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高中数学 (2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用)示范教案 新人教A版必修5


2.5 2.5.1

等比数列的前 n 项和

等比数列前 n 项和公式的推导与应用

从容说课 师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法” 为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到 化简的目的 等比数列前 n 项和公式的推导还有许多方法,可启发、引导学生进行探索.例如,根据 等比数列的定义可得

an a a a ? n?1 ? ... ? 3 ? 2 ? q an?1 an?2 a2 a1
a ?a q S n ? a1 ? q ,整理得 S n ? 1 n (q ? 1) 1? q S n ? an

再由分式性质,得

教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导 2.等比数列前 n 项和公式的应用 教学难点 等比数列前 n 项和公式的推导 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题; 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式; 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一; 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动 三、情感态度与价值观 1.通过生活中有趣的实例, 鼓励学生积极思考, 激发学生对知识的探究精神和严肃认真 的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; 2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法; 3.通过对有关实际问题的解决, 体现数学与实际生活的密切联系, 激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗? 生 知道一些,踊跃发言 师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒,第二个格子里放上 2 颗麦粒,第三个格子里放上 4 颗麦粒,以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个 格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求 师 假定千粒麦子的质量为 40 g,按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能 满足他的要求? 生 各持己见.动笔,列式,计算

1

生 能列出式子:麦粒的总数为 2 63 1+2+2 +?+2 师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下. 课件展示: 2 63 1+2+2 +?+2 =? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列, 那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项 是 1,公比是 2,求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前 64 项的和 现在我们来思考一下这个式子的计算方法: 2 3 63 记 S=1+2+2 +2 +?+2 ,式中有 64 项,后项与前项的比为公比 2,当每一项都乘以 2 后,中 间有 62 项是对应相等的,作差可以相互抵消. 课件展示: 2 3 63 S=1+2+2 +2 +?+2 2 3 63 64 2S=2+2 +2 +?+2 +2 ②-①得 64 2S-S=2 64 19 2 -1 这个数很大,超过了 1.84×10 ,假定千粒麦子的质量为 40 g,那么麦粒的总质量超 过了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是 他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所 要探究的知识 推进新课 [合作探究] 2 n 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q +?+q =? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究. 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢? 2 n n+1 生 q+q +?+q +q 生 每一项就成了它后面相邻的一项 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗? 师 生共同探索: 2 n 如果记 Sn=1+q+q +?+q 2 n n+1 那么 qSn=q+q +?+q +q n 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-q 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值 生 如果 q≠1,则有 S ?

1? qn 1? q

师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果 生 如果 q=1,那么 Sn=n 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形, 那么, 对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示: a1+a2+a3+?+an=? [教师精讲]

2

师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就 是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法 如果记 Sn=a1+a2+a3+?+an 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+?+an 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-an 师 再次提醒学生注意 q 的取值 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 ? an q 1? q

师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程: 2 n-1 如果记 Sn=a1+a1q+a1q +?+a1q 2 n-1 n 那么 qSn=a1q+a1q +?+a1q +a1q n 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1q 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出 现的是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余 地. 值得重视的是:上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比 数列的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流 生 如果 q=1,Sn=na1 师 完全正确 如果 q=1,那么 Sn=nan.正确吗?怎么解释? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍 师 对了,这就是认清了问题的本质 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究] 思路一:根据等比数列的定义,我们有:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q a1 a2 a3 an?1

再由合比定理,则得

a2 ? a3 ? a4 ? ... ? an ?q a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1



S n ? a1 ?q S n ? an

从而就有(1-q)Sn=a1-an (以下从略 思路二:由 Sn=a1+a2+a3+?+an 得

3

Sn=a1+a1q+a2q+?+a n-1q=a1+q(a1+a2+?+a n-1)=a1+q(Sn-an 从而得(1-q)Sn=a1-an (以下从略 师 探究中我们们应该发现,Sn-S n- =an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视. 在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件? 生 n> 师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n> 师 综合上面的探究过程,我们得出:

?na1 , q ? 1, ?na1 , q ? 1, ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) 或者 ? a1 ? an q q ? 1 , q ? 1 ? 1? q ? 1? q , ? ?
[例题剖析] 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:

1 1 1 , , ,?; 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q< 243
(1) [合作探究] 师生共同分析:

1 1 , q ? ,求 n=8 时的和,直接用公式即可 2 2 1 由 (2) 所给条件,需要从 a 9 ? 中获取求和的条件,才能进一步求 n = 8 时的和 . 而 243
由(1)所给条件,可得 a1 ?

a9=a1q8,所以由条件可得 q8=
公式就可以了 生 写出解答:

a9 1 1 = ,再由 q<0,可得 q ? ? ,将所得的值代入 3 a1 243 ? 27

1 1 [1 ? ( ) 8 1 1 2 ? 255 (1)因为 a1 ? , q ? ,所以当 n=8 时, S 8 ? 2 1 2 2 256 1? 2
(2)由 a1=27, a 9 ?

a 1 1 8 ,可得 q ? 9 ? , 243 a1 243? 27

1 3 1 1 (1 ? ) 243? 27 ? 1640 于是当 n=8 时, S 8 ? 27 1 81 1 ? (? ) 3
又由 q<0,可得 q ? ? 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增 加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)?

4

师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题 生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算 解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn 于是得到

5000 (1 ? 1.1n ) ? 30000 1 ? 1.1
n

整理得 1.1 两边取对数,得 n 用计算器算得 n ?

0 .2 lg1.6 ≈ ≈5(年 lg1.1 0.041

答:大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台 练习: 教材第 66 页,练习第 1、2、3 题 课堂小结 本节学习了如下内容: 1.等比数列前 n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量,一般需要 知道其中的 3 个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用 中应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式 在使用等比数列求和公式时, 注意 q 的取值是至关重要的一个环节, 需要放在第一位来思考. 布置作业 课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题 板书设计 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 等比数列的前 n 项和公式 情境问题的推导 一般情形的推导 练习:(学生板演) 例1 例2 练习:(学生板演)

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