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高中数学立体几何常考证明题汇总


立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 证明:在 ?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB, AD 的中点∴ EH // BD, EH ? 同理, FG // BD, FG ? (2) 90° 30 ° 1 BD 2 1 BD ∴ EH // FG, EH ? FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2 考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: (1) BC ? AC ? ? ? CE ? AB AE ? BE ? 同理, AD ? BD ? ? ? DE ? AB AE ? BE ? ∴ AB ? 平面 CDE 又∵ CE ? DE ? E (2)由(1)有 AB ? 平面 CDE 又∵ AB ? 平面 ABC , ∴平面 CDE ? 平面 ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 E 是 AA1 的中点, 3、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, BDE 。 求证: AC 1 // 平面 证明:连接 AC 交 BD 于 O ,连接 EO , ∵ E 为 AA1 的中点, O 为 AC 的中点 ∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // AC 1 BDE 外 又 EO 在平面 BDE 内, AC 1 在平面 BDE 。 ∴ AC 1 // 平面 考点:线面平行的判定 4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . ? 证明:∵?ACB ? 90 ° ? BC ? AC ? S A? B C 又 SA ? 面 ABC ? BC ? 面 SAC ? BC ? AD 又 SC ? AD, SC ? BC ? C ? AD ? 面 SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明: (1)连结 AC 1 1 ,设 AC 1 1 ?B 1D 1 ?O 1 ,连结 AO 1 ∵ ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体 ∴A1C1∥AC 且 AC 1 1 ? AC ? A1 ACC1 是平行四边形 又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,∴O1C1∥AO 且 O1C1 ? AO ? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O∥AO1, AO1 ? 面 AB D , C O ? 面 AB D ∴C O∥面 AB D 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1 ?C C 1 ? B 1 D ! ∵ AC ? B D 1 1 1 1 , ?B D ? 面 A C C 又 即A1 C? B 1 1 1 1 1 D 1 AC ? AD D B ? AD ? D 1 1 1 1 1 1 同理可证 , 又 ? 面 AB1D1 ? AC 1 考点:线面平行的判定(利用

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