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2013届高考数学一轮复习资料(11)


2013 届高考数学一轮复习资料(11)
时量:90 分钟;满分:150 分 姓名: 班级:
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1 ? 2i 1.复数 (i 是虚数单位)的虚部是 1? i 3 3 ? A. B. i 2 2
2

( C.
1 2

) D.
1 2

i )

2.集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0} , B ? { x | y ? lg(1 ? x )} ,则 A ? B 等于 A. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | 0 ? x ? 1} C. { x | 1 ? x ? 2}



D. { x | 1 ? x ? 2} ( )

3.等差数列 { a n } 的前 n 项和是 Sn,若 a1 ? a 2 ? 5 , a 3 ? a 4 ? 9 ,则 S10 的值为 A.55 B.60 C.65 D.70 4.“a =2”是直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行的( ) ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知△ ABC 中,a、b、c 分别为 A,B,C 的对边,a=4,b=4 3 , ? A ? 30 ? ,则 ? B 等于( A.30°
2 2



B. 30°或 150°

C.60°

D. 60°或 120° ( D.
1 4

6.双曲线 mx + y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 A.1 4



B.-4

C.4

7.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? , n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? D. 若 ? ? ? , m ? ? , m ? ? ,则 m∥ ?





8.偶函数 f(x)满足 f (x-1)= f (x+1),且在 x ? [0,1]时,f (x)=1-x,则关于 x 的方程 f (x)=( x ? [0,3]上解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

1 9

) ,在

x

9.已知函数 f(x)= A sin(? x ? ? )( x ? R , A ? 0, ? ? 0, | ? |? 式是

?
2

) 的图象(部分)如图所示,则 f(x)的解析

? ? ? A. f(x)=2sin ? ? x ? ? ( x ? R ) 6? ?

? ? B. f(x)=2sin ? 2? x ? 6 ?

? ?(x ? R) ?

1

? ? ? C. f(x)=2sin ? ? x ? ? ( x ? R ) 3? ?

? ? D. f(x)=2sin ? 2? x ? 3 ?

? ?(x ? R) ?

? 3 x ? y ? 2 ? 0, 1 1 ? 10.设 x、 满足约束条件 ? x ? y ? 0, y 若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0, b ? 0) 的最大值 1, 则 ? 的最 a b ? x ? 0, y ? 0, ?

小值为( ) 25 8 11 A. B. C. 3 6 3 11.已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图 的数据,这个几何体的体积是 ( ) A.288+36 ? B.60 ? C.288+72 ? D.288+18 ?

D.4 中标出

12.已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P

是双曲

???? ? ???? ???? ? 线右支上一点, F1 F2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为| F1 P |,且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 e 6 为

? A.

2 ?1 2

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题后的横线上) ? ? ? ? ? ? ? ? 13.设 a , b , c 是单位向量,且 a = b + c ,则向量 a , b 的夹角等于 . 14.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是
2 3

.

15.已知曲线 y ? x ? 1 在 x ? x 0 处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在 x ? x 0 处的切线互相平行,则 x 0 的值 为 .
x

16.已知函数 f ( x ) ? e ? x ,对于曲线 y ? f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 期为 ? .
2

②△ABC 可能是直角三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

3 sin ? x ? cos(? x ?

?
3

) ? cos( x ? ?

?
3

)? 1( ? 0, ? R ), ? x 且函数 f(x)的最小正周

?(1)求函数 f(x)的解析式; ?(2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 f(B)=1, BA ?BC ?
3 3 2 , 且 a ? c ? 4 ,试求

b 的值.

2

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂 为 BC 的中点, ? BAC ? ? ACD ? 90 ? ,AE∥CD,DC=AC=2AE=2. (Ⅰ)求证:平面 BCD ? 平面 ABC (Ⅱ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅲ)求四面体 B-CDE 的体积. 直,F

19.(本小题满分 12 分) 已知 { a n } 是递增的等差数列,满足 a 2 ?a 4 ? 3, a1 ? a 5 ? 4. (1)求数列 { a n } 的通项公式和前 n 项和公式; (2)设数列 {bn } 对 n ? N 均有
*

b1 3

?

b2 3
2

? ?+

bn 3
n

? a n ?1 成立,求数列 {bn } 的通项公式.

20.(本小题满分 12 分) 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全 等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm. 2 (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? 3 (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值.

3

21.(本小题满分 12 分) m 已知函数 f ( x ) ? mx ? , g ( x ) ? 2 ln x . x (1)当 m=2 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 x ? (1, e ] 时,不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本小题满分 14 分) ? 如图,椭圆 C :
x a
2 2

?

y

2

2

? 1 的焦点在 x 轴上,左

右顶点分

别为 A1,A,上顶点 B,抛物线 C1,C2 分别以 A1,B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O, 交于直线 y ?
2 x 上一点 P.

C1 与 C2 相

(1)求椭圆 C 及抛物线 C1,C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交 ???? ???? ? QN 的最小值. 点 M,N,已知点 Q ( ? 2 , 0) ,求 QM ?

于不同两

4

参考答案
1 C 13.60° 2 B 3 C
2

4 C

5 D
2

6 A
25 2

7 D 15.0 或-

8 D
2 3

9 A 16.①④

10 D

11 A

12 C

14. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

17.解: (1) f ( x ) ? 由
2? ? ? ,得 ? ? 2

3 sin ? x ? cos(? x ?

?
3

) ? cos( ? x ?

?
3

) ? 1 ? 2 sin( ? x ?

?
6

) ? 1 ???4 分

?

∴ f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ?????????????????6 分

(2)由 f ( B ) ? 2 sin(2 x ? 由0 ? B ? ? ,得 ∴2B ?

?
6

) ? 1 ? 1得 sin(2 B ?

?
6

) ?1

?
6

? 2 B ? 2? ?

?
6

.

?
6

?

?
2

,B ?

?
6

??????????????????????????????8 分

??? ??? ? ? 3 3 3 3 , 得 ac cos B ? , ac ? 3 ???????????????????10 分 由 BA ?BC ? 2 2

再由余弦定理得, b ? a ? c ? 2 ac cos B ? ( a ? c ) ? 2 ac ? 2 ac cos B ? 10 ? 3 3 ??12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵面 ABC ? 面 ACDE,面 ABC ? 面 ACDE=AC,CD ? AC, ∴DC ? 面 ABC,………………………………………………2 分 又∵DC ? 面 BCD,∴平面 BCD ? 平面 ABC. ………………4 分 1 (Ⅱ)取 BD 的中点 P,连结 EP、FP,则 PF DC, 2 1 又∵EA DC,∴EA PF,……………………………6 分 2 ∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴AF∥EP, 又∵EP ? 面 BDE,∴AF∥面 BDE.…………………8 分 (Ⅲ)∵BA ? AC,面 ABC ? 面 ACDE=AC,∴BA ? 面 ACDE. ∴BA 就是四面体 B-CDE 的高,且 BA=2. ……………10 分 ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, 1 1 ∴ S 梯 形 ACDE ? (1 ? 2) ? 2 ? 3, S ? ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ∴ S ? CDE ? 3 ? 1 ? 2, ∴ V E ? CD E ? ? 2 ? 2 ? . ……………………………………12 分 3 3
2 2 2 2

19.解: (1)∵ a1 ? a 5 ? a 2 ? a 4 ? 4 ,再由 a 2 ?a 4 ? 3 , 可解得 a 2 ? 1, a 4 ? 3或 a 2 ? 3, a 4 ? 1 (舍去)……………………………………………………3 分 ∴d ?
Sn ? a4 ? a2 4?2 ? 1 ,∴ a n ? 1 ? 1?( n ? 2) ? n ? 1 n ( n ? 1) 2
n

n

(2)由

2 b1 3

( a 2 ? a n ?1 ) ? ? b2 3
2

………………………………………………………………………6 分
b1 3 ? b2 3
2

? …+

bn 3

? a n ?1 ,当 n ? 2 时

? …+

bn ? 1 3
n ?1

? an ,

5

两式相减得

bn 3n

? a n ?1 ? a n ? 1, ( n ? 2) ……………………………………………………………8 分

∴ bn ? 3 ( n ? 2) ……………………………………………………………………………………10 分
n

当 n=1 时,
n

b1 3

? a 2 ,? a 2 ? 1,? b1 ? 3,

∴ bn ? 3 .…………………………………………………………………………………………12 分 20.解:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,由已知得
a? 2 x, h ? 60 ? 2 x 2 ? 2 (30 ? x ), 0 ? x ? 30,

(1) S ? 4 ah ? 8 x (30 ? x ) ? ? 8( x ? 15) ? 1800,
2

所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2) V ? a h ? 2 2 ( ? x ? 30 x ), V ' ? 6 2 x (20 ? x ) .
2 2 2

由 V ' ? 0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x ? (0, 20) 时, V ' ? 0 ;当 x ? (20, 30) 时, V ' ? 0, 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 ? ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . 2 a 2 2 2 21.解: (1)m=2 时, f ( x ) ? 2 x ? , f '( x ) ? 2 ? 3 , f '(1) ? 4, ………………………………2 分 x x 切点坐标为(1,0) ,∴切线方程为 y ? 4 x ? 4 …………………………………………………2 分
1 x 1 x
2

(2)m=1 时,令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ?

? 21 ln x , 则 h '( x ) ? 1 ?

?

2 x

?

( x ? 1) x
2

2

?0

∴ h ( x ) 在(0,+∞)上是增函数. ………………………………………………………………4 分
1 1 1 2 又 h ( e ).h ( ) ? ? ( ? e ? 2) ? 0,? h ( x ) 在 ( , e ) 上有且只有一个零点………………………5 分 e e e

∴方程 f ( x ) ? g ( x ) 有且仅有一个实数根;………………………………………………………5 分 (或说明 h (1) ? 0 也可以) (3)由题意知, m x ? 则当 x ? (1, e ] 时, m ? 令G ( x) ?
2 x ? 2 x ln x x ?1
2

m

x 2 x ? 2 x ln x x ?1
2

? 2 ln x ? 2 恒成立,即 m ( x ? 1) ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立,`? x ? 1 ? 0
2
2

恒成立,……………………………………………………7 分
? 2( x ? 1). ln x ? 4
2

, 当 x ? (1, e ] 时, G '( x ) ?

( x ? 1)
2

2

? 0, …………………9 分
4e e ?1
2

则 G ( x ) 在 x ? (1, e ] 时递减,∴ G ( x ) 在 x ? (1, e ] 时的最小值为 G ( e ) ?
6

,……………11 分

则 m 的取值范围是 ( ?? ,

4e
2

e ?1 22. (本小题满分 14 分)

) ……………………………………………………………………12 分

解: (1)由题意 A ( a , 0), B (0, 2 ) ,抛物线 C1 方程设为 y ? 4 ax ,抛物线 C2 的方程 x ? 4 2 y ,由
2

2

? y 2 ? 4ax 2 2 ? 2 x y ? ? 1, …………………………………3 分 ∴椭圆 C : ? x ? 4 2 y ? a ? 4, P (8, 8 2 ), 16 2 ? ? y ? 2x

抛物线: C 2 : y ? 16 x ,
2

……………………4 分 ……………………5 分

抛物线: C 2 : x ? 4 2 y ,
2

? x2 y ? 2 ?1 ? 2 2 ? 16 2 , 设直线 l : y ? ? x ? b, 由 ? (2)由(1)直线 OP 的斜率为 2 ,? k ? ? 消去,得 2 2 ?y ? ? 2 x ?b ? ? 2
5 x ? 8 2 bx ? (8 b ? 16) ? 0.
2

………………………………7 分
2 2

∵动直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点,∴△ ? 128 b ? 20(8 b ? 16) ? 0,
? ? 10 ? b ? 10.
8 2b 5 1 2 8 b ? 16
2

………………………………8 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y1 ),? x1 ? x 2 ?

, x1 x 2 ?

5

,

y1 y 2 ? ( ?

2 2

x1 ? b )( ?

2 2

x2 ? b ) =

x1 x 2 ?

2b 2

( x1 ? x 2 ) ? b ?
2

b ?8
2

5

, …………………10 分

???? ? ? QM ? ( x1 ?
? x1 x 2 ?

???? 2 , y1 ), QN ? ( x 2 ?

???? ???? ? 2 , y 2 ),? QM ?QN ? ( x1 ?
9 b ? 16 b ? 14
2

2 )( x 2 ?

2 ) ? y1 y 2

2 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? y 1 y 2 ?
10 ,? 当 b ? ? 8 9

5

, ……………………………………………12 分

? ? 10 ? b ? 9

???? ???? ? 时, QM ?QN 取得最小值,其最小值为

8 2 16 8 14 38 ? (? ) ? ? (? ) ? ?? . 5 9 5 9 5 9

…………………………………………………………10 分

7


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