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2012年东北三省三模文科数学试题及答案

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个正确答案) 1、设集合 A={1,2},则满足 的集合 B 可以是( ) A. B. C. D.

2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的侧视图为( )

3.已知 是实数, 是纯虚数,则 等于( ) A、 B、1 C、 D、

4.已知 a,b 是实数,则“ ”是“ ”的( ) A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

5.已知函数 的最小正周期为 ,为了得到函数 的图象,只要将 的图象( ) A、向右平移 个单位长度 C、向右平移 个单位长度 B、向左平移 个单位长度 D、向左平移 个单位长度

6.函数 在点 处的切线斜率为 ,则 的 最小值是( ) A、 10 B、 9 C、 8 D、

7.在△ABC 中,BC=1,∠ ,△ABC 的面积 S= ,则 sinC=( ) B= A、 B、 C、 D、

8.过圆 内一点(5,3),有一组弦的长度组成等差数列,最小弦长为该数列的首项 ,最大弦长为 数列的末项 ,则 的值是( ) A、10 B、 18 C、45 D、54

9.重庆长寿湖是重庆著名的湿地公园,每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来此栖息、觅食, 有些不法分子在某边长分别为 6,8,10 米的三角形沼泽地内设置机关,当鸟类进入此三角形区域且 靠近任一顶点距离小于 2 米(不包括三角形外界区域) ,就会被捕获,假设鸟类在三角形区域任意 地点出现的概率是等可能的,则鸟类在此三角形区域中不幸被捕获的概率为( ) A、 B、 C、 D、

10.点 P 是双曲线 左支上的一点,其右焦点为 ,若 为线段 的中点, 且 到坐标原点的距离为 ,则 双曲线的离心率 的取值范围是 A、 第Ⅱ 卷 B、 C、 ( D、 )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、已知抛物线方程 ,则它的焦点坐标为_______。 12、如图所示的程序框图输出的结果 i=_______。 13、已知 , 满足不等式组 则目标函数 的最大值为______。 14、在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,设 , 则 =______。 15、观察下列问题: 已知 = , 令 ,可得 , 令 ,可得 , 令 ,可得 , 请仿照这种“赋值法”,求出 _________。 三、解答题(共 6 小题,共 75 分,每题要有必要的解题步骤和文字说明) 16. (本小题满分 13 分) 已知点 是函数 的图象上一点,数列 的前 项和 = . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ,求数列 的前 项和 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 , (1)求函数 的单调减区间; (2)若 求函数 的值域。

18、 (本小题满分 13 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可 见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求全班人数,并计算频率分布直方图中 间的矩形的高;

(2)若要从分数在 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,则在抽取的试卷中,求至少有一 份分数在 之间的概率.

19、(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥ 底面 ABCD,PA=2,∠ PDA= ,点 E、F 分别为 棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥ 平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥ 平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 ,且 , (1)若函数 在区间 上为减函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 在 ,求实数 a 的值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: ,直线 恒过的定点 F 为椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到焦点 F 的最大距离为 3, (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 MN 为垂直于 x 轴的动弦,且 M、N 均在椭圆 C 上,定点 T(4,0),直线 MF 与直线 NT 交于点 S ① 求证:点 S 恒在椭圆 C 上; ② 求△MST 面积的最大值。 命题人:江劲松 审题人:杨春权 2013年重庆一中高 2013 级高三下期第三次月考 数 学 答 案(文科) 2013.5 一、选择题 1—5 . CDBAC 二、填空题 11、 三、解答题 12、 10 13、 14、 15、 6—10 .BDCDA

16、解: (1)把点(1,2)代入函数 得 , 所以数列{ }的前 n 项和为 = . 当 n=1 时, ; 当 n≥2 时, , 对 n=1 时也适合.∴. (2)由于 ,所以 . 分组求和可得: 17、解: (4 分) (1) 为减区间(8 分) (2) 值域 (13 分) (13 分) (6 分)

18、解: (1)由茎叶图知,分数在 之间的频数为 ,频率为 , 全班人数为 . 所以分数在 之间的频数为 频率分布直方图中 间的矩形的高为 . (7 分)

(2)将 之间的 个分数编号为 , 之间的 个分数编号为 ,在 之间的试卷中任取两份的基本事件为: , , , , , , , , , , , , , 共 个, 其中,至少有一个在 之间的基本事件有 个, 故至少有一份分数在 之间的频率是 . (13 分)

19、解:证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG ∴ 为△CDP 的中位线 ∴ CD FG FG ∵ 四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 ∴ CD AB ∴ AE FG ∴ 四边形 AEGF 是平行四边形 ∴ AF∥ EG 又 EG 平面 PCE,AF 平面 PCE ∴ AF∥ 平面 PCE (2)∵ PA⊥ 底面 ABCD ∴ PA⊥ AD,PA⊥ CD,又 AD⊥ CD,PA AD=A ∴ CD⊥ 平面 ADP (4 分)

又 AF 平面 ADP

∴ CD⊥ AF

直角三角形 PAD 中,∠ PDA=45° ∴ PAD 为等腰直角三角形 ∴ △ PA=AD=2 ∵ 是 PD 的中点 F ∴ AF⊥ PD,又 CD PD=D ∴ AF⊥ 平面 PCD ∵ AF∥ EG ∴ EG⊥ 平面 PCD 又 EG 平面 PCE 平面 PCE⊥ 平面 PCD (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE PA 是三棱锥 P-BCE 的高, Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴ 三棱锥 C-BEP 的体积 VC-BEP=VP-BCE= (12 分) (8 分)

20、解:(1)

(2)

综上所述,

(13 分)

21、解:(1) 直线 可化为 (4 分) (2)① 设直线 MN 的方程为

② 直线 MS 过点 F(1,0) ,设方程为


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