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习题课--定积分计算


习题课 定积分及其相关问题
一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法

一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 1 x ne x dx . 例1. 求 lim ? x n ?? 0 1 ? e n x x e n 0 ? ? x , 所以 解: 因为 时, x 1? e 1 n 1 x ne x 1 ? x d x ? d x 0? ? ? 0 01 ? e x n ?1 1 x ne x dx ? 0 利用夹逼准则得 lim ?0 x n ?? 1 ? e

说明: 1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理 原式 不对 ! 因为 ? 依赖于 n , 且 0 ? ? ? 1 . 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .

如, P265 题4

1 xp 1? x ? ?1 p ? 1? p 1? x 1? x
p

(0 ? x ? 1)

2? n? ? ?sin ? sin sin n n 例2. 求 I ? lim ? n ? (考研98 ) ? ? ? ? 1 1 n ?? ? n ? 1 n ? n ? 2 n ? ? ? 解:将数列适当放大和缩小,以简化成积分和:

n k? 1 sin ? ? ? ? n ? 1 k ?1 n n
n
n

k? sin n 1 n ? k ?1 k

k? 1 ? ? sin ? n n k ?1
n

k? 1 2 已知 lim ? sin ? ? ? sin ? x d x ? , n ?? n n 0 ? k ?1
利用夹逼准则可知 I ?

n

1

n lim ?1 n ?? n ? 1

2

?

.

? ? ?sin 2n sin nn sin ( n ?n1)? 思考: J ? lim ? ??? ? 1 1 1 n ?? ? n ? n ? n ? 2 n ? n ?1 提示:由上题

? ? ? ?

??

2? n? ? ?sin ? sin sin 2 n n n I ? lim ? ? ??? ?? 1 1 n ?? ? n ? 1 n? 2 n? n ? ? ? ?



( n ?1)? sin ? sin n n J ? I ? lim ? lim n ?? n ? 1 n ?? n ? 1 n ?1 2 2 ? ?0?0 ?

?

?

n n n ? 2 ??? 2 ). 练习: 1.求极限 lim ( 2 2 2 n ?? n ? 1 n ? 2 n ?n 1 1 1 1 n ? ? d x ? 解:原式 ? lim ? 2 ? 2 i 0 1? x n ?? n i ?1 1 ? ( ) 4 n
2 2 2 ? ??? ). 2. 求极限 lim ( 1 1 n ?? n ? 1 n ? n? n 2 i i 1 n n 1 n n 提示: lim 2 ? 原式 ? lim ? 2 ? n ?? n ? 1 n ?? n i ?1 i ?1
i n 2n 左边 ? lim ? n?? n ? 1 i ?1
1 n 2 n n n

n

?? 2 dx
x 0

1

= 右边

例3. 估计下列积分值

1 ? 解: 因为 4

?

1 4? x
??
1 0
2

,
1 dx




?0 2 dx ?
1 ? 2

11

4? x

2

?

?
6

例4. 证明
证: 令 令 得 则



例5. 设



试证 上是单调递减的连续函数,

明对于任何 q ? ?0 ,1? 都有不等式 证明:显然 q ? 0 , q ? 1 时结论成立. 当 0 ? q ? 1 时,

(用积分中值定理)

? q ? f (?1 )
故所给不等式成立 .

? (1 ? q) ? f (? 2 )

例6. 确定 y 是 x 的函数 , 求 解: 方程两端对 x 求导, 得

且由方程

? ( y ? x y?)

令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得

f ( y) ? 3 ln y ? C

令 y ? 1, 得 C ? 3, 故

例7. 求可微函数 f (x) 使满足

sin x 2 f ( x) f ?( x) ? f ( x) 2 ? cos x 不妨设 f (x)≠0, 则

解: 等式两边对 x 求导, 得

1 sin x dx ? f ( x) ? ? f ?( x) dx ? ? 2 2 ? cos x 1 ? ? ln(2 ? cos x) ? C 2

1 f ( x) ? ? ln(2 ? cos x) ? C 2 1 注意 f (0) = 0, 得C ? ln 3 2 1 1 ? f ( x) ? ? ln(2 ? cos x) ? ln 3 2 2

例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程
1 1 x ?x f 0 x

解: 令 u ? xt , 则
代入原方程得 两边求导: 再求导:
x

?0

f (x t) d t

?

(u ) d u

?0 f (u) d u ? x ?0 x 3 ? f ( t ? 1 ) d t ? x f ( x ? 1 ) ? 4x ? 4x f ( x) ?0
4 2 ? x ? 2 x f (t ? 1) d t



可见 f (x) 应为二次多项式 , 设
代入① 式比较同次幂系数 , 得



二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 思考: 下列作法是否正确?

2. 注意特殊形式定积分的计算
3. 利用各种积分技巧计算定积分

4. 有关定积分命题的证明方法

例9. 求 解: 令 e ? x ? sin t , 则
2 ? cos t 1 ? sin t 2 原式 ? 6 cos t ?? ? d t ? ?? dt ??2 sin t sin t 6
?

? ??2 (csc t ? sin t ) d t
6

?

? [ ln csc t ? cot t ? cos t ]
3 ? ln ( 2 ? 3 ) ? 2

? ?

2

6

例10. 求
解:

I ??

?

y cos x
(sin x ? cos x) dx
2

2

0
?

sin x

? ? 2 sin x ? cos x dx
0
?
?

o

?

4

?

2

x

? ? 4 (cos x ? sin x) dx ? ??2 (sin x ? cos x) dx
0

? [sin x ? cos x]
? 2 ( 2 ? 1)

?

4

4

0

2 ? [? cos x ? sin x] ? 4

?

例11. 选择一个常数 c , 使

解: 令 t ? x ? c , 则

??

b?c a ?c

t cos 99 t d t

因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使 即

a ? c ? ?(b ? c) a?b c?? 2

可使原式为 0 .

例12. 设
解:

?0

1

( x ? 1) 2 f ( x) dx
1 0

1 ? ( x ? 1)3 f ( x) 3

1 1 3 ? ? ( x ? 1) f ?( x) dx 3 0

1 1 3 ? x2 ?2x ? ? ? ( x ? 1) e dx (令 u ? ( x ? 1) 2 ) 3 0 1 1 2 ? ( x ?1) 2 ?1 ? ? ? ( x ? 1) e d( x ? 1) 2 6 0 1 1 e e 1 ?u ?u ? ( e ? 2) ? ? u e d u ? ? (u ? 1) e 6 6 6 0 0

例13. 若

?

?

试证 :
?

2 ?0

f (sin x) dx

解: 令 t ? ? ? x , 则

? ? ? (? ? t ) f (sin t ) d t
?

0

?? ?
?

?
?

0

f (sin t ) d t ? ? t f (sin t ) d t
0

?

?

2 ?0

f (sin x) dx

因为

? ? 2 f (sin x) dx
0

?

对右端第二个积分令 t ? ? ? x

? 2 ? 2 f (sin x) dx
0

?

综上所述

?

?

2 ?0

?

f (sin x) dx

例14. 证明恒等式

证: 令


), 因此 f ( x) ? C (0 ? x ? ? 2 又

?
故所证等式成立 .

?
4

例15.
至少存在一点 使

试证

分析: 要证



? a g ( x) d x

x

? ? f ( x) d x
a

x

故作辅助函数

证明: 令

F ( x) ? ? g ( x) d x ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx ? g ( x) d x
a a a a

x

b

x

b


使
b a

上连续,

在 故由罗尔定理知 , 至少

存在一点


b a

g (? ) ? f ( x)dx ? f (? ) ? g ( x)dx ? 0
因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此

故所证等式成立 .

思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 如果能, 怎样设辅助函数?

要证:

提示: 设辅助函数 F ( x) ? ? f (t )dt

x

G ( x) ? ? g (t )dt
a

a x

例16. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 f (2 x ? a) 存在 , 证明: f ?( x) ? 0. 若 lim ? x?a x ?a (1) 在(a, b) 内 f (x) > 0 ;
(2) 在(a, b) 内存在点 ?, 使

2? ? b f (? ) f ( x ) d x ? b2 ? a2
a

(3) 在(a, b) 内存在与 ? 相异的点? , 使 2? b 2 2 f ?(? )(b ? a ) ? f ( x) d x ? ? ?a a

(03考研)

f (2 x ? a) 存在 , ? lim? f (2 x ? a) ? 0 , 证: (1) ? lim x?a x ?a x ?a ? 由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又 f ?( x) ? 0, 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 f ( x) ? f (a) ? 0, x ? (a, b)
(2) 设 F ( x) ? x , g ( x) ? ? f ( x) d x (a ? x ? b)
2 x

则 g ?( x) ? f ( x) ? 0, 故 F ( x), g ( x) 满足柯西中值定理条件,
于是存在 ? ? (a, b), 使

a

F (b) ? F (a) ? g (b) ? g (a)

b2 ? a2

?a

b

f (t ) d t ? ? f (t ) d t
a

a

?

( x 2 )?

? ?a

x

? f (t ) d t ?

x ??



2? ? b f (? ) f ( t ) d t ?
a

b2 ? a2

(3) 因 f (? ) ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? f (a)
在[a, ?] 上用拉格朗日中值定理

? f ?(? ) (? ? a), ? ? (a, ? )
代入(2)中结论得

2? ? b f ?(? )(? ? a) f ( t ) d t ?
a

b2 ? a2

因此得

2? b f ?(? )(b ? a ) ? f ( x) d x ? ? ?a a
2 2

例17. 设



试证 : ②

证: 设 则

F ( x) ? ? f (t ) d t ?
a
x

x

x

a

dt ? ( x ? a) 2 f (t )

F ?( x) ?
??
x?

?a
a

? ? f (t )

dt f (t ) f (t )

?a f (t ) d t ? 2( x ? a)
? 2 ?dt ? ? ? a ?
x[ f

x

( x) ? f (t )]2 dt f ( x) f (t )

故 F(x) 单调不减 ,

即② 成立.


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