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高中解析几何


高中解析几何
用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲, 它还包括一些退化情形。具体而言: 1 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。 2 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条 直线。 3 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。 4 当平面只与圆锥面一侧相交, 且不过圆锥顶点, 并与圆锥面的对称轴垂直, 结果为圆。 5 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点 。 6 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。 7 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。 代数观点 在笛卡尔平面上,二元二次方程 ax^2+bxy+cx^2+dx+ey+f=0 的图像是 圆锥曲线。根据判别式的不同,也包含了椭圆,双曲线,抛物线以及各种 退化情形。 焦点 - 准线观点 (严格来讲,这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形,因而不 能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛,并能引导出许多圆锥曲线中重 要的几何概念和性质。) 给定一点 P ,一直线 L 以及一非负实常数 e ,则到 P 的距离与 L 距离之 比为 e 的点的轨迹是圆锥曲线,根据 e 的范围不同,曲线也各不相同,具 体如下: 1) e=0 ,轨迹退化为一点(就是点 P )。 2) 0<e<1 ,轨迹为椭圆。 3) e=1 (即到 P 与到 L 距离相同),轨迹为抛物线。 4) 1<e<∞,轨迹为双曲线。(注意,虽然只有一个点和一条线,但可 以得到双曲线两个分支) 5) e=∞,轨迹退化为一直线(就是 L )。 相关几何概念与性质

(以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质,由于大 部分性质是在焦点-准线观点下定义的,对于更一般的退化情形,有些概 念可能不适用。) 考虑焦点-准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点,称为圆 锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数(即圆锥曲线上 一点到焦点与准线的距离比)称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离 称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线 的直线与圆锥曲线相交于两点,此两点间的线段称为圆锥曲线的通径。 圆锥曲线是光滑的,因此有切线和法线的概念。 类似圆,与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦;过焦 点的弦称为焦点弦。 对于同一个椭圆或双曲线,有两个“焦点-准线”的组合可以得到它。 因此,椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一 条准线。 圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称,在椭圆和双曲线的情况, 该直线通过两个焦点,该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线, 还关于焦点连线的垂直平分线对称。 定理 (Pappus) :圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的 距离乘以离心率。 定理 (Pascal) :圆锥曲线的内接六边形,若对边两两不平行,则该六 边形对边延长线的交点共线。(对于退化的情形也适用) 定理 (Brianchon) :圆锥曲线的外切六边形,其三条对角线共点。 圆锥曲线的方程和性质 1)椭圆 (ellipise) 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比 是一个小于 1 的正常数 e 。定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率。 标准方程: 1. 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆标准方程: (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中 a>b>0 , c>0 , c^2=a^2-b^2. 2. 中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆标准方程: (x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中 a>b>0 , c>0 , c^2=a^2-b^2. 参数方程: X=acos θ Y=bsin θ ( θ 为参数 ,设横坐标为 acos θ ,是 由于圆锥曲线的考虑,椭圆伸缩变换后可为圆 此时 c=0 ,圆的 acos θ =r)

2)双曲线 (hyperbola) 文字语言定义:平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比 是一个大于 1 的常数 e 。定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线的准线 , 常 数 e 是双曲线的离心率。 标准方程: 1. 中心在原点 ,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程: (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中 a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2. 中心在原点 ,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中 a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程: x=asec θ y=btan θ ( θ 为参数 ) 直角坐标(中心为原点): x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 ( 开口方向为 x 轴) y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 ( 开口方向为 y 轴) 3)抛物线 (parabola) 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t 为参数 ) t=1/tan θ (tan θ 为曲线上点与坐标原点 确定直线的斜率)特别地, t 可等于 0 直角坐标 y=ax^2+bx+c ( 开口方向为 y 轴 , a<>0 ) x=ay^2+by+c (开口方向为 x 轴 , a<>0 ) 圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为 ρ =ep/(1- e×cos θ ) 其中 e 表示离心率, p 为焦点到准线的距离。 焦点到最近的准线的距离等于 ex±a 圆锥曲线的焦半径(焦点在 x 轴上, F1 F2 为左右焦点, P ( x , y ), 长半轴长为 a ) 焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为 F1、 F2, 其上任意一点为 P(x,y) ,则焦半径为: 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线

P 在左支, |PF1|= - a-ex |PF2|=a-ex P 在右支, |PF1|=a+ex |PF2|= - a+ex P 在下支, |PF1|= - a-ey |PF2|=a-ey P 在上支, |PF1|= a+ey |PF2|= - a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点 P ( x0,y0 ) 的切线方程以 x0x 代替 x^2, 以 y0y 代替 y^2; 以 (x0+x)/2 代替 x, 以 (y0+y)/2 代替 y 即椭圆 :x0x/a^2+y0y/b^2=1; 双曲线: x0x/a^2-y0y/b^2=1 ;抛物 线 :y0y=p(x0+x) 焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离 p 叫圆锥曲线的焦准距,或焦参数。 椭圆的焦准距 :p=(b^2)/c 双曲线的焦准距 :p=(b^2)/c 抛物线的准焦距 :p 通径 圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径 :(2b^2)/a 双曲线的通径 :(2b^2)/a 抛物线的通径 :2p 圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线 标准方程

椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^ 2)=1 a>b>0

双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^ 2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+ ∞) y∈R

抛物线 y^2=2px p>0

范围

x∈[-a,a] y∈[-b,b]

x∈[0,+∞) y∈R

对称性

关于 x 轴,y 轴,原点 对称 (a,0),(-a,0),(0, b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中 c^2=a^2 -b^2】

关于 x 轴,y 轴,原点 对称 (a,0),(-a,0)

关于 x 轴对称

顶点

(0,0)

焦点

(c,0),(-c,0) 【其中 c^2=a^2 +b^2】 x=±(a^2)/c y=±(b/a)x

(p/2,0)

准线 渐近线

x=±(a^2)/c ———————— —— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex

x=-p/2 —————

离心率 焦半径

e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣ ∣PF2∣=∣exa∣

e=1 ∣PF∣=x+p/ 2

焦准距 通径 参数方程

p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ ,θ 为参数

p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ ,θ 为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b ^2)=1

p 2p x=2pt^2 y=2pt,t 为参数 y0·y=p(x+x 0)

过圆锥曲线上 一点 (x0,y0)的 切线方程 斜率为 k 的切 线方程

(x0·x/a^2)+(y0·y /b^2)=1

y=kx±√[(a^2)·(k ^2)+b^2]

y=kx±√[(a^2)·(k ^2)-b^2]

y=kx+p/2k

圆锥曲线的中点弦问题

已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点,求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程 ( 斜率不存在的情况需要另外考虑 ),与圆锥 曲线方程联立求得关于 x 的一元二次方程和关于 y 的一元二次方程,由韦 达定理得到两根之和的表达式,在由中点坐标公式的两根之和的具体数值, 求出该弦的方程。 2. 点差法,或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标 (x1,y1) 和 (x2,y2) ,代入圆锥曲线的方程,将得 到的两个方程相减 ,运用平方差公式得 [(x1+x2)·(x1 - x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1 -y2)/(b^2]=0 由斜率为 (y1-y2)/(x1-x2) 可以得到斜率的取值。(使用时注意判别式 的问题) 圆锥曲线中求点的轨迹方程 在求曲线的轨迹方程时,如果能够将题设条件转化为具有某种动感的 直观图形,通过观察图形的变化过程,发现其内在联系,找出哪些是变化 的量(或关系)、哪些是始终保持不变的量(或关系),那么我们就可以 从找出的不变量(或关系)出发,打开解题思路,确定解题方法。 圆锥曲线的曲率(见右图)曲率半径的作图。 第二条垂线与法线的交点

Z 就是曲率的中心他到 P 点的距离便是曲率半径。 圆锥曲线判别法 设圆锥曲线的方程为 Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0 |A B D| ?=|B C E| δ =|A B| S=A+C 称为二次曲线不变量 |D E F| |B C| |D E F| |B C|

δ >0 δ >0

?=0 ?≠0 ?S<0

有一实点的相交虚直线 椭圆

δ >0 δ <0 δ <0 δ =0 δ =0 δ =0 δ =0

?≠0 ?=0 ?≠0 ?≠0 ?=0 ?=0 ?=0

?S>0

虚椭圆 相交直线 双曲线 抛物线

D^2+E^2-AF-CF>0 D^2+E^2-AF-CF=0 D^2+E^2-AF-CF<0

平行直线 重合直线 平行虚直线

圆锥曲线漫谈 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又 与二次方程对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何 学研究的重要课题之一,在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲 线。 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行,太阳系其 他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增 大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星 或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体,按万有引力定律受它吸 引的另一物体的运动,不可能有任何其他的轨道了。因而,圆锥曲线在这 种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式。 由抛物线绕其轴旋转,可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条 轴,即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点,任何一条过 焦点的直线由抛物面反射出来以后,都成为平行于轴的直线。这就是我们 为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。 由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双曲面,它又是一种直纹曲面, 由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。 人们在设计高大的立塔时,就采取单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固。 由此可见,对于圆锥曲线的价值,无论如何也不会估计过高。 圆锥曲线研究历史 对于圆锥曲线的最早发现,众说纷法。有人说,古希腊数学家在求解 “立方倍积”问题时,发现了圆锥曲线:设 x 、 y 为 a 和 2a 的比例中项, 即。 a : x= x: y= y: 2a ,则 x=ay, y = 2ax , xy = 2a,从而求得 x = 2a 。又

有人说,古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积” 问题中一致的结果。还有认为,古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲 线。日晷是一个倾斜放置的圆盘,中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照 在日晷上,杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方,杆顶尖绘成不同 的圆锥曲线。然而,日晷的发明在古代就已失传。 早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿 波罗尼( Apollonius, 前 262~ 前 190 )。他与欧几里得是同时代人,其巨著 《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造 极之作。 在《圆锥曲线》中,阿波罗总结了前人的工作,尤其是欧几里得的工 作,并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作,在此 基础上,又提出许多自己的创见。全书 8 篇,共 487 个命题,将圆锥曲线 的性质网罗殆尽,以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。 现在,我们都知道,用一个平面去截一个双圆锥面,会得到圆、椭圆、 抛物线、双曲线以及它们的退化形式:两相交直线,一条直线和一个点, 如图 1 ,所示。 在此,我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图 2 ,给定圆 BC 及其所在平面外一点 A ,则过 A 且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。 这个圆叫圆锥的底,A 到圆心的直线叫圆锥的轴(未画出),轴未必垂 直于底。 设锥的一个截面与底交于直线 DE ,取底圆的垂直于 DE 的一条直径 BC , 于是含圆锥轴的△ABC 叫轴三角形 . 轴三角形与圆锥曲线交于 P 、P’,PP’ 未必是圆锥曲线的轴,PP’M 是由轴三角形与截面相交而定的直线, PM 也 未必垂直于 DE 。 设 QQ’是圆锥曲线平行于 DE 的弦, 同样 QQ’被 PP’平分, 即 VQ=QQ’。 现作 AF∥PM,交 BM 于 F ,再在截面上作 PL⊥PM。如图 3 ,PL⊥PP’ 对于椭圆、双曲线,取 L 满足,而抛物线,则满足,对于椭圆、双曲 线有 QV=PV·VR,对于抛物线有 QV=PV·PL,这是可以证明的两个结论。 在这两个结论中,把 QV 称为圆锥曲线的一个纵坐标线,那么其结论表 明, 纵坐标线的平方等于 PL 上作一个矩形的面积。 对于椭圆来讲, 矩形 PSRV 尚未填满矩形 PLJV ;而双曲线的情形是 VR > PL ,矩形 PSRV 超出矩形 PLJV ; 而抛物线,短形 PLJV 恰好填满。故而,椭圆、双曲线、抛物线的原名分别 叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲 线的定义。 阿波罗尼所给出的两个结论,也很容易用现代数学符号来表示: 趋向无穷大时, LS=0 ,即抛物线,亦即椭圆或双曲线的极限形式。 在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13 个世纪里,整个数学界对圆锥 曲线的研究一直没有什么新进展。 11 世纪,阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线

来解三次代数方程, 12 世纪起,圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲,但当时对圆 锥曲线的研究仍然没有突破。直到 16 世纪,有两年事促使了人们对圆锥曲 线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒( Kepler,1571~1630 )继承了 哥白尼的日心说,揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实;二是意大 利物理学家伽利略( Galileo,1564~1642 )得出物体斜抛运动的轨道是抛物 线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线,而且是自然界 物体运动的普遍形式。于是,对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。 譬如, 1579 年蒙蒂( Guidobaldo del Monte,1545~1607 )椭圆定义为:到 两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定 义。不过,这对圆锥曲线性质的研究推进并不大,也没有提出更多新的定 理或新的证明方法。 17 世纪初,在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形 状的新思想的影响下,开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了 圆锥曲线的焦点和离心率,并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点,直 线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实:椭圆、抛物 线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线,都可以从其中一个 连续地变为另一个,只须考虑焦点的各种移动方式。譬如,椭圆有两个焦 点 F1 、 F2 ,如图 4 ,若左焦点 F1 固定,考虑 F2 的移动,当 F2 向左移动, 椭圆逐渐趋向于圆, F1 与 F2 重合时即为圆;当 F2 向右移动,椭圆逐渐趋 向于抛物线,F2 到无穷远处时即为抛物线;当 F2 从无穷远处由左边回到圆 锥曲线的轴上来,即为双曲线;当 F2 继续向右移动, F2 又与 F1 重合时即 为两相交直线,亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供 了一个合乎逻辑的直观基础。 随着射影几何的创始,原本为画家提供帮助的投射、截影的方法,可 能由于它与锥面有着天然的联系,也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法 国的三位数学家笛沙格( Desargue1591 - 1661 )、帕斯卡( Pascal , 1623 - 1662 )和拉伊尔( Phailippe de La Hire , 1640 ~ 1718 )得出了一些关 于圆锥曲线的特殊的定理,可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡 儿和费马创立了解析几何,人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段,对 圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼,又不同于投射和截影法,而是朝 着解析法的方向发展,即通过建立坐标系,得到圆锥曲线的方程,进而利 用方程来研究圆锥曲线,以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标,也可求 得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。 到 18 世纪,人们广泛地探讨了解析几何,除直角坐标系之外又建立极 坐标系,并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二 次方程也被化为几种标准形式,或者引进曲线的参数方程。 1745 年欧拉发 表了《分析引论》,这是解析几何发展史上的一部重要著作,也是圆锥曲 线研究的经典之作。在这部著作中,欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系

统阐述,从一般二次方程。出发,圆锥曲线的各种情形,经过适当的坐标 变换,总可以化以下标准形式之一: 继欧拉之后,三维解析几何也蓬勃地发展起来,由圆锥曲线导出了许 多重要的曲面,诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面 等。 总而言之,圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域,还是在我们 的实际生活中都占有重要的地位,人们对它的研究也不断深化,其研究成 果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。 圆锥曲线的光学性质 椭圆的光学性质 从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆 的另一个焦点上。 双曲线的光学性质 从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射 光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。 抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反 射光线都平行于抛物线的对称轴。 一束平行光垂直于抛物线的准线,向抛物线的开口 射进来,经抛物线反射后,反射光线汇聚在抛物线的焦 点。 图说圆锥曲线的应用 圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的比较 [1]


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