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苏教版立体几何习题精选(含答案详解)


(江苏最后 1 卷)给出下列四个命题: (1)如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么平面 ? 内所有的直线都与平面 ? 相交 (2)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? (3)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内与它们的交线不垂直的直线与平面 ? 也不垂 直 (4)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? 真命题 的序号是 ... 【答案】 (3) (4) ▲ . (写出所有真命题的序号)

(南师大信息卷) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 若 点 P 是 棱 上 一 点 , 则 满 足 PA ? PC1 ? 2 的 点 P 的 个 数 为 6 .

提示:点 P 在以 AC1 为焦点的椭圆上, P 分别在 AB 、 AD 、 若 P 在 AB 上, 设 AP ? x , AA1 、 C1B1 、 C1D1 、 C1C 上. 或者,
1 . 2 故 AB 上有一点 P ( AB 的中点)满足条件.

有 PA ? PC1 ? x ? (1 ? x) 2 ? ( 2) 2 ? 2,? x ?

同理在 AD 、 AA1 、 C1B1 、 C1D1 、 C1C 上各有一点满足条件. 又若点 P 在 BB1 上上,则 PA ? PC1 ? 1 ? BP 2 ? 1 ? B1P 2 ? 2 . 故 BB1 上不存在满足条件的点 P ,同理 DD1 上不存在满足条件的点 P .
(南通三模)已知正方体 C1 的棱长为 18 2 ,以 C1 各个面的中心为顶点的凸多面体为 C2 , 以 C2 各个面的中心为顶点的凸多面体为 C3 ,以 C3 各个面的中心为顶点的凸多面体为 C4 , 依此类推。记凸多面体 Cn 的棱长为 an ,则 a6 = ▲ .

解 析 : 考 查 推 理 方 法 以 及 几 何 体 中 元 素 的 关 系 理 解 应 用 。 正 方 体 C1 的 棱 长 为

B2

B2

A2 A2
A3

A3

B3

A2 B2

B3

A1

B1

a1 ? A1 B1 ? 18 2 , 由 C1 各 个 面 的 中 心 为 顶 点 的 几 何 体 为 正 八 面 体 C 2 , 其 棱 长
a 2 ? A2 B2 ? 2 A1 B1 ? 18 ,由 C 2 各个面的中心为顶点的几何体为正方体 C3 , 其棱长 2
2 A2 B2 ? 6 2 ,如此类推:得到 a4 ? 6, a5 ? 2 2, a6 ? 2 。 3
答案:2

a3 ? A3 B3 ?

(泰州期末)设 ? 、 ? 、 ? 表示是三个不同的平面,a、b、c 表示是三条不同的直线,给 出下列 五个命题: (1)若 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥b,则 ? ∥ ? ; (2)若 a∥ ? ,b∥ ? , ? ? ? ? c, a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; (3)若 a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? ? a ? ? ; (4)若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? 或 ? ? ? ; 答案:(2)

(南京三模)7.已知 ? 、 ? 是两个不同的平面,下列四个条件: ①存在一条直线 a , a ? ? , a ? ? ; ②存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? ; ③存在两条平行直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? ; ④存在两条异面直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? 。 其中是平面 ? ∥平面 ? 的充分条件的为= 答案:①③ ▲ . (填上所有符合要求的序号)

(苏锡常二模)设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; (2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为 答案: (2) , (4) .

(苏州期末)已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为_________.

答案: 3 39

(南京二模) .一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的 阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面, 以它们的公共顶点 P 为顶点, 加工成一个如图所示的正四棱 锥容器, 当 x=6cm 时, 该容器的容积为__________________

cm3 .
答案:48

(南通一模) .在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为棱 AA1 、 D1C1 上的 动点,点 G 为正方形
B1 BCC1 的中心. 则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,

面积的最 大值为 答案:12 解析: 如图①,当 E 与 A1 重合, F 与 B1 重合时,四边形 AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为 12; 如图②,当 E 与 A1 重合,四边形 AEFG 在左、右面的正投 影的面积最大值为 8; 如图③,当 F 与 D 重合时,四边形 AEFG 在上、下面的 正投影的面积最大值为 8; 综上得,面积最大值为 12. A1 F B1 A1 D1 (F) D F C A1 D1 F B1
G



.

C1

E A

D
B

C

(第 11 题)

E
G

G

G

E A


B

A


D

A ( E)

B


(本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本)

(盐城二模)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? CD , AB ? BC ,

AB ? BC ? 1 , DC ? 2 , 点 E 在 PB 上. (1) 求证: 平面 AEC ? 平面 PAD ; (2) 当 PD ? 平面 AEC 时, 求 PE : EB 的值.

P E A B

15.(1)证明: 过 A 作 AF ? DC 于 F, 则 CF=DF=AF,

D 所以 ?DAC ? 900 , 即 AC ? DA …………………………… 2 分 又 PA ? 底面 ABCD , AC ? 面 ABCD ,所以 AC ? PA ……4 分 因为 PA, AD ? 面 PAD ,且 PA ? AD ? A ,

C
第 15 题

所以 AC ? 底面 PAD …………………………………………6 分 而 AC ? 面 ABCD , 所以平面 AEC ? 平面 PAD …………………………………………………… 8 分 (2)连接 BD 交 AC 于点 O, 连接 EO, 因为 PD ? 平面 AEC , PD ? 面 PBD , 面 PBD ? 面 AEC=EO, 所以 PD//EO…………………………………………………………………11 分 则 PE : EB = DO : OB , 而 DO : OB ? DC : AB ? 2 , 所以 PE : EB ? 2 ………………………… 14 分

(南京二模) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求

BF 的值。 BE

解: (1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC. 因为平面 ABCD⊥平面 BCE, 平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 BCE. ……………… 3 分

A O

B F E (第 16 题图)

因为 CE?平面 BCE,所以 CE⊥AB. 因为 CE⊥BE,AB?平面 ABE,BE?平面 ABE,AB∩BE=B, 所以 CE⊥平面 ABE. 因为 CE?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 ABE. (2)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF. 因为 DE∥平面 ACF,DE?平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDE=OF, 所以 DE//OF. 又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, BM 1 所以 F 为 BE 中点,即 BF =2. ………………………… 14 分 ………………………… 12 分 ………………………… 6 分 ………………………… 8 分

(天一、淮阴、海门三校联考) 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC=4,CB=2,AA1=2 ,

?ACB ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 , BC
的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.
A1

E

C1 B1

P A F B 16.(1)证明:在 ?ABC 中,∵AC=2BC=4, ?ACB ? 60 由已知 AB ? BB1 , ∴ AB ? 面BB1C1C 又∵ AB ? 面ABE,故ABE ? 面BB1C1C (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1M , FM 在 ?ABC 中, FM // AB , 而 FM ? 平面ABE ,∴直线 FM//平面 ABE 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点,∴ C1 M // AE 而 C1M ? 平面ABE ,∴直线 C1 M // 面ABE 又∵ C1 M ? FM ? M ∴ 面ABE // 面FMC1
0

C

2 2 2 ∴ AB ? 2 3 ,∴ AB ? BC ? AC ,∴ AB ? BC

H

G

B

故 C1F // 面AEB (或解:取 AB 的中点 G,连结 FG,EG,证明 C1 F / / EG,从而得证) 1 (3)取 B1C1 的中点 H ,连结 EH ,则 EH / / AB 且 EH ? AB ? 3 , 2 由(1) AB ? 面BB1C1C ,∴ EH ? 面BB1C1C , ∵P 是 BE 的中点, 1 1 1 ∴ VP ? B1C1F ? VE ? B1C1F ? ? S?B1C1F ? EH ? 3 2 2 3

(泰州期末)如图,三棱锥 A—BCD,BC=3,BD=4,CD=5,AD⊥BC,E、F 分别是棱 AB、CD 的中点,连结 CE,G 为 CE 上一点. A (1)求证:平面 CBD⊥平面 ABD; CG (2)若 GF∥平面 ABD,求GE 的值. E

D

B

G F

15.解:(1)在△BCD 中,BC=3,BD=4,CD=5,∴BC⊥BD 又∵BC⊥AD,BD∩AD=D ∴BC⊥平面 ABD …………………………4′ 又∵BC ? 平面 BCD ∴平面 CBD⊥平面 ABD …………………………7′ (2) ∵GF∥平面 ABD, FG ? 平面 CED 平面 CED∩平面 ABD=DE ∴GF∥ED …………………………10′ ∴G 为线段 CE 的中点 CG ∴ =1 GE …………………………14′

C

(南京三模) 16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中, ?BAC ? 90 , ?B ? 60 , AB ? 1 ,D 为线段 BC 的中点,E、F 为线段 AC 的三
O O

等分点(如图 1).将△ABD 沿着 AD 折起到△A B? D 的位置,连结 B? C(如图 2). (1)若平面 A B? D⊥平面 AD C,求三棱锥 B? -AD C 的体积;

(2)记线段 B? C 的中点为 H,平面 B? ED 与平面 HFD 的交线为 l ,求证:HF∥ l ; (3)求证:AD⊥ B? E.

(南通三模)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D、E 分别是棱 BC、AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 AB ? AC, AA 1 ? 3, BC ? CF ? 2 . (1)求证: C1E ∥平面 ADF; A (第 16 题) C D O E B A1 M B1 F C1

(2)若点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM ⊥平面 ADF? 分析: (1)要证明 C1 E // 平面ADF ,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行. Ⅰ.要在平面 ADF 中找到与 C1 E 平行的直线,可反用线面平行的性质,利用过 C1 E 的平面 与平面 ADF 的交线 OF ,这里注意 O 为 ?ABC 的重心, (

CO 2 ? ),再利用比例关系证明 OE 1

C1 E // OF 从而证明结论.
Ⅱ.取 BD 中点 M ,可通过证明面 C1 ME // 平面ADF ,证明 C1 E // 平面ADF 解: (1)连接 CE 交 AD 于 O ,连接 OF . 因为 CE,AD 为△ABC 中线, 所以 O 为△ABC 的重心, 从 OF//C1E.………………………………………………………………………………3 分 OF ? 面 ADF, C1 E ? 平面 ADF , 所 以
C1 E //

CF CO 2 ? ? . CC1 CE 3







ADF .……………………………………………………………………6 分
(2)当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面 ADF . 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 由于 B1 B ? 平面 ABC,BB1 ? 平面 B1BCC1,所以平面 B1BCC1 ? 平面 ABC. 由于 AB=AC, D 是 BC 中点,所以 AD ? BC .又平面 B1BCC1∩平面 ABC=BC, 所以 AD ? 平面 B1BCC1. 而 CM ? 平面 B1BCC1, 于是 AD ? CM. ………………………………………………… 9分 因为 BM =CD=1, BC= CF=2,所以 Rt?CBM ≌ Rt?FCD , 所以 CM ? DF. ……… 11 分 DF 与 AD 相交,所以 CM ? 平面 ADF . CM ? 平面 CAM,所以平面 CAM ? 平面

ADF .………………………………………13 分
当 BM=1 时,平面 CAM ? 平面

ADF .…………………………………………………14 分

(苏锡常一模)如图 1 所示,在 Rt ?ABC 中, AC ? 6 , BC ? 3 , ?ABC ? 90? ,CD 为 ?ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上, CE ? 4 .如图 2 所示,将 ?BCD 沿 CD 折起,使 得平面 BCD ? 平面 ACD ,连结 AB ,设点 F 是 AB 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BCD ; (2)若 EF // 平面 BDG ,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B ? DEG 的体积.

(南通一模)如图,在六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 // CC1 , A1 B ? A1D , AB ? AD . D1 求证: (1) AA1 ? BD ; (2) BB1 // DD1 . 证明: (1)取线段 BD 的中点 M ,连结 AM 、 A1M , 因为 A1 D ? A1B , AD ? AB , 所以 BD ? AM , BD ? A1M 又 AM ? A1M ? M , AM 、A1M ? 平面 A1 AM ,所以 BD ? 平面 A1 AM . 而 AA1 ? 平面 A1 AM , 所以 AA1 ? BD . (2)因为 AA1 // CC1 ,
AA1 ? 平面 D1DCC1 , CC1 ? 平面 D1DCC1 ,

A1 B1

C1

D A

M B
(第 16 题)

C

所以 AA1 // 平面 D1DCC1 . 又 AA1 ? 平面 A1 ADD1 ,平面 A1 ADD1 ? 平面 D1 DCC1 ? DD1 , 所以 AA1 // DD1 .同理得 AA1 // BB1 , 所以 BB1 // DD1


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