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【数学】广东省仲元中学2016-2017学年高二上学期期末考试试题(文) (1)


广东仲元中学 2016-2017 学年上学期期末考试 高二年级数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? y y ? 2 , x ? R ,则 A ? B 等于(
x

?

?

?

?

)

A. ?0,??? B. ?0,1? C. ?1, 2? D.

?(0,1), (1,2)?
)

2.曲线 y ? 4x ? x3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是( A. y ? 7 x ? 4 B. y ? 7 x ? 2

C. y ? x ? 4 D. y ? x ? 2

3.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是() A. f ? x ? ? 3
x

B. f ? x ? ? x C. f ? x ? ? x )

1 2

3

?1? D. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

4.以下四个命题中,其中真命题的个数为(

①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测,这样的抽样是分层抽样; ②对于命题 p: ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 .则 ?p : ?x ? R ,均匀 x ? x ? 1 ? 0
2 2

③“x<0”是 “ln(x+1)<0”的充分不必要条件; ④“若 x ? y ? 0 ,则 x , y 互为相反数”的逆命题 A.1 5.若直线 A. x ? 0 B.2
2

C.3
2

D.4

被圆 C: x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程是() B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

6.已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 a1 , A. 2 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 2 2 D. 3

a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 10 () 2 a8

7. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 是 CC1 的中点, F 是 A1B 的中点, 且 DF ? ? AB ? ? AC , 则( )

A. ? ?

1 , ? ? ?1 2 1 2

B. ? ? ?

1 ,? ?1 2 1 2


C. ? ? 1, ? ? ?

D. ? ? ?1, ? ?

8.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2﹣y2=2 的渐近线的距离是( A. B. C. D.2

9.已知某锥体的三视图(单位:cm )如图所示,则该锥体的体积为 (

)

A.2 cm3

B.4cm3

C.6cm3

D.8cm3

10.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()

A.15

B.16

C.17

D.18

11.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大 小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是( A.1﹣ 12. 设椭圆 B.1﹣ C.1﹣ D.1﹣ )

x2 y 2 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 右焦点为 F (c, 0) , 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 a 2 b2 2

的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1, x2) () A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位置上 13.已知向量 a, b 的夹角为 45 ,且 | a |? 1 , | 2a ? b |? 10 ,则 | b |? . 14.已知样本 7,5,x,3,4 的平均数是 5,则此样本的方差为 . 15.球 O 内有一个内接正方体,正方体的全面积为 24,则球 O 的体积是

? x?0 ? 16.记不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? a( x ? 1) 与 D 有公共点,则 ?3 x ? y ? 4 ?

a 的取值范围是.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(满分 10 分)己知函数 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,直

线x ? ?

? 为它的图象的一条对称轴. 24

(1)求 ? , ? 的值; (2)在 ?ABC中a, b, c 分别为角 A, B, C 的对应边,若 f (? c 值.

A ) ? 2 , a ? 3 , b ? c =6,求 b, 2

18. (满分 12 分)某中学对高三年级进行身高统计,测量随机抽取的 20 名学生的身高,其 频率分布直方图如下(单位:cm). (1)根据频率分布直方图,求出这 20 名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值. (2)在身高为 140~160 的学生中任选 2 个,求至少有一人的身高在 150~160 之间的概率.

19. (满分 12 分) 已知递增的等差数列 ?a n ? 中,a 2 、a 5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?bn ? 为等比数列,

b

1

2 8 ? , b 2 ? b3 ? . 3 27

⑴求数列 ?a n ? , ?bn ?的通项公式; ⑵记 c n ? a n ? bn ,数列 ?c n ? 的前 n 项和为 Tn .求证: Tn ? 2

20.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ABC 是边长为 2 的正三角形,侧面 BB1C1C 是矩形,D、E 分别是线段 BB1、AC1 的中点. (1)求证:DE∥平面 A1B1C1; (2)若平面 ABC⊥平面 BB1C1C,BB1=4,求三棱锥 A﹣DCE 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ?

2 ,且其中一个焦点 2

与抛物线 y ?

1 2 x 的焦点重合. 4

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 S ( ? , 0) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定 点 T ,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在,求出点 T 的坐标;若不 存在,请说明理由.

1 3

22. (满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间.

(2)当 a=1 且 k∈Z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的

最大值.

参考答案
一、 选择题: 1-5 ADABD 二、填空题: 13. 3 2 14.2 15. 4 3? 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ? 16. 6-10 CABAB 11-12 CA

2?

?

,?? ? 2 ,

x??

? 为 f ( x) 的图象的一条对称轴, 24

? 2 ? (?

? ? ? ) ? ? ? k ?(0 ? ? ? ) ?? ? 24 2 12
A ? ? 2 ) ? 2 cos( A ? ) ? 2 ,? cos( A ? ) ? 2 12 12 2

(Ⅱ) Q f (?

,即 bc=9. 又 b+c=6,解得 b=c=3. 18.解: (1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值,

0.1 ? 0.3 ? 0.04 ? 2.5 ? 0.5 ,所以中位数的估计值为 162.5.
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和.则平均数的估计值为 145 ? 0.1 ? 155 ? 0.3 ? 165 ? 0.4 ? 175 ? 0.2 ? 162 (2)这 20 名学生中,身高在 140~150 之间的有 2 个,分别为 A,B,身高在 150~160 之间的有 6 人,分别为 C,D,E,F,G,H,则从这 8 人中任选 2 个的所有基本事件有 AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,BC,BD,BE,BF,BG,BH,CD, CE,CF,CG,CH,DE,DF,DG,DH,EF,EG,EH,FG,FH,GH 共 28 个, 两个身高都在 140~150 之间的事件有 AB 共 1 个, 所以至少有一个人在 150~160 之间的概率为 P ? 1 ? 19.⑴解 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 得 x1 ? 3 , x 2 ? 9 , 因为 ?a n ? 是递增,所以 a 2 ? 3 , a5 ? 9

1 27 ? . 28 28

解?

?a5 ? a1 ? 4d ? 9 ?a1 ? 1 得? ,所以 a n ? 2n ? 1 ?d ? 2 ?a 2 ? a1 ? d ? 3
1 2 , b ? b ? 8 ,得 q= , 2 3 3 3 27
n ?1

又由 b1 ?

2 1 所以 bn ? 3 ( )

3

?

3

2 . n

⑵ c n ? a n ? bn ?

4n ? 2 3n

Tn ?

4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 ? ? ??? ? 1 2 3 3 3 3 3 n ?1 3n
4 ?1 ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 4 ? (n ? 1) ? 2 4n ? 2 ? ? ??? ? n ?1 0 1 2 3 3 3 3n?2 3

3Tn ?

两式相减得: 2Tn ? 2 ? 所以 Tn ? 2 ?

4n ? 4 4 4 4 4n ? 2 ? 4? , ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 n 3n 3 3 3 3

2n ? 2 ?2 3n

20.(1)证明:取棱 A1C1 的中点 F,连接 EF、B1F 则由 EF 是△AA1C1 的中位线得 EF∥AA1,EF= AA1 又 DB1∥AA1,DB1= AA1,所以 EF∥DB1,EF=DB1 故四边形 DEFB1 是平行四边形,从而 DE∥B1F,所以 DE∥平面 A1B1C1 (Ⅱ)解:因为 E 是 AC1 的中点,所以 VA﹣DCE=VD﹣ACE= 过 A 作 AH⊥BC 于 H 因为平面平面 ABC⊥平面 BB1C1C,所以 AH⊥平面 BB1C1C, 所以 = =

所以 VA﹣DCE=VD﹣ACE=

=

21.解: (1)设椭圆的方程为 又抛物线 y ?

x2 y 2 2 c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? , , ? 2 b a 2 a 2

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 , 4
y2 ? 1. 2

? 椭圆 C 的方程是 x 2 ?

(2)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴,

1? 16 ? 则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ? . 3? 9 ?

2

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 解得 即两圆相切于点 ?1,0 ? . ? 1? 16 2 y ? 0. x ? ? y ? , ? ?? ? 3? 9 ??
因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? . 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l : y ? k ? x ? ? .

? ?

1? 3?

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? 2 2 ? 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 . 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2

2 ? ? k2 ? x ?x ? 3 , ? ? 1 2 k2 ? 2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . 1 2 ? k2 ? 2 ?
又因为 TA ? ? x1 ?1, y1 ? , TB ? ? x2 ?1, y2 ? ,?TA ? TB ? ? x1 ?1?? x2 ?1? ? y1 y2

1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 1 ? ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9

? 0,
? TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0? .
故在坐标平面上存在一个定点 T ?1,0 ? 满足条件.

22.解: (1)∵a=2,∴f(x)=2x+xlnx,定义域为(0,+∞). ∴f′(x)=3+lnx,由 f′(x) 〉0 得到 x〉e-3,由 f′(x) 〈0 得到 x〈e-3 ∴函数 f(x)=2x+xlnx 的增区间为(e ,+∞) ,减区间为(0,e ). (2)当 x>1 时,x﹣1>0,故不等式 k(x﹣1)<f(x)?k< 即 对任意 x>1 恒成立. ,
-3 -3







令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) , 则 在(1,+∞)上单增.

∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4)使 h(x0)=0, 即当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0, ∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增. 令 h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即 lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4) , ∴k<g(x)min=x0 且 k∈Z, 即 kmax=3.


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