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东城区2017届高三一模数学(理)试题及答案(官方版)


北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x |1 ? x ? 3} ,则 A U B ? (A) {x | ?1 ? x ? 3} (B) {x | ?1 ? x ? 1} (C) {x |1 ? x ? 2} (D) {x | 2 ? x ? 3} (2)已知命题 p : ?n ? N, 2n ? n ,则 ? p 是 (A) ?n ? N, 2n ? n (B) ?n ? N, 2n ? n (C) ?n ? N, 2n ? n (D) ?n ? N, 2n ? (3)已知圆的参数方程为 ? 离为 (A) 1 (B) 2 (C) 2 (D) 2 2 (4)已知 m 是直线, ? , ? 是两个互相垂直的平面,则“ m ∥ ? ”是“ m ? ? ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知向量 a , b 满足 2a ? b ? 0 , a ? b ? ?2 ,则 (3a +b) ? (a ? b) ? (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

n
( ? 为参数) ,则圆心到直线 y ? x ? 3 的距

? ? x ? ?1 ? 2 cos? , ? ? y ? 2 sin ?

1

(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A)

1 3

2

(B)

2 3 4 3

1

(C) 1 (D)

1
正(主)视图 侧(左)视图

2

俯视图 (7)将函数 y ? sin(2 x ? 象在区间 [ ? (A)

? ) 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度,得到函数 y = f ( x) 图 6

? ?? , ] 上单调递减,则 m 的最小值为 12 12

? ? ? ? (B) (C) (D) 12 6 4 3

(8)甲抛掷均匀硬币 2017 次,乙抛掷均匀硬币 2016 次,下列四个随机事件的概率是 0.5 的是 ①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④

2

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2 ,则 | z |? ______.
2 (10)在 ( x ?

2 5 ) 的展开式中,常数项为______. (用数字作答). x3

(11) 已知 {an } 为等差数列,Sn 为其前 n 项和. 若 S3 ? 12 ,a2 ? a4 ? 4 , 则 S6 ? _______. (12)天干地支纪年法,源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即:甲、乙、 丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、 申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来, 天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子” , 第二年为“乙丑” ,第三年为“丙寅” ,? ,以此类推.排列到“癸酉”后,天干回到 “甲”重新开始,即“甲戌” , “乙亥” ,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子” ,

? ,以此类推.已知 2017 年为丁酉年,那么到新中国成立 100 年时,即 2049 年为
______年. (13) 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线为等边三角形 OAB 的边 OA, OB 所在直线, a 2 b2

直线 AB 过双曲线的焦点,且 | AB |? 2 ,则 a ? _______.

1 ? 0? x? , ?1, 2 ? ?1, 0 ? x ? 1, 1 ? ? x ? 1, 和 g ( x) ? ? (14)已知函数 f ( x) ? ? ?1, 2 ?0, x ? 0或x ? 1, ? ?0, x ? 0或x ? 1 ? ?
则 g (2 x) ? ______ ; 若 m, n ? Z ,且 m ? g (n ? x) ? g ( x) ? f ( x) ,则 m ? n ? _____ .

3

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中, ? C (Ⅰ)若 c 2 ? 5a 2 ? ab ,求

2π . 3

sin B ; sin A

(Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值.

(16) (本小题共 13 分) 近年来共享单车在我国主要城市发展迅速. 目前市场上有多种类型的共享单车, 有关部

Y 方式、F 方式) 门对其中三种共享单车方式 ( M 方式、 进行统计 (统计对象年龄在 15 ? 55
岁) ,相关数据如表 1 ,表 2 所示.
三种共享单车方式人群年龄比例(表 1 ) 不同性别选择共享单车种类情况统计(表 2 ) 方式

M
方式

Y
方式

F
方式

性别

年龄分组

使用单车





[15, 25)

25%
50%

20%
55%

35%
25%

种类数(种)

[25,35) [35, 45)

1

20% 35% 45%

50%
40%

20%
5%

20%
a%

20%
20%

2

3
[45,55]

10%

(Ⅰ)根据表 1 估算出使用 Y 共享单车方式人群的平均年龄; (Ⅱ) 若从统计对象中随机选取男女各一人, 试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用 共享单车种类数的概率; (Ⅲ) 现有一个年龄在 25 ? 35 岁之间的共享单车用户, 那么他使用 Y 方式出行的概率最大, 使用 F 方式出行的概率最小,试问此结论是否正确?(只需写出结论)

4

(17) (本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中,平面 PAB ^ 平面 ABC , AP ^ BP , AC ^ BC ,

? PAB 60? , ? ABC

45? , D 是 AB 中点, E , F 分别为 PD , PC 的中点.

(Ⅰ)求证: AE ? 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 M ,使得 CM ∥平面 AEF ?若存在,求 在,说明理由.
P E F A D C B

PM 的值;若不存 PB

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ln x ?

1 ? mx(m ? R ) . x

(Ⅰ)当 m = - 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调递减,求 m 的取值范围; (Ⅲ)设 0 < a < b ,求证:

ln b ? ln a 1 ? . b?a ab

5

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 2) ,且离心率为 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A, B 是椭圆 C 的左,右顶点, P 为椭圆上异于 A, B 的一点,以原点 O 为端点分别 作与直线 AP 和 BP 平行的射线,交椭圆 C 于 M , N 两点,求证:△ OMN 的面积为 定值.

(20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合 A ? {a1 , a2 ,L , an }, ai ? R,i ? 1, 2,L , n , 并 且 n ? 2 . 定 义

T(A ? )

1?i ? j ? n

?

a j| ? ai (例如: |

1? i j ? 3

?

| a j - ai | =| a2 - a1 | + | a3 - a1 | + | a3 - a2 | ) .
M,

(Ⅰ) 若 A ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} , 集合 A 的子集 N 满足:N ? M ? {1, 2,3, 4,5} , 且 T ( M ) ? T ( N ) ,求出一个符合条件的 N ; (Ⅱ)对于任意给定的常数 C 以及给定的集合 A ? {a1 , a2 ,L , an } ,求证:存在集合

B ? {b1 , b2 ,L , bn } ,使得 T ( B) ? T ( A) ,且 ? bi ? C .
i ?1

n

( Ⅲ ) 已 知 集 合 A ? {a1 , a2 ,L , a2m} 满 足 : ai ? ai ?1 , i ? 1, 2,L , 2m ? 1 , m ? 2 ,

a1 ? a, a2m ? b ,其中 a, b ? R 为给定的常数,求 T ( A) 的取值范围.

6

东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)B (2)C (6)D (3)B (7)C (4)D (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2 (10) 40 (11) 6

1 ? 1, 0 ? x ? , ? 3 ? 2 4 (12)己巳(13) (14) g ( x ) ? ? 1 2 ?0, x ? 0或x ? . ? ? 2
三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理及题设

c 2 = a 2 + b2 + ab = 5a 2 + ab ,
得 b = 2a . 由正弦定理

a b b sin B ? , = , sin A sin B a sin A



sin B = 2 . ???????????6 分 sin A ? . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?A ? ?B ?

? sin A ? sin B ? sin A ? sin( ? A) 3

? sin A ? ( ?
?

3 1 cos A ? sin A) 2 2

3 1 1 sin 2 A ? cos 2 A ? 4 4 4
1 ? 1 sin(2 A ? ) ? . 2 6 4
因为 0 ? ?A ?

? , 3

所以当 ?A ?

? 1 , sin A ? sin B 取得最大值 .???????13 分 6 4

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ) a = 5 . 由表 1 知使用 Y 共享单车方式人群的平均年龄的估计值为:

55%+40 20%+50? 5%=31 . Y 方式: 20? 20% 30创
答: Y 共享单车方式人群的平均年龄约为 31 岁.?????5 分 (Ⅱ)设事件 Ai 为“男性选择 i 种共享单车” , i = 1, 2,3 , 设事件 Bi 为“女性选择 i 种共享单车” , i = 1, 2,3 , 设事件 E 为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”. 由题意知, E = A2 B1 ? A3 B1 ? A3 B2 . 因此 P( E) = P( A2 B1 ) + P( A3 B1 ) + P( A3 B2 )

= 0.58 .
答:男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为 0.58 . ??11 分 (Ⅲ)此结论不正确.???????????13 分 (17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)在直角三角形 ABC 中,因为 ? ABC 所以 CD ? AB . 因为平面 PAB ? 平面 ABC ,

45? , D 为 AB 中点,

CD ? 平面 ABC ,
所以 CD ? 平面 PAB . 因为 AE ? 平面 PAB , 所以 CD ? AE . 在等边△ PAD 中, AE 为中线, 所以 AE ? PD . 因为 PD I DC ? D , 所以 AE ? 平面 PCD . ???????????5 分

(Ⅱ)在△ PAB 中,取 AD 中点 O ,连接 PO ,所以 PO ^ AB . 在平面 ABC 中,过 O 作 CD 的平行线,交 AC 于 G . 因为平面 PAB ? 平面 ABC , 所以 PO ? 平面 ABC . 所以 PO ^ OG . 因为 OG, OB, OP 两两垂直,

如图建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AB ? 4a ,则相关各点坐标为:

A(0, ?a, 0) , B(0,3a, 0) , C (2a, a, 0) , P(0,0, 3a) , D(0, a,0) ,

a 3 a 3 E (0, , a ) , F ( a, , a) . 2 2 2 2 uuu r uu r AC ? (2a,2a,0) , PA ? (0, ?a, ? 3a) .
设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

z P E F A O G C x D B y

uuu r ? ? ?n ? AC ? 0, ? x ? y ? 0, 则 ? uur ,即 ? ? ? y ? 3 z ? 0. ? ?n ? PA ? 0,
令 z ? 1 ,则 y ? ? 3 , x ? 3 . 所以 n ? ( 3, ? 3,1) . 平面 PAB 的法向量为 DC = (2a,0,0) , 设 n, DC 的夹角为 ? ,所以 cos ? ? 由图可知二面角 B ? PA ? C 为锐角,

????

????

21 . 7

21 .??????????10 分 7 uuu r uur (Ⅲ)设 M 是棱 PB 上一点,则存在 ? ? [0,1] 使得 PM ? ? PB . uuu r 因此点 M (0,3a?, 3a(1 ? ?)) , CM ? (?2a, a(3? ?1), 3a(1 ? ?)) .
所以二面角 B ? PA ? C 的余弦值为 由(Ⅰ)知 CD ? 平面 PAB , AE ? PD . 所以 CD ? PD . 因为 EF ∥ CD , 所以 EF ? PD . 又 AE ? EF = E , 所以 PD ^ 平面 AEF . 所以 PD 为平面 AEF 的法向量.

uuu r PD ? (0, a, ? 3a) .
因为 CM ? 平面 AEF ,所以 CM ∥平面 AEF 当且仅当 CM ? PD ? 0 , 即 (?2a, a(3? ?1), 3a(1 ? ?)) ? (0, a, ? 3a) ? 0 .

uuu r uuu r

解得 ? ? 因为 ? ? 此时

2 . 3

2 ? [0,1] ,所以在棱 PB 上存在点 M ,使得 CM ∥平面 AEF , 3

PM 2 ? ? ? . ??????????14 分 PB 3

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) . 当 m = - 1 时, f ( x) = 2 ln x + 所以 f '( x) =

1 +x, x

2 1 +1 . x x2

因为 f (1) = 2 且 f '(1) = 2 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x - y = 0 .????4 分 (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调递减, 则 f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. 即

2 1 ? ? m ? 0 在 (0, ??) 上恒成立. x x2
2 1 ? ? m 在 (0, ??) 上恒成立. x x2



设 g ( x) =

2 1 ( x > 0) , x x2

则 m ? [ g ( x)]max . 因为 g ( x) ?

2 1 1 ? 2 ? ?( ? 1) 2 ? 1( x ? 0) , x x x

所以当 x ? 1 时, g ( x) 有最大值 1 . 所以 m 的取值范围为 [1, ??) . (Ⅲ)因为 0 < a < b ,不等式 ????????9 分

ln b ? ln a 1 b?a ? 等价于 ln b ? ln a ? . b?a ab ab

即 ln

1 b b a b ,令 ? ? =t (t ? 1) ,原不等式转化为 2 ln t ? t ? . t a a b a

令 h(t ) ? 2 ln t ? ? t , 由(Ⅱ)知 f ( x) ? 2 ln x ?

1 t

1 ? x 在 (0, ??) 上单调递减, x

所以 h(t ) ? 2 ln t ? ? t 在 (1, ??) 上单调递减. 所以,当 t ? 1 时, h(t ) ? h(1) ? 0 . 即当 t ? 1 时, 2 ln t ? ? t ? 0 成立. 所以,当时 0 < a < b ,不等式 (19) (共 14 分)

1 t

1 t

ln b ? ln a 1 成立.????????13 分 ? b?a ab

?b ? 2, ? 2 ?c , 解: (Ⅰ)由题意得 ? ? 解得 a ? 2, b ? 2 . 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?
所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????5 分 4 2

(Ⅱ)设点 P( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . ① M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 在 x 轴同侧,不妨设 x1 ? 0, x2 ? 0, y1 ? 0, y2 ? 0 . 射线 OM 的方程为 y ? 所以 y1 ?

y0 y0 x ,射线 ON 的方程为 y ? x, x0 ? 2 x0 ? 2

2 2 y0 y x1 , y2 ? 0 x2 ,且 x0 ? y0 ? 1 . x0 ? 2 x0 ? 2 4 2

过 M , N 作 x 轴的垂线,垂足分别为 M ' , N ' ,

SΔOMN = S四边形MM ' N ' N - SΔOMM ' - SΔONN '
1 = [( y1 ? y2 )( x1 ? x2 ) ? x1 y1 ? x2 y2 ] 2

yx yx 1 1 = ( x1 y2 - x2 y1 ) = ( x1 ? 0 2 x2 ? 0 1 ) 2 2 x0 - 2 x0 + 2
? 4y 4 y0 1 1 1 x1 x2 ? 2 0 ? x1 x2 ? ? ? x1 x2 ? . 2 2 x0 ? 4 2 ?2 y0 y0

? x12 y12 ? ? 1, ? y0 ? 4 2 2 x1 )2 ? 4 , 由? 得 x1 ? 2( x0 ? 2 ? y1 ? y0 x1 , ? x0 ? 2 ?
2 即 x1 ?

4(x0 ? 2)2 4(x0 ? 2)2 ? ? 2 ? x0 , (x0 ? 2)2 ? 2 y0 2 (x0 ? 2)2 ? 4 ? x0 2

同理 x2 ? 2 ? x0 ,所以, x1 x2 ? 4 ? x0 ? 2 y0 ,即 x1x2 ? ? 2 y0 ,
2 2 2 2 2

所以, S?OMN ?

2.

② M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 在 x 轴异侧,方法同 ①. 综合①②,△ OMN 的面积为定值 2 .??????14 分 (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由于 A ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} , M ? {1, 2,3, 4,5} , 所以 N ? {6, 7,8,9,10} , N ? {5, 6, 7,8,9} , N ? {4,5, 6, 7,8}

N ? {3, 4,5, 6, 7} , N ? {2,3, 4,5, 6} ,回答其中之一即可

???3 分

(Ⅱ)若集合 A ? {a1 , a2 ,L , an } ,如果集合 A 中每个元素加上同一个常数 t ,形成新 的集合 M ? {a1 ? t , a2 ? t ,L , an ? t} . ?????5 分 根据 T ( A) ?
n

1?i ? j ? n

?

| a j ? ai | 定义可以验证: T (M ) ? T ( A) . ?????6 分
C ? ? ai
i ?1 n

取t ?

C ? ? ai
i ?1

n

,此时 B ? {a1 ?

n

, a2 ?
n

C ? ? ai
i ?1

n

n

, L , an ?

C ? ? ai
i ?1

n

n

}.

通过验证,此时 T ( B) ? T ( A) ,且 (Ⅲ)由于 m ? 2

? b ? C . ?????8 分
i ?1 i

T ( A) ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a1 ) ? (a4 ? a1 ) ? L ? (a2m ? a1 ) ?(a3 ? a2 ) ? (a4 ? a2 ) ? L ? (a2m ? a2 ) ?(a4 ? a3 ) ? L ? (a2m ? a3 )
M

?(a2m ? a2m?1 ) = ? (2m ?1)a1 ? (2m ? 3)a2 ? L ? am ? am?1 ? L ? (2m ? 3)a2m?1 ? (2m ?1)a2m =(2m ?1)(a2m ? a1 ) ? (2m ? 3)(a2m?1 ? a2 ) ? L ? (am?1 ? am ) =(2m ?1)(b ? a) ? (2m ? 3)(a2m?1 ? a2 ) ? L ? (am?1 ? am ) ???11 分
由于 0 ? a2m?1 ? a2 ? b ? a ,

0 ? a2m?2 ? a3 ? b ? a , 0 ? a2m?3 ? a4 ? b ? a ,
M

0 ? am?1 ? am ? b ? a .

所以 (2m ?1)(b ? a) ? T ( A) ? m2 (b ? a) .???13 分


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