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3.3.2 函数的极值与导数(第二课时)48


※高二文科班数学课堂学习单 48※ 班级 姓名 小组 3.3.2 函数的极值与导数 一,学习目标: 1、 会求含参函数的单调区间 2、会求含参函数的极值 二,自学导航: 1, 函数的单调性与导数的关系: 2, 求函数的极值的步骤: 3, “函数在某点有极值”与“函数在这点的导数等于零”的关系是: 问题一: 设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0).求函数 f(x)的单调区间与极值点.

小结:用导数求极值要先讨论函数的单调性,涉及参数时,必须对参数的取值情况进行 讨论, 可从导数值为 0 的点将定义域分成几个区间, 逐一讨论各区间内的单调性, 确定极值. 问题二.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值;(2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴有三个交点.

小结:判断函数与 x 轴的交点问题,先要确定函数的单调性,然后确定函数的大致图像 4,我生成的问题: 三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点

四,课堂检测: 1,a 为何值时,方程 x3-3x2-a=0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有 可能无实根?

[巧思] 方程 x3-3x2-a=0 根的个数, 即为直线 y=a 和函数 f(x)=x3-3x2 图像交点的个数, 故可借函数的单调性和极值画出函数 f(x)=x3-3x2 的图像,然后借助图像判断根的个数. 2.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时函数有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

3. 函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范围是________. 五,作业 a 1.若函数 f(x)=x+ 有极值,则 a 的取值范围是( x B.(0,+∞) )

A.[0,+∞)

C.(-∞,0) D.(-∞,-1]

2.(2011· 福建高考)若 a>0,b>0,且函数 ?(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9

3. 函数 f(x)=x3-3a2x+2a(a>0)的极大值为正数, 极小值为负数, 则 a 的取值范围是_______. 4.设函数 f(x)=ax2+bln x,其中 ab≠0.证明:当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点;当 ab<0 时,函数 f(x)有且只有一个极值点.

※高二文科班数学课堂学习单 48※ 班级 姓名 小组 3.3.3 函数的极值与导数 48 一,学习目标: 2、 会求含参函数的单调区间 2、会求含参函数的极值 二,自学导航: 4, 函数的单调性与导数的关系: 5, 求函数的极值的步骤: 6, “函数在某点有极值”与“函数在这点的导数等于零”的关系是: 问题一: 设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0).求函数 f(x)的单调区间与极值点. [自主解答] f′(x)=3(x2-a)(a≠0),当 a<0 时,f′(x)>0 恒成立,即函数在(-∞,+∞)上 单调递增,此时函数没有极值点. 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 x1= a,x2=- a. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化如下表: x f′(x) f(x) (-∞,- a) + 单调递增 - a 0 f(- a) (- a, a) - 单调递减 a 0 f( a) ( a,+∞) + 单调递增

因此,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- a)和( a,+∞),单调递减区间为(- a, a),此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 小结:用导数求极值要先讨论函数的单调性,涉及参数时,必须对参数的取值情况进行 讨论, 可从导数值为 0 的点将定义域分成几个区间, 逐一讨论各区间内的单调性, 确定极值. 问题二.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值;(2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴有三个交点. 解:(1)f′(x)=3x2-2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: 1 (-∞,- ) 3 + 单调递增 1 3 1 (- ,1) 3 - 单调递减

x f′(x) f(x)

- 0

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增

极大值

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27 极小值是 f(1)=a-1.

5 5 (2)结合 f(x)的单调性可知, 当 f(x)的极大值 +a>0, 且 f(x)的极小值 a-1<0, 即- <a<1 27 27 时满足条件, 5 所以当 a∈(- ,1)时,曲线 y=f(x)与 x 轴有三个交点. 27

4,我生成的问题:

三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四,课堂检测:

1,a 为何值时,方程 x3-3x2-a=0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有 可能无实根? [巧思] 方程 x3-3x2-a=0 根的个数,即为直线 y=a 和函数 f(x)=x3-3x2 图像交点的 个数,因此可借助函数的单调性和极值画出函数 f(x)=x3-3x2 的图像,然后借助图像判断根 的个数. [妙解] 令 f(x)=x3-3x2, 则 f(x)的定义域为 R, 由 f′(x)=3x2-6x=0, 得 x=0 或 x=2, 所以当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0. 函数 f(x)在 x=0 处有极大值 0, 在 x=2 处有极小值-4, 如图所示, 故当 a>0 或 a<-4 时,原方程有一个根; 当 a=0 或 a=-4 时,原方程有两个不等实根; 当-4<a<0 时,原方程有三个不等实根; 由图像可知,原方程不可能无实根.

2.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时函数有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 解:(1)y′=3ax2+2bx,当 x=1 时,y′=3a+2b=0, y=a+b=3,
?3a+2b=0 ?a=-6 ? ? 即? ,解得? . ? ? ?a+b=3 ?b=9

(2)由(1)知 y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x, 令 y′=0,得 x=0 或 x=1, 且 x∈(-∞,0)时 y′<0,x∈(0,1)时 y′>0. ∴当 x=0 时,函数 y 取得极小值 0.

3. 已知函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 既有极大值又有极小值, 则实数 a 的取值范围 是________. 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), ∵函数 f(x)既有极大值又有极小值, ∴方程 f′(x)=0 有两个不相等的实根. ∴Δ=36a2-36(a+2)>0. 即 a2-a-2>0,解之得 a>2 或 a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)

,五,作业 a 1.若函数 f(x)=x+ 有极值,则 a 的取值范围是( x A.[0,+∞) C.(-∞,0) B.(0,+∞) D.(-∞,-1] )

2 a x -a 解析:f′(x)=1- 2= 2 (x≠0) x x

∵f(x)有极值,∴f′(x)=0 有非零实数解,则 a>0. 答案:B 2.(2011· 福建高考)若 a>0,b>0,且函数 ?(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于( A.2 ) B.3

C.6

D.9

解析:函数的导数为 ? ′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 ?(x)在 x=1 处有极值,可知函数 ?(x)在 x=1 处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b 都是正实数, a+b 2 6 2 所以 ab≤( ) =( ) =9,当且仅当 a=b=3 时取到等号. 2 2 答案:D 3.函数 f(x)=x3-3a2x+2a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围是 ________. 解析:∵f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0), ∴f′(x)>0 时,得:x>a 或 x<-a, f′(x)<0 时,得-a<x<a. ∴当 x=a 时,f(x)有极小值,x=-a 时,f(x)有极大值.
?a3-3a3+2a<0, ? 由题意得:? 3 解得 a>1. 3 ? ?-a +3a +2a>0, a>0,

答案:(1,+∞) 4.设函数 f(x)=ax2+bln x,其中 ab≠0.证明:当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点;当 ab <0 时,函数 f(x)有且只有一个极值点. 证明:因为 f(x)=ax2+bln x,ab≠0, 所以 f(x)定义域为(0,+∞).
2 b 2ax +b f′(x)=2ax+ = . x x

当 ab>0 时, 若 a>0,b>0,则 f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 若 a<0,b<0,则 f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点. 当 ab<0 时, 2a?x+ ? f′(x)= 令 f′(x)=0, 得 x1=- x2= - - b ?(0,+∞)(舍去), 2a b ?? - x- 2a?? x b? - 2a? ,

b ∈(0,+∞),当 a>0,b<0 时, 2a

f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?0, ?




b? 2a?

- 0

b 2a

? ?

b ? - ,+∞ 2a ? +

极小值

从上表可看出,函数 f(x)有且只有一个极小值点, 当 a<0,b>0 时,f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?0, ?




b? 2a?

- 0

b 2a

? ?

b ? - ,+∞ 2a ? -

极大值

从上表可看出,函数 f(x)有且只有一个极大值点, 综上所述, 当 ab>0 时,函数 f(x)没有极值点; 当 ab<0 时, 若 a>0,b<0 时,函数 f(x)有且只有一个极小值点, 若 a<0,b>0 时,函数 f(x)有且只有一个极大值点.


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