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江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:三角函数.doc


江苏省 2017 年高考一轮复习专题突破训练 三角函数
一、填空题 1、 (2016 年江苏高考)定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个 数是 ▲ .

2、 (2016 年江苏高考)在锐角三角形 ABC 中,若 sinA=2sinBsinC,则 tanAtanBtanC 的最小 值是 ▲ .

? ?? 2 3 、( 2015 年 江 苏 高 考 ) 已 知 t a n , tan(? ? ? ) ?
_________3_________。

1 ? 的值为 ,则 tan 7

4、 (2014 年江苏高考)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图象有一 个横坐标为

? 的交点,则 ? 的值是 ▲ . 3

5、 (南京市 2016 届高三三模)如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sinωx(ω>0)在 y 轴右 π 侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB= ,则该函数的周期是________ ▲ . 2

6、 (南通、扬州、泰州三市 2016 届高三二模)设函数 y ? sin ? ? x ? 且仅当 x ?

? ?

??

,当 ? (0 ? x ?? ) 3?

?
12

时, y 取得最大值,则正数 ? 的值为





7、(南通市 2016 届高三一模)已知 sin( x ?

?
6

)?

1 5? ? ) ? sin 2 ( ? x) 的值是 ,则 sin( x ? 3 6 3
1 1 ? )? , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan(? ? 2 2 3

8、 (苏锡常镇四市市 2016 届高三二模)若 tan ? ? ▲ .

9、(镇江市 2016 届高三一模)函数 y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相 邻最低点的距离的最小值为________.

10、(镇江市 2016 届高三一模)由 sin 36° =cos 54° ,可求得 cos 2 016° 的值为________. 11 、( 淮 安 、 宿 迁 、 连 云 港 、 徐 州 苏 北 四 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 函 数

f ( x) ? 2 s i n ?( x ? ? ) (? ? 0) 的部分图像如图所示,若 AB ? 5 ,则 ? 的值为
y A 2



O

x

-2

B

12、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末)在 ?ABC 中,设 a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 若a ? 5, A ?

?
4

, cos B ?

3 ,则边 c = 5



13、 (南通市海安县 2016 届高三上期末)若函数 f ( x) ? a sin( x ? 函数,则实数 a 的值为

?
4

) ? 3 cos( x ?

?
4

) 是偶

二、解答题 1、 (2016 年江苏高考)在 △ABC 中,AC=6, cos B = (1)求 AB 的长; (2)求 cos( A π )的值. 6 4 π ,C = . 5 4

2、 (2015 年江苏高考)在 V ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , A ? 60? 。 (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。

3、 (2014 年江苏高考)已知 ? ? ? (1)求 sin(

5 ?? ? 。 ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

?
4

? ? ) 的值;

(2)求 cos(

5? ? 2? ) 的值。 6

4 、 ( 南 通 市 2016 届 高 三 一 模 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c ,

(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab 。
(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2a cos B, b ? 2 ,求 ? ABC 的面积。 5、 (扬州中学 2016 届高三下学期 3 月质量检测)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c, a ? b tan A ,且 B 为钝角.
(1)证明: B ? A ?

?
2



(2)求 sin A ? sin C 的取值范围.

6、 (淮安、 宿迁、 连云港、 徐州苏北四市 2016 届高三上期末) 在锐角三角形 ABC 中, 角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,已知 sin A ?

3 1 , tan( A ? B) ? ? , 5 2

(1)求 tan B ; (2)若 b ? 5 ,求 c .

7、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [ ?

?
2

?? ?

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示.

? ?

, ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 2 2

8、 (南通市海安县 2016 届高三上期末)已知 ? ? (

3? 5? ? 5 。 , ), sin(? ? ) ? 4 4 4 5

(1)求 sin ? 的值; (2)求 cos( 2? ?

2? ) 的值; 3

9、 (苏州市 2016 届高三上期末)在 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且满足
a cos B +b cos A c ? 2cos C .

(1)求角 C 的大小; (2)若 ?ABC 的面积为 2 3 , a ? b ? 6 ,求边 c 的长.

10、 (泰州市 2016 届高三第一次模拟)一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形

ABCD 构成,AB ? 1 米, 如图所示. 小球从 A 点出发以 ?v 的速度沿半圆 O 轨道滚到某点 E
处后, 经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的方向弹射到落袋区 BC 内, 落点记为 F . 设

?A O E ? ? 弧度,小球从 A 到 F 所需时间为 T .
(1)试将 T 表示为 ? 的函数 T (? ) ,并写出定义域; (2)求时间 T 最短时 cos ? 的值.

A E O

B

F D C

11、 (南京市 2016 届高三 9 月学情调研测试)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 acosB=bcosA.

b (1)求 的值; a 1 π (2)若 sinA= ,求 sin(C- )的值. 3 4

12 、 ( 常 熟 市

2016

届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 cos

?x
2

( 3 cos

?x
2

? sin

?x
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 2? .

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)设 ? ? (0,

?

6 ) ,且 f (? ) ? 3 ? ,求 cos ? 的值. 2 5

参考答案 一、填空题 1、 【答案】7 【 解 析 】 由 sin 2 x ? cos x ? cos x ? 0或sin x ?

1 , 因 为 x ? [ 0 ?, 3 , ]所 以 2

x?

? 3? 5? ? 5? 13? 17?

, , , , , , ,共 7 个 2 2 2 6 6 6 6

2、 【答案】8. 【解析】 sin A ? sin(B? C) ? 2sin B sin C ? tan B ? tan C ? 2 tan B tan C ,因此

tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? 2tan B tan C ? 2 2tan A tan B tan C ? tan A tan B tan C ? 8
,即最小值为 8.

3、

1 ?2 t a n? ( ? ? ?) t a ?n 7 tan ?? ? ? 3 1? t a n ?(? ? ) t a ? n 1 ? 1 ? (? 2 ) 7

4、

? 6

5、4 6、2

7、 【答案】

5 . 9

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函 数的恒等变换,考查运算能力,难度中等. 【解析】 sin ? x ?

? ?

5? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?? ? ? sin ? ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? x ? ? ? 6 ? 6? 6 ?? ?3 ? ?? ? ?2 ?

?? ?? 5 ? ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? sin 2 ? x ? ? ? . 6? 6? 9 ? ?
sin(x- 5π π π 1 )=sin(x+ -π)=-sin(x+ )=- . 6 6 6 3

π π π 1 8 sin2( -x)=cos2(x+ )=1-sin2(x+ )=1- = , 3 6 6 9 9 5π π 8 1 5 所以 sin(x- )+sin2( -x)= - = . 6 3 9 3 9 8、 ?

1 7

9、【答案】2 π. 【命题立意】 本题旨在考查三角函数的几何性质, 基本不等式, 考查概念的理解和运算能力, 难度较小. 【解析】取函数 y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的最大值为 a ,周期为 T ?
2 2

2? ,所以同一周期内 a

相邻的最高点与最低点的距离为: ?

?? ? ?? ? 2 2 ? ? 4a ? 2 ? ? ? 4a ? 2 ? (当且仅当 ?a? ?a?

a?

?
2

时,等号成立),故答案为 2 π.

10.【答案】 ?

5 ?1 . 4

【命题立意】本题旨在考查三角函数值,诱导公式.考查概念的理解和运算能力,难度中等.
0 0 0 0 0 【 解 析 】 由 sin 36° = cos 54° 得 sin 36 ? 2sin18 cos18 ? cos 36 ? 18

?

?



4sin 2 180 ? 2sin180 ? 1 ? 0 ,解得 sin180 ?

?2 ? 22 ? 16 5 ?1 , ? 2? 4 4
5 ?1 , 4

cos 20160 ? cos ? 5 ? 3600 ? 1440 ? ? cos ?1440 ? ? ? cos360 ? 2sin 2 180 ? 1 ? ?

11、

? 3

12、7

13、- 3

二、解答题 1、解(1)因为 cos B ? ,0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? ,

4 5

4 5

3 5

2 6? AC AB AC ? sin C 2 由正弦定理知 ,所以 AB ? ? ? ? 5 2. 3 sin B sin C sin B 5
(2)在三角形 ABC 中 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? ? ? ( B ? C ). 于是 cosA ? ? cos(B? C) ? ? cos( B ?

, 4 4 4 4 3 4 2 3 2 2 又 cos B ? ,sin B ? , ,故 cos A ? ? ? ? ? ?? 5 5 5 2 5 2 10 7 2 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 10 ? ? ? 2 3 7 2 1 7 2? 6 因此 cos( A ? ) ? cos A cos ? sin A sin ? ? ? ? ? ? . 6 6 6 10 2 10 2 20
2、解: (1) AB ? c ? 2, AC ? b ? 3, A ? 60? ,所以 a ? BC ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

?

) ? ? cos B cos

?

? sin B sin

?

? 9 ? 4 ? 12 ?

1 ? 7. 2
2? 3 2 ? 21 ,又因为 c ? a ,所以 C ? A , 7 7

c sin A ? (2)根据正弦定理, sin C ? a
故 C 为锐角,所以 cos C ?

2 7 。所以: 7 21 2 7 4 3 ? ? 7 7 7

sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ?

3.(1)∵α ∈(错误!未找到引用源。 ,π ) ,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 (2)错误!未找到引用源。=1 错误!未找到引用源。2 错误!未找到引用源。=错误!未

找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )=错误!未找到引用源。 4、 【答案】 (1) ? ; (2) 3 . 【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、 向量的数量积等基本知识,考查运算求解能力.难度较小. 【解析】 (1)在△ABC 中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 分 因 为 0 < C < π , 所 以 C =

2 3

a 2 ? b2 ? c 2 1 1 ? ? ,即 cosC= ? .………3 2 2ab 2

2? .……………………………………………………………6 分 3

(2) (法一)因为 c=2acosB,由正弦定理,得 sinC 2sinAcosB, …………………………………………………………………………8 分 因为 A+B+C=π,所以 sinC=sin(A+B), 所 以 sin(A+B) = 2sinAcosB , 即 sinAcos B - cosAsinB = 0 , 即 sin(A - B) = 0, ………10 分 又-
? ? <A-B< , 3 3



所以 A-B=0, 即 A=B, 所以 a=b=2. ……………………………………………… 12 分 所 以 △ ABC 3. 的 面 积 为 S


ABC



1 1 2? absinC = × 2× 2× sin = 2 2 3

………………………14 分 ( 法 二 ) 由
c ? 2 a cos B















c ? 2a ?

a 2 ? c 2 ? b2 ,…………………………8 分 2ac
化 简 得

a ? b ,………………………………………………………………………………12 分

所 以 , △ ABC 的 面 积 为 S



ABC



1 1 2? absinC = × 2× 2× sin = 2 2 3

3.………………………14 分 5、解析: (1)由 a ? b tan A 及正弦定理,得 即 sin B ? sin(

sin A a sin A ? ? ,∴ sin B ? cos A , cos A b sin B

?
2

? A) ,............... 4 分

又 B 为钝角,因此 故B ?

?

? A ? ( , ? ) ,(不写范围的扣 1 分) 2 2

?

?
2

? A ,即 B ? A ?

?
2

;............ 6 分

(2)由(1)知, C ? ? ? ( A ? B)

? ? ? ? ? (2 A ? ) ? ? 2 A ? 0 ,∴ A ? (0, ) ,................ 8 分
2 2
4
于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

?
2

? 2 A)

1 9 ? sin A ? cos 2 A ? ?2sin 2 A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ,............10 分 4 8
∵ 0? A?

?
4

, ∴ 0 ? sin A ?

2 2 1 9 9 ,因此 ? ? 2 ( s iA n ? 2 )? ? , 由 此 可 知 2 2 4 8 8

sin A ? sin C 的取值范围是 (

2 9 , ] .............................14 分 2 8
3 4 ,得 cos A ? 1 ? sin 2 A ? , …………2 分 5 5

6、 (1)在锐角三角形 ABC 中,由 sin A ? 所以 tan A ?

sin A 3 ? .……………………………………………………………4 分 cos A 4 tan A ? tan B 1 由 tan( A ? B) ? ………………7 分 ? ? ,得 tan B ? 2 . 1 ? tan A ? tan B 2 2 5 5 (2)在锐角三角形 ABC 中,由 tan B ? 2 ,得 sin B ? , cos B ? ,……9 分 5 5 11 5 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,…………………11 分 25 b sin C 11 b c 由正弦定理 ,得 c ? ………………14 分 ? . ? sin B sin C sin B 2
7、解: (1)由图象知, A ? 2 , 又 分 所以 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ,将点 ( …………2 分 …………4

T 5? ? ? 2? ? ? ? , ? ? 0 ,所以 T ? 2? ? ,得 ? ? 1 . 4 6 3 2 ?

?
3

, 2) 代入,得

?
3

?? ?

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) ,

即? ?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ,又 ?

?
2

?? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

.

………6 分 …………8 分 …………10 分

所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2)当 x ? [ ?

?
6

).

? ?

? ? 2? , ] 时, x ? ? [? , ] , 2 2 6 3 3

所以 sin( x ? 8、

?
6

) ?[ ?

3 ,1] ,即 f ( x) ?[? 3, 2] . 2

…………14 分

9、解: (1)由余弦定理知 a cos B + b cos A ? a ? 分

a 2 ? c2 ? b2 b 2 ? c 2 ? a 2 2c 2 ?b? ? ? c ,…3 2ac 2bc 2c

?
5分

a c o sB + b c o sA 1 ? 1 ,? cos C ? , c 2

…………………………………

又 C ? ? 0, ? ? ,C ? 分

? . 3

………………………7

1 (2)? S? ABC ? ab sin C ? 2 3 ,? ab ? 8 , 2

………………………10

分 又? a ? b ? 6 ,?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? ? a ? b? ? 3ab ? 12 ,
2

…………………13


?c ? 2 3 .

…………………………………

14 分 10、解: (1)过 O 作 OG ? BC 于 G ,则 OG ? 1 ,

OF ?

OG 1 1 ? , EF ? 1 ? ,? AE ? ? , sin ? sin ? sin ?

所以 T (? ) ?

? π 3π AE EF ? 1 1 ? ? ? ? ,? ? [ , ] .……7 分 E 4 4 5v 6v 5v 6v sin ? 6v

A

B

(写错定义域扣 1 分) (2) T (? ) ?

O D C

G F

?
5v

?

1 1 ? , 6v sin ? 6v

T ?(? ) ?

1 cos ? 6sin 2 ? ? 5cos ? (2cos ? ? 3)(3cos ? ? 2) ? ? ?? ,…………9 分 2 2 5v 6v sin ? 30v sin ? 30v sin 2 ?
2 π 3π ], ,?0 ? [ , 3 4 4

记 cos ? 0 ?

?
T ?(? ) T (? )
故当 cos ? ?

( ,?0 ) 4
-

?

?0
0

(? 0 ,

3? ) 4
+

?

?
…………14 分 …………………………………

2 时,时间 T 最短. 3

11、解: (1)由 acosB=bcosA,得 sinAcosB=sinBcosA, 3分 即 sin(A-B)=0.

因为 A,B∈(0,π),所以 A-B∈(-π,π),所以 A-B=0, b 所以 a=b,即 =1. a 6分 ………………………………………………………………………

1 2 2 (2) 因为 sinA= , 且 A 为锐角, 所以 cosA= . ……………………………………… 3 3 8分 所 4 2 , 9 以 sinC = sin(π - 2A) = sin2A = 2sinAcosA =

………………………………………10 分

7 cosC=cos(π-2A)=-cos2A=-1+2sin2A=- . ………………………………………… 9 12 分 π π π 8+7 2 所以 sin(C- )=sinCcos -cosCsin = . …………………………………………… 4 4 4 18 14 分 12、 (1) f ( x) ? 2 3 cos = 3 -2 sin(? x ?
2

?x
2

? 2sin

?x
2

cos

?x
2

= 3 + 3 cos ? x ? sin ? x

?
3

)

最小正周期为 2? .,所以, ? =1 所以, f ( x) = 3 -2 sin( x ? (2) f (? ) ? 3 ? 2sin(? ?

?
3

) 6 ? 3 ,所以, sin(? ? ) ? ? 5 3 5

?
3

)? 3?

cos ? ? cos[(? ? ) ? ] = 3 3

?

?

4?3 3 10


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