 h,则 V2=Sh,又 D,E,F 分别为 AB, 1 1 1 1 1 1 1 AC,AA1 的中点,所以 S△AED= S,且三棱锥 F-ADE 的高为 h,故 V1= S△AED· h= · S· h 4 2 3 2 3 4 2 1 = Sh,所以 V1∶V2=1∶24. 24 19. G5, G7[2013·江西卷] 如图 1-7 所示, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB∥CD, AD⊥AB, AB=2,AD= 2,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

图 1-7 19.解:(1)证明:过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F,则 BF=AD= 2,EF=AB-DE=1,FC= 2.

在 Rt△BEF 中,BE= 3.
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在 Rt△CFB 中,BC= 6. 2 2 2 在△BEC 中,因为 BE +BC =9=EC ,故 BE⊥BC. 由 BB1⊥平面 ABCD 得 BE⊥BB1. 所以 BE⊥平面 BB1C1C. 1 (2)三棱锥 E-A1B1C1 的体积 V= ·AA1·S△A1B1C1= 2. 3 在 Rt△A1D1C1 中,A1C1= A1D1+D1C1=3 2. 2 2 2 2 2 同理,EC1= EC +CC1=3 2,A1E= A1A +AD +DE =2 3. 故 S△A1C1E=3 5. 设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1-A1C1E 的体积 1 V= ·d·S△A1C1E= 5d, 3 10 . 5 18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; 从而 5d= 2,d= (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积.
2 2

图 1-7 18.解:(1)证明:联结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,联结 DF, 则 BC1∥DF.因为 DF ?平面 A1CD,BC1 ?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.

图 1-8 (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD.由已知 AC=CB, D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得∠ACB=90°,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 2 2 2 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC-A1DE= × × 6× 3× 2=1. 3 2
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19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]

图 1-8 如图 1-8, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, AB=AC=2AA1=2, ∠BAC=120°, D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; 1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高) 19.解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平 面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,

所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因此 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE= 3 3 AD= . 2 2

1 又 S△A1QC1= A1C1·AA1=1,所以 2 1 1 3 3 VA1-QC1D=VD-A1QC1= DE·S△A1QC1= × ×1= . 3 3 2 6 3 . 6 8.G2 和 G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图 1-3 所示,则该几何体的表面积为 ) 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是

(

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图 1-3 A.180 B.200 C.220 D.240 8.D [解析] 该几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底为 2,下底为 8,高为 4, 1 其腰为 5 的等腰梯形,所以底面面积和为 (2+8)×4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+ 2 5×2)×10=200,所以该直四棱柱的表面积为 S=40+200=240,故选 D.

G8

多面体与球

10.G8[2013·天津卷] 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 则正方体的棱长为________. 10. 3 4 ? 3a?3 9 [解析] 设正方体的棱长为 a,则 π ? ? = π ,解之得 a= 3. 3 ? 2 ? 2 2 2

9π , 2

3 15.G8[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.

,底面边长为 3,

15 . 24 π

1 3 2 3 2 [ 解析 ] 设 O 到底面的距离为 h ,则 × 3 × h = ? h= , OA = 3 2 2

h +?
2

? 6?2 2 ? = 6,故球的表面积为 4π ×( 6) =24π . ?2?

16.G8[2013·湖北卷] 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨 时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆 深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 16.3 [解析] 积水深度为盆深的一半,故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺,圆 1 2 2 台的高为九寸,故此时积水的体积是 π (10 +6 +10×6)×9=196×3π (立方寸),盆口的面 3

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196×3π 2 积是π ×14 =196π ,所以平均降雨量是 =3 寸. 196π 15.G8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥ 平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为π ,则球 O 的表面积为________. 9π 15. 2 2 [解析] 截面为圆,由已知得该圆的半径为 1.设球的半径为 r,则 AH= r,所以 3

1 1 2 9 9π 2 2 2 2 OH= r,所以 r +1 =r ,r = ,所以球的表面积是 4π r = . 3 3 8 2

G9

空间向量及运算

G10

空间向量解决线面位置关系

G11

空间有与距离的求法

19.G5、G11[2013·全国卷] 如图 1-3 所示,四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°, BC=2AD,△PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

图 1-3 (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离. 19.解:(1)证明:取 BC 的中点 E,联结 DE,则四边形 ABED 为正方形.过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O.联结 OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点.故 OE⊥BD,从而 PB⊥OE.因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点,所以 OE∥CD. 因此 PB⊥CD.

(2)取 PD 的中点 F,联结 OF,则 OF∥PB. 由(1)知,PB⊥CD,故 OF⊥CD. 1 2 2 又 OD= BD= 2,OP= PD -OD = 2, 2 故△POD 为等腰三角形,因此 OF⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 OF⊥平面 PCD.
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因为 AE∥CD,CD ?平面 PCD,AE ?平面 PCD,所以 AE∥平面 PCD. 1 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF= PB=1, 2 所以点 A 到平面 PCD 的距离为 1. 11.G11[2013·全国卷] 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( ) A. C. 2 3 B. 3 3 2 3 1 D. 3

11.A [解析] 如图,联结 AC,交 BD 于点 O.由于 BO⊥OC,BO⊥CC1,可得 BO⊥平面 OCC1, 从而平面 OCC1⊥平面 BDC1,过点 C 作 OC1 的垂线交 OC1 于点 E,根据面面垂直的性质定理可得 CE⊥平面 BDC1,∠CDE 即为所求的线面角.设 AB=2,则 OC= 2,OC1= 18=3 2,所以 CE = CC1·OC 4 = OC1 3 4 CE 2 = ,所以 sin ∠CDE= = . CD 3 2 3 2

22.G11[2013·江苏卷] 如图 1-2 所示,在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,AB⊥AC,AB=AC =2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.

图 1-2

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22.解:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4), → → C1(0,2,4),所以A1B=(2,0,-4),C1D=(1,-1,-4). → → A1B·C1D 18 3 10 → → 因为 cos〈A1B,C1D〉= = = ,所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角 → → 10 20 × 18 |A1B||C1D| 3 10 的余弦值为 . 10 → → (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为AD=(1,1,0),AC1=(0,2,4),所以

n1·AD=0,n1·AC1=0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1=(2,
-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为θ .





n1·n2 2 2 5 由|cos θ |= = = ,得 sin θ = . |n1||n2| 3 9× 1 3
5 . 3 18.G4,G7,G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; 因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2 2,求三棱锥 C-A1DE 的体积.

图 1-7 18.解:(1)证明:联结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点.又 D 是 AB 中点,联结 DF, 则 BC1∥DF.因为 DF ?平面 A1CD,BC1 ?平面 A1CD,所以 BC1∥平面 A1CD.
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图 1-8 (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD.由已知 AC=CB, D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 2得∠ACB=90°,CD= 2,A1D= 6,DE= 3,A1E=3, 2 2 2 故 A1D +DE =A1E ,即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC-A1DE= × × 6× 3× 2=1. 3 2 18.G4,G11[2013·陕西卷] 如图 1-5,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

图 1-5 (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 18 . 解 : (1)

















BB1

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?瘙 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形, ∴BD∥B1D1. 又 BD ?平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵

A1D1

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?





B1C1

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?瘙 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B ?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2 ∴A1O= AA1-OA =1, 1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 19.G4,G5,G7,G11[2013·四川卷]
2 2

图 1-8 如图 1-8, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, AB=AC=2AA1=2, ∠BAC=120°, D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥ 平面 ADD1A1; 1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高) 19.解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平 面 A1BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,

所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因此 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C.
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由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE= 3 3 AD= . 2 2

1 又 S△A1QC1= A1C1·AA1=1,所以 2 1 1 3 3 VA1-QC1D=VD-A1QC1= DE·S△A1QC1= × ×1= . 3 3 2 6 3 . 6 17.G4,G5、G11[2013·天津卷] 如图 1-3 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底 面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点. (1)证明 EF∥平面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是

图 1-3

17.解:(1)证明:如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC∥A1C1,且 AC=A1C1,联结 ED,在 1 △ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DE= AC 且 DE∥AC,又因为 F 为 A1C1 的中点, 2 可得 A1F=DE,且 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1.又 EF ?平面 A1CD, DA1 ?平面 A1CD,所以,EF∥平面 A1CD. (2)证明:由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点,故 CD⊥AB,又由于侧棱 AA1⊥底面 ABC,CD ?平面 ABC,所以 A1A⊥CD,又 A1A∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1,而 CD ?平面 A1CD, 所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. (3)在平面 A1ABB1 内,过点 B 作 BG⊥A1D 交直线 A1D 于点 G,联结 CG,由于平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,而直线 A1D 是平面 A1CD 与平面 A1ABB1 的交线,故 BG⊥平面 A1CD,由此得∠BCG 为直线 BC 与平面 A1CD 所成的角. 设三棱柱各棱长为 a,可得 A1D= BG 5 sin∠BCG= = . BC 5 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 5 . 5 5a 5a ,由△A1AD∽△BGD,易得 BG= .在 Rt△BGC 中, 2 5

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G12

单元综合

图 1-3 15.G12[2013·安徽卷] 如图 1-3,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确 的是________(写出所有正确命题的编号). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 6 . 2

15.①②③⑤ [解析] 对于①②,如图(1)所示,因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 1 2 当 CQ= 时,PQ= ,这时过 A,P,Q 三点的截面与 DD1 交于 D1, 2 2 AP=D1Q= 5 ,且 PQ∥AD1,截面 S 为等腰梯形. 2

1 当 CQ< 时, 过 A, P, Q 三点的截面与直线 DD1 的交点在棱 DD1 上, 截面 S 为四边形, 故①② 2 正确. 对于③④⑤, 如图(2)所示,联结 QR 并延长交 DD1 的延长线于 N 点,联结 AN 交 A1D1 于 M, 1 取 AD 中点 G,作 GH∥PQ 交 DD1 于 H 点,可得 GH∥AN,且 GH= AN.设 CQ=t(0≤t≤1), 2 则 DN=2t,ND1=2t-1, ND1 D1R 2t-1 = = , C1Q RC1 1-t 3 D1R 2 1 当 t= 时, = ,可得 C1R= ,故③正确; 4 C1R 1 3 3 当 <t<1 时,S 为五边形,故④错误; 4
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当 t=1 时,Q 与 C1 重合,M 为 A1D1 的中点, S 为菱形 PC1MA,AM=AP=PC1=C1M= 6 ,故⑤正确. 2 5 1 ,MP= 2,AC1= 3,S 的面积等于 × 2× 3= 2 2

20.G12[2013·湖北卷] 如图 1-4 所示,某地质队自水平地面 A,B,C 三处垂直向地下 钻探,自 A 点向下钻到 A1 处发现矿藏,再继续下钻到 A2 处后下面已无矿,从而得到在 A 处正 下方的矿层厚度为 A1A2=d1.同样可得在 B,C 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2,C1C2=d3, 且 d1<d2<d3.过 AB,AC 的中点 M,N 且与直线 AA2 平行的平面截多面体 A1B1C1-A2B2C2 所得的截 面 DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为 S 中. (1)证明:中截面 DEFG 是梯形; (2)在△ABC 中,记 BC=a,BC 边上的高为 h,面积为 S.在估测三角形 ABC 区域内正下方 的矿藏储量(即多面体 A1B1C1-A2B2C2 的体积 V)时,可用近似公式 V 估=S 中·h 来估算,已知 V 1 = (d1+d2+d3)S,试判断 V 估与 V 的大小关系,并加以证明. 3

图 1-4 20.解:(1)证明:依题意 A1A2⊥平面 ABC,B1B2⊥平面 ABC,C1C2⊥平面 ABC, 所以 A1A2∥B1B2∥C1C2.又 A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且 d1<d2<d3, 因此四边形 A1A2B2B1, A1A2C2C1 均是梯形, 由 AA2∥平面 MEFN, AA2 ?平面 AA2B2B, 且平面 AA2B2B ∩平面 MEFN=ME, 可得 AA2∥ME,即 A1A2∥DE.同理可证 A1A2∥FG,所以 DE∥FG. 又 M,N 分别为 AB,AC 的中点. 则 D,E,F,G 分别为 A1B1,A2B2,A2C2,A1C1 的中点, 即 DE,FG 分别为梯形 A1A2B2B1,A1A2C2C1 的中位线. 1 1 因此 DE= (A1A2+B1B2)= (d1+d2), 2 2 1 1 FG= (A1A2+C1C2)= (d1+d3), 2 2 而 d1<d2<d3,故 DE<FG,所以中截面 DEFG 是梯形. (2)V 估<V,证明如下:
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由 A1A2⊥平面 ABC,MN ?平面 ABC,可得 A1A2⊥MN. 而 EM∥A1A2,所以 EM⊥MN,同理可得 FN⊥MN. 1 1 由 MN 是△ABC 的中位线,可得 MN= BC= a 即为梯形 DEFG 的高, 2 2 因此 S 中=S
梯形 DEFG

1?d1+d2 d1+d3? a a + = ? · = (2d1+d2+d3). 2 ? 2? 2 ? 2 8

ah 即 V 估=S 中 h= (2d1+d2+d3), 8 1 1 ah 又 S= ah,所以 V= (d1+d2+d3)S= (d1+d2+d3). 2 3 6 ah ah ah 于是 V-V 估= (d1+d2+d3)- (2d1+d2+d3)= [(d2-d1)+(d3-d1)]. 6 8 24 由 d1<d2<d3,得 d2-d1>0,d3-d1>0,故 V-V 估>0,即 V 估<V. 2.G2[2013·四川卷] 一个几何体的三视图如图 1-1 所示,则该几何体可以是( )

图 1-1 A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 2.D [解析] 结合三视图原理,可知几何体为圆台. 16.G8、G12[2013·全国卷] 已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 3 的半径,OK= ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°,则球 O 的表面积等于 2 ________.

16.16π [解析] 设两圆的公共弦 AB 的中点为 D,则 KD⊥DA,OD⊥DA,∠ODK 即为圆 O 和圆 K 所在平面所成二面角的平面角,所以∠ODK=60°.由于 O 为球心,故 OK 垂直圆 K 所在 OK 3 2 平面,所以 OK⊥KD.在直角三角形 ODK 中, =sin 60°,即 OD= × = 3,设球的半径 OD 2 3 为 r,则 DO= 3 3 2 r,所以 r= 3,所以 r=2,所以球的表面积为 4π r =16π . 2 2 20.G12[2013·浙江卷] 如图 1-6 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=BC

=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (1)证明:BD⊥平面 APC; (2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值;
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PG (3)若 G 满足 PC⊥平面 BGD,求 的值. GC

图 1-6 20.解:(1)证明:设点 O 为 AC,BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的中垂线. 所以 O 为 AC 的中点,BD⊥AC. 又因为 PA⊥平面 ABCD,BD ?平面 ABCD, 所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 APC. (2)联结 OG.由(1)可知 OD⊥平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG,所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角. 1 3 由题意得 OG= PA= . 2 2 在△ABC 中, AC= AB +BC -2AB·BC·cos∠ABC=2 1 所以 OC= AC= 3. 2 在直角△OCD 中,OD= CD -OC =2. OD 4 3 在直角△OGD 中,tan∠OGD= = . OG 3
2 2 2 2

3,

4 所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为

3 3

.

(3)因为 PC⊥平面 BGD,OG ?平面 BGD,所以 PC⊥OG. 在直角△PAC 中,得 PC= 15, AC·OC 2 15 所以 GC= = . PC 5 PG 3 ,所以 = . 5 GC 2 1.[2013·烟台莱州一中月考] 一个简单几何体的正视图和侧视图如图 K29-2 所示,则 其俯视图不可能为下列图形中的( ) ①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.
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3 从而 PG=

15

A.① B.② C.③

D.④

图 K29-2 1.C [解析] 当俯视图为圆时,由三视图可知为圆柱,此时正视图和侧视图应该相同, 所以俯视图不可能是圆,选 C. 2.[2013·天津模拟] 如图 X5-3 所示,△PAD 为等边三角形,四边形 ABCD 为矩形,平 面 PAD⊥平面 ABCD,AB=2,E,F,G 分别为 PA,BC,PD 的中点,AD=2 2. (1)求 PB 与平面 ABCD 所成的角; (2)求证:AG⊥EF; (3)求多面体 P-AGF 的体积.

图 X5-3 2.解:(1)取 AD 中点 M, 联结 PM,BM. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD, 等边三角形△PAD 中,M 为 AD 的中点, ∴PM⊥AD, ∴PM⊥平面 ABCD, ∴∠PBM 即为所求. 3 PM= ×2 2= 6,MB= 6,而△PMB 为直角三角形, 2 ∴∠PBM=45°,即 PB 与平面 ABCD 所成角为 45°. (2)证明:等边三角形 PAD 中, ∵G 是 PD 中点,∴GA⊥PD, △APD 中,E 是 AP 的中点,M 是 AD 的中点,∴EM∥PD, ∴AG⊥ME. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,交线为 AD,又∵MF⊥AD, ∴MF⊥平面 PAD. ∵AG? 平面 PAD, ∴MF⊥AG. ∵EM∩MF=M, ∴AG⊥平面 EMF, ∴AG⊥EF. 1 1 1 2 3 (3)VP-AGF=VF-AGP= MF·S△AGP= ×2× 2 × 6= . 3 3 2 3

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3.[2013·北京朝阳区期末] 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线 段 AB,BD1(不包括端点)上的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1,则四面体 P1P2AB1 的体积的 最大值是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 24 12 6 2 3.A [解析] 过 P2 作 P2O⊥底面于 O,联结 OP1,则 OP1⊥AB,即 OP1 为三棱锥 P2-P1AB1 OP1 BP1 1 的高,设 AP1=x,0<x<1,则由题意知 OP1∥AD,所以有 = ,即 OP1=1-x.S△AP1B1= x, AD AB 2 1 1 1 1 1?x+1-x?2 1 所以四面体 P1P2AB1 的体积为 S△AP1B1·OP1= · x(1-x)= x(1-x)≤ ? ? = ,当 3 3 2 6 6? 2 ? 24 1 1 且仅当 x=1-x,即 x= 时,取等号,所以四面体 P1P2AB1 的体积的最大值为 ,选 A. 2 24

4.[2013·潍坊高三月考] 四棱锥 P-ABCD 的三视图如图 K30-5 所示,四棱锥 P-ABCD 的五个顶点都在一个球面上,E,F 分别是棱 AB,CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长 为 2 2,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.48π 4.A [解析] 将三视图还原为直观图如图所示,可得四棱锥 P-ABCD 的五个顶点位于同 一个正方体的顶点处,且与该正方体内接于同一个球,该正方体的棱长为 a.设外接球的球心 为 O,则 O 也是正方体的中心,设 EF 中点为 G,联结 OG,OA,AG.根据题意,直线 EF 被球面 2 所截得的线段长为 2 2,即正方体面对角线长是 2 2,可得 AG= 2= a,所以正方体棱 2 1 长 a=2,则在 Rt△OGA 中,OG= a=1,AO= 3,即外接球半径 R= 3,得外接球表面积为 4 2 2 π R =12π ,选 A.

5.[2013·丹东四校协作体摸底] 设某几何体的三视图如图 K30-6 所示(尺寸的长度单 2 位为:m),若该几何体的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于________m (答案用 含有π 的式子表示).

5.100π

图 K30-6 [解析] 由三视图可得该几何体是一个三棱柱,底面外接圆的半径 r 满足 2r

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3 3 2 2 =6, 则 r=3.棱柱的高为 8, 则球心到底面的距离 d=4, 则球的半径 R= r +d = sin 60° 2 5.故此球的表面积 S=4π R =100π ,故答案为 100π . =

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