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第二节 导数与函数的单调性、极值与最值


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第二节

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导数与函数的单调性、极值与最值

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教材研读
?
1.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导,则 (1)若f ' (x)>0,则f(x)在这个区间内① 单调递增 ; (2)若f ' (x)<0,则f(x)在这个区间内② 单调递减 ;

(3)若f '(x)=0,则f(x)在这个区间内是③ 常数函数 .

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2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ④ 都小 , f '(a)=0,而且在点x=a附近的左侧⑤
f '(x)<0

,右侧

⑥ f ' (x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ⑦ 都大 , f '(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑧ f '(x)>0 和? 极小值 统称为极值. ,右侧 ⑨ f ' (x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值, ⑩ 极大值

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3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么 它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的? 极值 ; (ii)将函数y=f(x)的各极值与? 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

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1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f '(x)的图象如图所示,则函数f(x)? (

)

?
A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点

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? 答案

C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.

当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数, 当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点, x=x2,x=x4为极小值点,故选C.

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2.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是? ( A.(-∞,1]
? 答案

) D.(0,+∞)

B.[1,+∞)
2 x

C.(-∞,0]

x D ∵f(x)=ex-x,∴f '(x)=ex-1,由 f '( x )>0, 得 e -1>0,即x>0. cc

3.设函数f(x)=? +ln x,则? ( A.x=? 为f(x)的极大值点
1 2

) B.x=? 为f(x)的极小值点
1 2

C.x=2为f(x)的极大值点
?

D.x=2为f(x)的极小值点
2 x
1 x

答案 D f(x)=? +ln x, f '(x)=-? =? 2 ,当x>2时, f '(x)>0,此时f(x)为增 2 +?
cc

2 x

x?2 x

函数;当x<2时,f '(x)<0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极小值点.

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4.函数y=xex的最小值是? ( A.-1 C.-?
? 答案

)

B.-e D.不存在 C ∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)ex.当x>-1时,y'>0;当x<-1时,y'<0.∴当x
1 e
cc

1 e

=-1时函数取得最小值,且ymin=-? .故选C. 5.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是
? 答案

.

3

? 解析

f '(x)=3x2-a,由题意知在[1,+∞)上, f '(x)≥0,即a≤3x2,又x∈[1,+∞)

时,3x2≥3,∴a≤3,即a的最大值是3. cc

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考点突破
?
利用导数判断(或证明)函数的单调性
4 3

典例1 (2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-? 处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
? 解析

(1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x,

4 ? 4? 因为f(x)在x=-? 处取得极值,所以f '? ? ? ? =0, 3 ? 3? 16 1 ? 4 ? 16a 8 即3a· ? +2· ? = ? ? =0, 解得 a = ? . ? ? ? 3 9 2 cc ? ? 3 3 ?1 3 2? x (2)由(1)得g(x)=? x ? x ? ?e , 2 ? ?
?3 2 ? ex+? ?1 3 2 ? ex 故g'(x)=? ? x ? 2x ? ? x ?x ? ?2 ?

?2

?

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? 3 ? x 2 =? ? x ? x ? 2x ?e 1 5 2 ?2 ? 1 =? x(x+1)(x+4)ex. 2

令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)为减函数; 当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数; 当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数; 当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.

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用导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: ①求f '(x). ②确定f '(x)在(a,b)内的符号. ③作出结论:f '(x)>0时为增函数;f '(x)<0时为减函数. [提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集 的影响进行分类讨论.

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1-1 若函数g(x)=ln x+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平 行. (1)确定a与b的关系; (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.
? 解析

(1)因为g(x)=ln x+ax2+bx,
1 x

所以g'(x)=? +2ax+b. 由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得g'(1)=1+2a+b=0, 所以b=-2a-1. (2)由(1)得
(2ax ? 1)( x ? 1) . 2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 =? g'(x)=?
x
cc

x

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易知函数g(x)的定义域为(0,+∞), 当a=0时,g'(x)=-? . 由g'(x)>0得0<x<1,由g'(x)<0得x>1, 即函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; 当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=?, 若?<1,即a>? ,则由g'(x)>0得x>1或0<x<?,
1 2a ? 1 ? ? 1 ? 即函数g(x)在? ,(1,+ ∞ ) 上单调递增 , 在 ? 0, ? ,1 ? 上单调递减; ? ? ? 2a ? ? 2a ? 1 1 1 1 若?>1,即0<a<? ,则由g'(x)>0得x>?或0<x<1,由g'(x)<0得1<x<?, 2a 2a 2a 2 1 2a 1 2a

x ?1 x

1 2

1 2a

由g'(x)<0得?<x<1,

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即函数g(x)在(0,1),? ? , ?? ? 上单调递增,在? ?1, ? 上单调递减; 2a 2a
1 1 若?=1,即a=? ,则在(0,+∞)上恒有g'(x)≥0, 2a 2

? 1 ?

? ?

? ?

1 ? ?

即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可得:当a=0时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
1 ? 1 ? ? 1 ? 当0<a<? 时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在? 上单调递减 , 在 ? 1, ? , ?? ? 上 ? ? 2
? 2a ?
? 2a ?

单调递增;
1 2 1 ? 1 ? ? 1 ? 当a>? 时,函数g(x)在? 上单调递增 , 在 ? 0, ? ,1 ? 上单调递减,在(1,+∞)上 ? ? 2 a 2 ? 2a ? ? ?

当a=? 时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增;

单调递增.

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?

利用导数求函数的单调区间
x 4 a x

典例2 已知函数f(x)=? +? -ln x-? ,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的 切线垂直于直线y=? x.
1 2

3 2

(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
?

解析

1 a 1 (1)对f(x)求导得f '(x)=? -?-? , 4 x2 x
cc

由曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=? x,
3 得f '(1)=-? -a=-2, 4 5 解得a=? . 4

1 2

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x2 ? 4x ? 5 x 5 3 (2)由(1)知f(x)=? +?-ln x-? ,则f '(x)=? 2 , 4x 4 4x 2

令f '(x)=0,解得x=-1或x=5. 因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x∈(0,5)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时, f '(x)>0,故f (x)在(5,+∞)内为增函数.

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利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求导数y'=f '(x);
(3)解不等式f '(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;

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(4)解不等式f '(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y'=f '(x),令f '(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;

(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由
小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小 区间; (4)确定f '(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的 单调性.

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2-1 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
? 解析

(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.

因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)=g (1),且f '(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3.
cc

(2)记h(x)=f(x)+g(x).
1 a2时,h(x)=x3+ax2+? 1 a2x+1, 当b=? 4 4

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1 2 h'(x)=3x +2ax+? a. 4 a a 令h'(x)=0,得x1=-? ,x2=-? . 2 6
2

∵a>0,∴h(x)与h'(x)的情况如下: x h'(x) h(x) ? -∞a ,-?? -? 2 2 + ↗
? ?
a

a a ? -a ? ,? ? ? 6 2 6

? -a ? ,+∞? 6 + ↗

0


a? ?

0

? , ?? ? ;单调递减区间为 ∴函数h(x)的单调递增区间为? ? ??, ? ? 和? ? 2 6

? a ?

? ?

? a a ?. ? ?? ,? ? ? 2 6?

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?

利用导数求函数的极值与最值
ax (a>0,r>0). ( x ? r )2

典例3 (2015安徽,21,13分)已知函数f(x)=? (1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性; (2)若? =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
? 解析

a r

(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).

ax ax = ? , 2 2 2 ( x ? r ) x ? 2rx ? r a ( x 2 ? 2rx ? r 2 ) ? ax (2 x ? 2r ) a(r ? x)( x ? r ) cc f '(x)= = ? , 2 2 2 4 ( x ? 2rx ? r ) (x ? r)

f(x)=?

?

所以当x<-r或x>r时, f '(x)<0,当-r<x<r时, f '(x)>0. 因此, f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞); f(x)的单调递增区间为(-r,r).

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(2)由(1)的解答可知f '(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因 此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)=? 2 =?=? =100.
ar (2r )
a 4r

400 4

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1.求函数极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求方程f '(x)=0的根; (3)由根两侧的导数符号来判断f(x)在这个根处是否取极值. 2.求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值与最小值的步骤: (1)确定函数f(x)在闭区间[a,b]内连续、可导; (2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;

(3)求函数f(x)在[a,b]端点处的函数值f(a), f(b);
(4)比较函数f(x)的各极值与f(a), f(b)的大小,其中最大的是最大值,最小的是 最小值.

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3-1 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
1 ? 解析 (1)f '(x)=? -a(x>0), x 1 ①当a≤0时, f '(x)=? -a>0(x>0),即函数f(x)的单调增区间为(0,+∞). x 1 1 ②当a>0时,令f '(x)=? -a=0,可得x=? . x a cc 1 1 1 ? ax 1 ? ax 当0<x<? 时, f '(x)=? >0;当x>? 时, f '(x)=? <0,故函数f(x)的单调增区 a a x x ? 1? ?1 ?. 间为? , ?? ? 0, ? ,单调减区间为? ? ? ? a? ?a ?

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1 (2)①当? ≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值 a

是f(2)=ln 2-2a. ②当? ≥2,即0<a≤? 时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值 是f(1)=-a.
1 1 ? 1? ?1 ? 1, ③当1<? <2,即? <a<1时,函数f(x)在? 上是增函数 , 在 ? ? ? ? , 2 ? 上是减函数.又 a 1 a

1 2

2

? a?

?a

?

f(2)-f(1)=ln 2-a,所以当? <a<ln 2时,最小值是f(1)=-a;当ln 2≤a<1时,最小值

1 2

为f(2)=ln 2-2a.
综上,当0<a<ln 2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为-a; 当a≥ln 2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为ln 2-2a.

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?

已知函数的单调性、极值或最值求参数
a b

典例4 (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则? 的值为
?(

)
2 3

A.-? C.-2或-?
2 3

B.-2 D.不存在

(2)已知函数f(x)=x3-ax-1,若f(x)在R上为增函数,则实数a的取值范围为 .
? 答案 ? 解析

(1)C (2)(-∞,0] (1)∵f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a,∴f '(x)=3x2+2ax+b,由题意知f '(1)=3+2a+
cc

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b=0,∴b=-3-2a①,又f(1)=1+a+b-a2-7a=10②,将①代入②整理得a2+8a+12=0, 解得a=-2或a=-6.当a=-2时,b=1;当a=-6时,b=9.∴? =-2或? =-? ,故选C. (2)因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以f '(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立. 因为3x2≥0,所以只需a≤0. 又因为a=0时,f '(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,即a的取值范
a b a b

2 3

围为(-∞,0].

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1.已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理,y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单 调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题,利用“若函数单调递增,则f '(x)≥0;若函数 单调递减,则f '(x)≤0”来求解. 2.已知函数的极值或最值求参数,一般先用参数表示极值或最值,然后列方 程求解参数.

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4-1 在本例(2)中,若f(x)在(1,+∞)上为增函数,如何求解?
? 解析

因为f '(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,

所以f '(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,
cc

所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3. 即a的取值范围为(-∞,3].
?
? 解析

4-2 在本例(2)中,若f(x)的单调递减区间为(-1,1),如何求解? 由例题可知,
? ? 3a 3a ? , ?, 3 3 ? cc

f(x)的单调递减区间为? ??
3a =1,即a=3. ∴? 3

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?
? 解析

4-3 在本例(2)中,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,如何求解? ∵f(x)=x3-ax-1,∴f '(x)=3x2-a.
3a 3

由f '(x)=0,得x=±? (a≥0). ∵f(x)在区间(-1,1)上不单调, ∴0<? <1,得0<a<3, 即a的取值范围为(0,3).
3a 3
cc


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