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上海外国语大学附属外国语学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


上外附中高一上学期期中数学试卷 2015.11 一. 填空题(本大题共 14 题,每题 3 分,共 42 分)
2 1. 有 四 个 集 合 : ① {x | x2 ? 3? 3} ; ② {(x , y ) | y ? ? x , x , y? R; } ③ {x | ? x2 ? 0}; ④

{x | x2 ? x ?1 ? 0, x ? R} ;其中表示空集的序号是

; ; 个; ;

2. 已知 A ? {y | y ? ? x 2 ? 2x ? 1} , B ? { y | y ? 2 x ? 1} ,则 A ? B ? 3. 若全集 U ? {1, 2,3, 4,5} 且 CU A ? {2,3} ,则集合 A 的真子集共有

4. 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} ,若 A 中至少有一个元素,则 a 的取值范围是

5. 有下列四个命题:①命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题;②命题“面积相等的 三角形全等”的否命题;③命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;④命题
2

“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题;其中是真命题的是



A 的一个分拆,并规定:当且仅当 6. 若集合 A 1, A 2 满足 A 1?A 2 ? A ,则称 ( A 1, A 2 ) 为集合

A1 ? A2 时, ( A1, A2 ) 与 ( A2 , A1 ) 为集合 A 的同一种分拆,则集合 A ? {a1 , a2 , a3} 的不同分拆
种数是
2

; ;

7. 若 a ? a ? 0 ,则 a2 , a, ?a2 , ?a 由大到小排列顺序是
2

8. 若 关 于 x 的 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | ?1 ? x ? 2} , 则 关 于 x 的 不 等 式

cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集是
9. 不等式 | x | ?

; ; ;

4 的解集是 x

10. 若不等式 | 3x ? b | ? 4 的解集中的整数有且仅有 1, 2,3 ,则实数 b 的取值范围是 11. 设 x ? 0 ,则 x ?

3 的最小值为 x ?1



12. 已知方程 ( x ?1)( x2 ? 2 x ? m) ? 0 的三根可作为一个三角形的三边长, 那么 m 的取值范围 是 ;

13. 对于在区间 [ a, b] 上有意义的两个函数 f ( x ) 与 g ( x) ,如果对任意 x ? [a, b] ,均有
2 那么就称 f ( x ) 与 g ( x) 在 [ a, b] 上是接近的, 若函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 与 | f ( x) ? g ( x) | ? 1 ,

g ( x) ? 2 x ? 3 在 [a, b] 上是接近的,则该区间可以是
2


2

14. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ? ax ? 2 y 对于 x ? [1, 2], y ?[2,3] 恒成立, 求 a 的取值范围”提出了各自解题思路,甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析” ,乙说: “寻 找 x 与 y 的关系,再作分析” ,丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析” ,参考上述说法或 自己其他解法,可求出实数 a 的取值范围是 ;

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 3 分,共 12 分)

15. 下列说法中,正确的是( A. 任何一个集合必有两个子集 C. 任何集合必有一个真子集

) B. 若 A ? B ? ? ,则 A, B 中至少有一个为 ? D. 若 S 为全集,且 A ? B ? S ,则 A ? B ? S )

16. 已知 p 与 q 是两个命题,如果 p 或 q 为假命题,则( A. p, q 均为真命题 C. p, q 中至少有一个为真命题

B. p, q 均为假命题 D. p, q 中至多有一个为真命题 ) D.

17. 已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( A. a ? b
2 2

B. a b ? ab
2

2

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

b a ? a b


18. 使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A .

3

B.

6

C.

3? 2 3

D. 不确定

三. 解答题(本大题共 5 题,共 8+8+8+10+12=46 分) 19. 对于集合 A, B ,我们把 {(a, b) | a ? A, b ? B} 记为 A ? B ,若 A ? {?1, 0}, B ? {1, 2} , 求 A? B , A? A;

20. 记关于 x 的不等式 1 ?

a ?1 的解集为 P ,不等式 | x ? 2 | ? 4 的解集为 Q ; x ?1

(1)若 a ? 3 ,求 P ; (2)若 P ? Q ? Q ,求实数 a 的取值范围;

21. 已知: a, b, c, d ?[0,1] ; (1)比较 M1 ? (1 ? a)(1 ? b) 与 N1 ? 1 ? a ? b 的大小; (2)比较 M 2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c)(1 ? d ) 与 N2 ? 1 ? a ? b ? c ? d 的大小;

22. 已知不等式: x | x ? a | ?

3 ?a; 2

(1)设不等式的解集是 M ,如果 2 ? M ,求实数 a 的取值范围; (2)若实数 a ? 1 ,对任意实数 x ? [1, 2] 恒成立,求实数 a 的取值范围;

23. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 和一次函数 g ( x) ? ?bx ,其中 a, b, c 满足 a ? b ? c 且

a ? b ? c ? 0 (a, b, c ? R) ;
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点 A, B ; (2)求

c 的范围; a

(3)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围;

参考答案

1. ④;

2. ( ??, 0] ;

3. 7;

4. a ?

9 ; 8

5. ①②③;

6. 27; 9. (0, 2) ;

7. ?a ? a ? ?a ? a ;
2 2

8. (??, ?1) ? (0.5, ??) ; 12. ( ,1] ;

10. (5, 7) ;

11. 2 3 ? 1; 14. a ? ?1 ;

3 4

13. [1, 2] ? [3, 4] (答案不唯一) ;

15. D;

16. D;

17. C;

18. B;

19. A ? B ? {(?1,1),(?1, 2),(0,1),(0, 2)} , A ? A ? {(?1, ?1),(?1,0),(0, ?1),(0,0)} ; 20.(1) P ? (?1,3) ; (2) a ? [?6, 2] ; 21.(1) M1 ? N1 ; (2) M 2 ? N 2 ; 22.(1) a ?

11 5 3 5 或a ? ; (2) a ? [1, ] ? [ , ??) ; 6 2 2 2
1 2

23.(1)略; (2) ( ?2, ? ) ; (3) ( 3, 2 3) ;


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