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高一数学必修四第二讲平面向量(二)-----向量的平行与垂直(坐标运算)


高一数学讲义(66 期) 第二讲 平面向量(二)

一、知识要点
1、平面向量基本定理 如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有 且只有一对实数?1、?2,使 a = 有向量的一组 。 2、向量的加减法及数乘的坐标运算 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ?, ? ? R 。把不共线的向量 e1 、 e 2 叫做这一平面内所

则a ?b ?( ) ;

, ,

) )

a ?b?( , 3、平面上的点与向量的区别

?a ? (


设平面上有两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?,则向量 AB ? ( 说明:后一点坐标减去前一点的坐标 4、向量的数量积的定义及坐标运算



定 义 : 已 知 向 量 a与b , 它 们 的 夹 角 是 θ , 则 a b c o s ? 叫 做 a与b 的 数 量 积 , 记 , ? 其中 a cos ? 叫做 a 在 b 方向上的投影。 坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? 向量数量积的性质: 作

? ? ? ?2 (1)向量的长度 a ? a ? x12 ? y12 , a 2= a
(2)向量的夹角公式: cos ? ?

??

2

a?b ab

,此公式用于求两向量的夹角 θ

5、向量的平行与垂直(都有定义与坐标两种方法) 平行(1)已知向量 a与b ,若存在常数 λ(λ≠0) ,使得 a ? ? b ,则 (2)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? , a // b ??? 垂直(1)已知向量 a与b ,若 a ? b ? 0 ,则 (2)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? , a ? b ??? ; ;

二、学法指导
1、向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算,由于有关长度、角度和垂直的问题可 以利用向量的数量积来解决,因此可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的
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距离,两个向量的夹角,判断向量是否垂直。 2、用向量法证明几何问题的基本思想:将问题中有关的线段表示为向量,然后根据图形的性 质和特点,应用向量的运算、性质、法则,推出所要求得的结论,要注意挖掘题目中,特别是 几何图形中的隐含条件。

三、例题分析

? ??? 例 1、 (08 陕西)关于向量 a, b,c 有下列三个命题: ? ? ? ? ? ? ①若 a ? b ? a ? c 则 b ? c ? ? ? ? ②若 a ? ?1, k ? , b ? ? ?2,6 ? , a ∥ b ,则 k=-3 ? ? ? ? ? ? ? ③非零向量 a 和 b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60?
其中真命题的序号是

? ? ? 变式 1、对于向量 a 、 b 、 c 和实数 ? ,下列命题中真命题是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 B.若 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b D.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c

? ? ? 1 ? ? ? ? 1 例 2、已知 a ? 1, a ? b ? , a ? b ? a ? b ? 2 2 ? ? ? ? (1)求 a 与 b 的夹角 ? ; (2)求 a ? b

?

??

?

? ? ? ? ? ? ? ? 变式 2、 (10 重庆)已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2 ,则 2a ? b ? (
A.0 B. 2 2 C.4

) D.8

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 例 3、 (11 湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则 AD ? BE =

??? ? ??? ? ???? ???? ???? 变式 3、 (10 天津)如图,在△ABC 中 AD⊥AB, BC ? 3 BD, AD ? 1 ,则 AC ? AD = A

B

D

C

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? ? ? ? ? ? 例 4、设 a ? ? m ? 1, ?3? , b ? ?3, m ? 1? ,若 a ? b ^ a ? b ,求 m 的值。

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? 变式 4、 (10 陕西)已知向量 a ? (2, ?1), b ? (?1, m), c ? (?1, 2) ,若 a ? b ∥ c ,则 m=

?

?

? ? ? ? ? 例 5、已知向量 a 与 b 同向, b ? ?1, 2 ? , a ? b ? 10 ,求: ? ? ? ? ? (1)向量 a 的坐标; (2)若 c ? ? 2, ?1? ,求 a ? c ? b

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? 变式 5、 (09 广东)若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 1, a ? b 平行于 x 轴, b ? ? 2, ?1? ,则 a ?
例 6、已知在△ABC 中, A ? 2, ?1? , B ?3,2 ?, C ? ?3, ?1 ? ,AD 为 BC 边上的高,求点 D 的坐标。

四、课后练习

? ? ? ? 1、设 a 、 b 、 c 均为非零向量,给出下列结论:①若 a = b ,则 a · c =b · c ;②若 a · c =b · c, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 a = b ;③ a ? a ? c ? a ? b ? a ? c ;④ a b ? c ? a ? b ? c ,其中正确的是( )

?

?

? ? ? ?

B.①②③ C.①③④ D.①③ ? ? ? ? ? 2、 (09 重庆)已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 ,则向量 a 与 b 的夹角是( )

A.①②③④

?

?

? ? ? ? B. C. D. 6 4 3 2 ? ? 3、若 a =(?,2) , b =(-3,5) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则?的取值范围是( ) 10 ? 10 ? ? 10 ? ?10 ? ? ? A. ? , ?? ? B. ? , ?? ? C. ? ??, ? D. ? ??, ? 3? 3? ? 3 ? ?3 ? ? ?
A.

4、 ( 08 北 京 ) 已 知 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 120? , 且 a ? b =4 , 那 么 b ? 2a ? b 的 值 为 。
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?

?

? ? ? ? 5、设向量 a 与 b 的夹角为?,且 a ? ? 3,3 ? ,2b ? a ? ? ?1,1 ? ,则 cos?=
6、已知 a ? (1,0), b ? (1,1) (1)λ 为何值时, a ? ?b ? 1 ;



(2)当 λ 为何值时, a ? ?b 与 a 垂直

7、已知 A(2,1) ,B(3,2) ,D(-1,4) ??? ? ???? (1)求证: AB ? AD (2)若四边形 ABCD 是矩形,试确定点 C 的坐标并求该矩形的两条对角线所成的锐角的 余弦值。

五、考考你
A. 3

? ? ? 1、 (09 辽宁)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° , a =(2,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b =(
B.2 3 C.4 D.12



2、 (08 安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? ( 2 、4), AC ? (1 、3),则 B. (-3,-5) C. (3,5) ? ? 3、△ ABC 中, AB = a , BC = b ,若 a · b <0,则△ ABC 形状为( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 ) BD ? ( A. (-2,-4) D. (2,4) ) D.不能判断

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高一数学讲义第二讲参考答案(66 期)
一、知识要点
1、 ? 1 e1 ? ? 2 e 2 ,基底 3、 x 2 ? x1 , y 2 ? y1 5、平行: (1) a // b 垂直: (1) a ⊥ b 2、 ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) 、 ( x1 ? x, y1 ? y 2 ) 、 ( ?x1 , ?y1 ) 4、 a · b 、 x1 x 2 ? y1 y 2 (2) x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 (2) x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

三、例题分析
例 1、② 变式 1、B ∴b ?

? ? 1 1 例 2、 (1)由( a - b ) ( a + b )= 得| a |2-| b |2=
2
∴ ? ? 45?

2

2 2

1 a ?b 2 ∴ cos ? ? ? 2 ? 2 2 ab 2

? ? ? ? 1 2 5 ?? ?? ? cos 45? ? (2) a ? b ? ? a ? b ? ? a ? b ? 2 a ? b ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 2 2 2 ? ? ? ? 10 ∴ a? b ? 2 变式 2、B ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ??? ? ? ? 1 ??? ? ??? ?? 例 3、 AD ? BE ? BD ? BA ? CE ? CB ? ? BC ? BA ? ? ? CA ? CB ? ?2 ? ?3 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 1 ?2 1 1 ? 1 1 ? ? B C? C A ? B? C ? C A ?A B ? C ? B ? B? A ? 1? ? C ?O ? S? 6 2 3 6 3 3 2 4 ? ? 变式 3、 3 ? ? ? ? 例 4、 a ? b ? ? m ? 2, m ? 4 ? , a ? b ? ? m, ?m ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ a ?b ^ a ?b ∴ a?b ? a?b ? 0 ? ?

2

2

2

2

?

??

?

?

? ?

?

?

??

?

∴ ? m ? 2, m ? 4 ? ? ? m, ?m ? 2 ? ? 0 ∴ m2 ? 2m ? m2 ? 2m ? 8 ? 0 变式 4、-1 ∴ m ? ?2

例 5、 (1)∵ a 与 b 同向,且 b =(1,2) ,∴ a = ?b =( ?,2? ) (? ? 0) , 又∵ a · b =10,∴ ? ? 4? =10,∴ ? ? 2 ,∴ a =(2,4) ? ? (2)∵ a ? c ? 2 ? 2 ? ( ?1) ? 4 ? 0 ,∴( a · c ) b =0· b = 0 变式 5、 ? ?1,1? 或 ? ?3,1?

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???? ??? ? 例 6、设 D 点坐标为(x,y) ,则 AD ? ( x ? 2, y ? 1) , BC ? (?6, ?3) ??? ? BD ? ( x ? 3, y ? 2) ,∵D 在直线 BC 上,即 BD 与 BC 共线,
∴存在实数 ? ,使 BD = ? BC ,即 ( x ? 3, y ? 2) ? ? (?6, ?3)

? x ? 3 ? ?6? ∴? ? y ? 2 ? ?3?

∴x-3=2(y-2)即 x-2y+1=0 ① ∴-6(x-2)-3(y+1)=0 即 2x+y-3=0 ②

又∵AD⊥BC ∴ AD · BC =0 x ? 1 ? 由①、②得 ? ?y ?1 ∴D 的坐标为(1,1)

四、课后练习
1、D 2、C 3、A 4、0
2

5、

6、 (1) a ? ? b ? ?? ? 1, ? ? ,∴ ?? ? 1? ? ?2 ? 1 ,解得 ? ? 0或 ? 1 (2)由 a ? ? b ? a 得 ? ? 1 ? 0 ,所以 ? ? ?1 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 7、 (1)∵ AB ? (1,1), AD ? (?3,3) ,∴ AB ? AD ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0 ,∴ AB ? AD ??? ? ???? ??? ? (2)设 C 的坐标为(x,y) ,则 BC ? ( x ? 3, y ? 2) ,∵ AD ? BC ,∴ (?3,3) ? ( x ? 3, y ? 2) , ∴ x ? 3 ? ?3 ,∴ x ? 0 ,∴点 C 坐标为(0,5) y ?5 y?2?3 ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 又∵ AC ? (?2, 4), BD ? (?4, 2) ,∴ AC ? BD ? 16, AC ? 2 5, BD ? 2 5 。 ???? ??? ? ???? ??? ? AC ? BD 16 4 ? 设 AC 与 BD 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ???? ??? ? ? AC ? BD 2 5 ? 2 5 5 ∴该矩形两对角线所成锐角的余弦值为

3 10 10

?

?

4 。 5

五、考考你
1、B 2、B 3、B

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