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【优化方案】2016年高中数学 第二章 统计 章末优化总结学案 新人教A版必修3


章末优化总结

抽样方法及应用 应用抽样方法抽取样本时,应注意以下几点: (1)用随机数法抽样时,对个体所编的号码位数要相等.当问题所给位数不相等时,以位 数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数. (2)用系统抽样法抽样时,如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除,则抽样间隔为 k= ;如 果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除,则先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为 k=

N n

N? N ? ?N?.?? ?表示取n的整数部分? ?n? ?? ? ? ??n? ?
(3)三种抽样方法的适用范围:当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用抽签法;当 总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法;当总体容量较大,样本容量也较大时, 可采用系统抽样;当总体中个体差异较显著时,可采用分层抽样.

-1-

在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作 为样本. (1)采用简单随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,?,99,利用抽签法随机抽取 20 个. (2)采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后从每组中随机抽取 1 个. (3)采用分层抽样法,从一级品中随机抽取 4 个,从二级品中随机抽取 6 个,从三级品中 随机抽取 10 个. 对于上述问题,下面说法是否正确,说明理由. ①不论采用哪一种抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的机会都相等. ②(1)(2)两种抽法,这 100 个零件中每一个被抽到的机会相等,而(3)并非如此. ③采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每一个被抽到的机会是不相等的. [解] ①是正确的,②③都不正确. 因为无论是简单随机抽样还是系统抽样,分层抽样,由其操作步骤知,都能保证每一个 个体被抽到的机会是均等的.

用样本的频率分布估计总体的分布 利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计,有时也利用频率分布折 线图和茎叶图对总体情况作出估计. (1)用样本频率分布估计总体频率分布时, 通常要对给定的一组数据进行列表、 作图处理, 作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤. (2)茎叶图刻画数据有两个优点: 一是所有信息都可以从图中得到, 二是便于记录和表示, 但数据较多时不方便. 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高资料(单位: cm): 区间界限 人数 区间界限 人数 [122,126) 5 [142,146) 20 [126,130) 8 [146,150) 11 [130,134) 10 [150,154) 6 [134,138) 22 [154,158] 5 [138,142) 33

(1)列出样本的频率分布表(频率保留两位小数); (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高低于 134 cm 的人数占总人数的百分比. [解] (1)列出样本频率分布表: 分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 合计 频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120 频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1.00
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(2)画出频率分布直方图,如图所示.

(3)因为样本中身高低于 134 cm 的人数的频率为 5+8+10 23 = ≈0.19. 120 120 所以估计身高低于 134 cm 的人数约占总人数的 19%.

用样本的数字特征估计总体的数字特征 样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括平均数、众数、 中位数;另一类是反映样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.通常,我们用样本的 数字特征估计总体的数字特征. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次,每次射靶成绩(单位:环)如图所示:

(1)填写下表: 平均数 甲 乙 7 方差 1.2 5.4 中位数 命中 9 环及以上 1 3

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度; ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; ③从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些; ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 1 - [解] (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以 x 乙= (2+4+6 10 +8+7+7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9, 7+8 10,所以中位数是 =7.5;甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9, 2 所以中位数为 7.于是填充后的表格如下表所示: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上

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甲 乙

7 7

1.2 5.4

7 7.5
2 2

1 3

(2)①甲、乙的平均数相同,均为 7,但 s甲<s乙,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏离 平均数的程度大. ②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均水平相同,而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次,可知乙的 射靶成绩比甲好. ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状 态在提升,更有潜力.

求回归方程 除了函数关系这种确定性的关系外,还有大量因变量的取值带有一定随机性的两个变量 之间的关系——相关关系.分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据的散点图给出 判断.若是线性相关,还可以利用最小二乘法求出回归方程. 求回归方程的步骤: - - (1)由已知数据计算出 x , y , ^ ^ (2)计算回归方程的系数a,b,

n 2 x , ? i ? xiyi; i=1 i=1

n

^ ^ ^ (3)写出回归归方程y=bx+a 下表数据是退水温度 x(℃)对黄酮延长性 y(%)效应的试验结果,y 是以延长性计算 的,且对于给定的 x,y 为正态变量,其方差与 x 无关.

x(℃) y(%)

300 40

400 50

500 55

600 60

700 67

800 70

(1)画出散点图; (2)指出 x,y 是否线性相关; (3)若线性相关,求 y 关于 x 的回归方程; (4)估计退水温度是 1 000 ℃时,黄酮延长性的情况.

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[解] (1)散点图如图: (2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见 y 与 x 线性相关.,(3)列出下 表并用科学计算器进行有关计算.

i xi yi xiyi x2 i

1 300 40 12 000 90 000

2 400 50 20 000 160 000

3 500 55 27 500 250 000

4 600 60 36 000 360 000

5 700 67 46 900 490 000

6 800 70 56 000 640 000

x =550, y =57,

? xi2=1
i=1
于是可得

6

990 000,

? xi yi=198
i=1

6

400

因此所求的回归直线的方程为: ^

y=0.058 86x+24.627.
(4)将 x=1 000 代入回归方程得 ^

y=0.058 86×1 000+24.627=83.487,
即退水温度是 1 000 ℃时, 黄酮延长性大约是 83.487%.

1.(2015·聊城高一检测)某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及 果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种.现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检 测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7
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1 解析:选 C.食品共有 100 种,抽取容量为 20 的样本,即抽样比为 ,故抽取植物油类与 5 果蔬类食品种数之和为 2+4=6.故选 C. 2.如图所示是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图可知( )

A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为 0 分 解析:选 A.从茎叶图可以看出:甲运动员的成绩集中在大茎上的叶多,故成绩好. 3.设矩形的长为 a,宽为 b,其比满足 b∶a= 5-1 ≈0.618,这种矩形给人以美感,称 2

为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加 工矩形宽度与长度的比值样本: 甲批次:0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次:0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确的结论是 ( ) A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析:选 A.计算可得甲批次样本的平均数为 0.617,乙批次样本的平均数为 0.613,由此 估计两个批次的总体平均数分别为 0.617, 0.613, 则甲批次的总体平均数与标准值更接近. 故 选 A. 4.某单位为了了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 -1 64

^ ^ ^ 由表中数据得线性回归方程 y=bx+a中b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数 约为________. - 18+13+10-1 - 24+34+38+64 - - 解析: x = =10, y = =40,将点( x , y )代入线性回归 4 4 ^ - ^- 方程,得a= y -b x =40+20=60,所以线性回归方程为 y=-2x+60.将 x=-4 代入线性回 归方程,得 y=68. 答案:68

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[A.基础达标] 1.抽签法中确保样本代表性的关键是( ) A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取不放回 解析:选 B.只有搅拌均匀每个个体被抽取的可能性相等,这样抽取的样本才有代表性, 故选 B. 2.下列抽样方式是简单随机抽样的是( ) A.按居民身份证号码的后 3 位数字是 632 作为样本,来进行中央电视台春节联欢晚会的 收视率的调查 B.对不同地区,不同职业的人,按一定比例抽取作为样本,来进行中央电视台春节联欢 晚会的收视率的调查 C.从产品生产流水线上随机抽取 100 个个体作为样本 D.某公司从 800 袋牛奶中抽取 60 袋.利用随机数表法抽取样本,检验某项指标是否合 格 解析:选 D.因为随机数表法是简单随机抽样,故选 D. 3.某市政府在人大会上,要从农业、工业和教育系统的代表中抽查对政府工作报告的意 见,为了更具有代表性, 抽样应采取( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样 解析:选 D.因为样本来自差异较大的三个部分:农业、工业、教育,故选 D. 4.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了 100 名女生的体重.将所得的数据整理后, 画出了如图所示的频率分布直方图,则所抽取的女生中体重在 40~45 kg 的人数是( )

A.10 C.5 解析:选 A.由图可知频率=

B.2 D.15 频率 ×组距, 组距

故频率=0.02×5=0.1. ∴0.1×100=10 人. 5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每次命中的环数如下: 甲 7 , 8 , 7 , 9 , 5 , 4 , 9 , 10 , 7 , 4 乙 9 , 5 , 7 , 8 , 7 , 6 , 8 , 6 , 7 , 7 那么,根据这次测试成绩得出的结论是( ) A.甲与乙技术一样稳定 B.甲比乙技术稳定 C.乙比甲技术稳定 D.无法确定

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- - 解析:选 C.因为 x 甲= x 乙=7,s 甲=2,s 乙≈1.1,故选 C. 6.如图是 2005 年至 2014 年某省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图, 图中左边的数字 从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居 民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到 2005 年至 2014 年我省城镇居民百户家庭人 口数的平均数为________.

解析:这 10 年的家庭人口数为 291,291,295,298,302,306, 310,312,314,317, 291+291+295+298+302+306+310+312+314+317 再求这 10 个数的平均数为 =303.6. 10 答案:303.6 7.(2015·山东滨州质检)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表 (每名同学只参加 一个小组)(单位:人) 篮球组 高一 高二 45 15 书画组 30 10 乐器组

a
20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个 兴趣小组的学生中抽取 30 人,结果篮球组被抽出 12 人,则 a 的值为________. 30 12 解析: 根据分层抽样各层抽样比是一样的,则有 = ,解得 a=30. 120+a 60 答案:30 8.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统 计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x(℃) 月销售量 y(件) 17 24 13 33 8 40 2 55

^ ^ ^ ^ 由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b ≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约 为 6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为________件. - 17+13+8+2 - 24+33+40+55 ^ - ^- 解析: x = =10, y = =38,a= y -b x =58,所以下个 4 4 ^ ^ ^ 月的平均气温约为 6 ℃,下个月的销售量估计值为y=bx+a=58-12=46. 答案:46 9.从甲、乙两种棉花苗中各抽 10 株,测得它们的株高分别如下(单位:cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 估计两种棉花苗总体的长势: (1)哪种棉花的苗长得高一些? (2)哪种棉花的苗长得整齐一些? 1 - 解:(1) x 甲= (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30, 10
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x 乙= (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)=31,

1 10

从棉花株样本的平均数来看,乙苗长得高一些. (2)s甲=
2 2

1 2 2 2 2 2 2 [(25-30) +(41-30) +(40-30) +(37-30) +(22-30) +(14-30) +(19 10
2 2 2

-30) +(39-30) +(21-30) +(42-30) ]=104.2; 2 2 2 同样 s乙=128.8,所以 s甲<s乙.即 s 甲<s 乙. 因此,甲苗株高较平稳,即甲苗长得整齐一些. 10.某车站在春运期间为了了解旅客购票情况,随机抽样调查了 100 名旅客从开始在售 票窗口排队到购到车票所用的时间 t(以下简称为购票用时,单位为 min),下面是这次调查统 计分析得到的频率分布表和频率分布直方图(如图所示). 分组 一组 二组 三组 四组 五组 合计 频数 0≤t<5 5≤t<10 10≤t<15 15≤t<20 20≤t≤25 100 频率 0 10 10 ① 30 1.00 0 0.10 ② 0.50 0.30

解答下列问题: (1)这次抽样的样本容量是多少? (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图; (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组? 解:(1)样本容量是 100. (2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分:

(3)设旅客平均购票用时为 t min,则有 0×0+5×10+10×10+15×50+20×30 ≤t< 100 5×0+10×10+15×10+20×50+25×30 , 100 即 15≤t<20. 所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组.
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[B.能力提升] 1.某校共有学生 2 000 名,各年级男、女生人数如下表,现用分层抽样的方法在全校抽 取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 女生 男生 373 377 二年级 380 370 三年级

y z

A.24 B.18 C.16 D.12 解析:选 C.一、二年级的人数为 750+750=1 500,所以三年级人数为 2 000-1 500= 500, 4 又 64∶2 000=4∶125,因此三年级应抽取人数为 500× =16. 125 2.总体容量为 832, 若采用系统抽样, 当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( A.12 B.13 C.14 D.15 )

N N 832 解析:选 B.因为分段间隔 k= ,所以 n= = =64.故选 B. n k 13
3.一个容量为 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 (60,70] 7

则样本数据落在(10,40]上的频率为________. 解析:由题意可知频数在(10,40]的有 13+24+15=52,由频率=频数÷总数可得,样 本数据落在(10,40]上的频率为 0.52. 答案:0.52 4.(2015·寿光高一检测)从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单 位:mm),结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计的茎叶图如图所示:

根据以上茎叶图,对甲、乙两个品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论:
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(1)________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________; (2)________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析:由茎叶图可以看出甲品种棉花的纤维长度比较分散,乙品种棉花的纤维长度比较 集中(大部分集中在 312~337 之间)等,通过分析可以得到答案. 答案:(1)从茎叶图上看,甲品种棉花的纤维长度较分散,而乙品种棉花的纤维长度比较 集中 (2)甲品种棉花的纤维长度中位数是 307,乙品种棉花的纤维长度中位数是 318,并且它 们的对称性较好,因此乙品种的平均长度大于甲品种的平均长度 5. 以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格 y(单位: 万元)和房屋面积 x(单位: 2 m )的数据: 房屋面积 x(m ) 销售价 格 y(万元) 24.8 21.6 19.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图; (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系?如果有相关关系,是正相 关还是负相关? 解:(1)数据对应的散点图如图所示:
2

115

110

80

135

105

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断,新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关 关系,且是正相关. 6.(选做题)(2014·高考广东卷)某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3)求这 20 名工人年龄的方差. 解:(1)这 20 名工人年龄的众数为:30;这 20 名工人年龄的极差为:40-19=21. (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图如下:

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(3)这 20 名工人年龄的平均数为:(19+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40)÷20 =30; 所以这 20 名工人年龄的方差为: 1 3 3 5 4 3 2 2 2 2 2 2 (30- 19) + (30- 28) + (30 -29) + (30- 30) + (30 - 31) + (30- 32) + 20 20 20 20 20 20 1 2 (30-40) =12.6. 20

(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列说法错误的是( ) A.在统计里,最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 解析:选 B.平均数不大于最大值,不小于最小值. 2.已知某乡农田有山地 8 000 亩,丘陵 12 000 亩,平地 24 000 亩,洼地 4 000 亩.现 抽取农田 480 亩估计全乡农田粮食平均亩产量,则采用________抽样比较合适.( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 解析:选 D.该乡农田由差异明显的四种类型组成,应采用分层抽样法.故选 D. 3.有一个容量为 80 的样本,数据的最大值是 140,最小值是 51,组距为 10,则可以分 为( ) A.10 组 B.9 组 C.8 组 D.7 组 89 解析:选 B.据题意:最大值与最小值的差为 89, =8.9,故应分 9 组较合适. 10 4.某学校有老师 200 人,男学生 1 200 人,女学生 1 000 人,现用分层抽样的方法从全 体师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知女学生一共抽取了 80 人,则 n 的值是( ) A.193 B.192 C.191 D.190 1 000×n 解析:选 B. =80,解得 n=192. 200+1 200+1 000 5.某班学生父母年龄的茎叶图如图,左边是父亲年龄,右边是母亲年龄,则该班同学父 亲的平均年龄比母亲的平均年龄大( )

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A.2.7 岁 B.3.1 岁 C.3.2 岁 D.4 岁 解析:选 C.分别求出父亲年龄和母亲年龄的平均值,可得父亲的平均年龄比母亲的平均 年龄大 3.2 岁,故选 C. 6.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 1 解析:选 B.去掉最高分 95,最低分 89,所剩数据的平均值为 (90×2+93×2+94)=92, 5 1 2 2 2 2 方差 s = [(90-92) ×2+(93-92) ×2+(94-92) ]=2.8. 5 7.(2014·高考湖北卷)根据如下样本数据

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 解析:选 B.作出散点图如下:

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

^ ^ 观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率 b<0,当 x=0 时,y=a>0.故 a>0,b<0. 8.小波一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小波一星期 的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )

- 13 -

图1

图2 A.1% B.2% C.3% D.5% 解析:选 C.由图 2 知,小波一星期的食品开支为 300 元,其中鸡蛋开支为 30 元,占食品 开支的 10%, 而食品开支占总开支的 30%, 所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 3%, 故选 C. 9.

某校高一、高二年级各有 7 个班参加歌咏比赛,他们的得分的茎叶图如图所示,对这组 数据分析正确的是( ) A.高一的中位数大,高二的平均数大 B.高一的平均数大,高二的中位数大 C.高一的平均数、中位数都大 D.高二的平均数、中位数都大 解析:选 A.由茎叶图可以看出,高一的中位数为 93,高二的中位数为 89,所以高一的中 位数大.由计算得,高一的平均数为 91,高二的平均数为 A. 10.(2014·高考山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所 有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16), [16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,?,第五组,如图是根据试 验数据制成的频率分布直方图. 已知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人, 则第三组中有疗效的人数为( ) 647 ,所以高二的平均数大.故选 7

- 14 -

A.6 C.12

B.8 D.18

20 解析:选 C.志愿者的总人数为 =50,所以第三组人数为 50×0.36= (0.16+0.24)×1 18,有疗效的人数为 18-6=12. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 11.(2014·高考天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟 采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已 知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本 科生中抽取________名学生. 解析:根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为 4 ×300=60. 4+5+5+6

答案:60 12.(2015·广州调研)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86, 88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A,B 两样本的 数字特征(众数、中位数、平均数、方差)对应相同的是________. 1 2 2 2 2 解析:由 s = [(x1-x) +(x2-x) +?+(xn-x) ],可知 B 样本数据每个变量增加 2,平

n

均数也增加了,但 s 不变,故方差不变. 答案:方差 13.某校开展“爱我济宁,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎 叶图所示,记分员去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91 分,复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是________.

2

- 640 解析:最低分为 88,最高分若为 90+x,则计算平均分 x = ≠91,所以最高分应为 94, 7 则有 91×7-(89×2+92×2+93+91)=91,∴x=1. 答案:1 14.已知回归方程 y=4.4x+838.19,则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为________. 5 解析:x 与 y 的增长速度之比应是回归方程斜率的倒数,即 . 22 答案: 5 22

15.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整 数)分成六段[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.在 统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,观察图形的信息,据此估计本次 考试的平均分为________.

- 15 -

解析:在频率分布直方图中,所有小长方形的面积和为 1, 设[70,80)的小长方形面积为 x,则(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1, 解得 x=0.3, 即该组频率为 0.3, 所以本次考试的平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.15 +75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 答案:71 三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 16.(本小题满分 8 分)有以下三个案例: 案例一:从同一批次同类型号的 10 袋牛奶中抽取 3 袋检测其三聚氰胺含量; 案例二:某公司有员工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人, 具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.从中抽取容量为 40 的样本,了解该公司职工收入 情况; 案例三:从某校 1 000 名高一学生中抽取 10 人参加一项主题为“学雷锋,树新风”的志 愿者活动. (1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适? (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程; (3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号:如果在起始组中随机抽取的号 码为 L(编号从 0 开始),那么第 K 组(组号 K 从 0 开始,K=0,1,2,?,9)抽取的号码的百 位数为组号,后两位数为 L+31K 的后两位数.若 L=18,试求出 K=3 及 K=8 时所抽取的样 本编号. 解:(1)案例一用简单随机抽样,案例二用分层抽样,案例三用系统抽样. (2)①分层,将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层; 40 1 ②确定抽样比例 k= = ; 800 20 ③按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、16 人、10 人、6 人; ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本; ⑤汇总构成一个容量为 40 的样本. (3)K=3 时,L+31K=18+31×3=111,故第三组样本编号为 311.K=8 时,L+31K=18 +31×8=266, 故第 8 组样本编号为 866. 17.(本小题满分 8 分)某制造商为运动会生产一批直径为 40 mm 的乒乓球,现随机抽样检 查 20 只,测得每只球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下: 40.02 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.98 40.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.01 40.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96

- 16 -

(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图; 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频数 频率 频率 组距

(2)假定乒乓球的直径误差不超过 0.02 mm 为合格品,若这批乒乓球的总数为 10 000 只, 试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数. 解:(1) 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频数 2 4 10 4 20 频率 0.10 0.20 0.50 0.20 1 频率 组距 5 10 25 10 50

(2)∵抽样的 20 只产品中在[39.98,40.02]范围内有 18 只, 18 ∴合格率为 ×100%=90%, 20 ∴10 000×90%=9 000(只). 即根据抽样检查结果,可以估计这批产品的合格只数为 9 000. 18.(本小题满分 10 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参 加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84
- 17 -

乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两 个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 解:(1)作出茎叶图如下:

1 - (2) x 甲= (78+79+81+82+84+88+93+95)=85, 8 1 - x 乙= (75+80+80+83+85+90+92+95)=85. 8 1 2 2 2 2 2 2 2 s 甲 = [(78 - 85) + (79 - 85) + (81 - 85) + (82 - 85) + (84 - 85) + (88 - 85) + (93 - 8 85) +(95-85) ]=35.5, 1 2 2 2 2 2 2 2 s 乙 = [(75 - 85) + (80 - 85) + (80 - 85) + (83 - 85) + (85 - 85) + (90 - 85) + (92 - 8 85) +(95-85) ]=41. - - 2 2 ∵ x 甲= x 乙,s甲<s乙, ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 19.(本小题满分 12 分)有 5 名学生的数学和化学成绩如下表所示: 学生学科 数学成绩(x) 化学成绩(y) A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61
2 2 2 2

(1)如果 y 与 x 具有相关关系,求线性回归方程; (2)预测如果某学生数学成绩为 79 分,他的化学成绩为多少(结果保留整数)?

- 18 -

20. (本小题满分 12 分)(2015·河南三市调研)PM2.5 是指环境空气中直径小于等于 25 微米 的颗粒物,对人体健康及环境影响很大.某市 2014 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数的 监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81, 88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优;在 51~100 之间时,为良; 在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解:(1)频率分布表: 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)频率分布直方图: 频数 2 1 4 6 10 5 2 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

(3)答对下述两条中的一条即可: 1 (ⅰ)该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当月天数的 ;有 26 天处于良 15

- 19 -

13 14 的水平,占当月天数的 ;处于优或良的天数共有 28 天,占当月天数的 .说明该市空气质 15 15 量基本良好. 1 (ⅱ)轻微污染有 2 天,占当月天数的 .污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 15 17 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%.说明该市空气质量有 30 待进一步改善.

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