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2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)(b5)


鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 班级 姓名 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 学习 目标 重点 难点 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 引进向量的数量积以后,考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量 a、 b 的数量积 a· b 虽与代数中数 a、b 的乘积 ab 形式相似,实质差别很大.实数 b =0 中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.例如,a· b=b· c a=c; (a· b)·c=a·(b· c)也未必成立. 不能推出 a=0 或 b=0;a· 【向量的数量积(内积)】 _______________叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作 a· b.即 a· b=__ ___. _________叫做向量 a 在 b 方向上的投影,_________叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 【向量数量积运算律的提出】 问题 1 类比实数的运算律,向量的数量积是否具有类似的特征?先写出类比后的结论, 再判断正误(完成下表): 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 结合律 分配律 消去律 ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc ab=bc(b≠0) ?a=c 问题 2 在上述类比得到的结论中,对向量数量积不再成立的有哪些?各举一反例说明. (a· b)c=a(b· c)不成立,因为(a· b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b· c)表示一个与 a 共线 的向量,c 与 a 不一定共线,所以(a· b)c=a(b· c),一般情况下不会成立. a· b=b· c(b≠0)?a=c 不成立,如图所示 【向量数量积的运算律】 已知向量 a,b,c 和实数 λ,向量的数量积满足下列运算律: ①a· b=b· a(交换律); ②(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(数乘结合律); ③(a+b)· c=a· c+b· c(分配律). 问题 1 证明 a· b=b· a. 1 鸡西市第十九中学高一数学组 问题 2 证明(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb). (提示:分 λ=0,λ>0,λ<0 三种情况讨论) 问题 3 请你尝试证明分配律(a+b)· c=a· c+b· c. 【小结】设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. (1)a· e=e· a=_____________;(2)a⊥b?a· b=__且 a· b=__?a⊥b; (3)a· a=___或|a|=______;(4)cos〈a,b〉=______;(5)|a· b|_____|a||b|. 【平面向量数量积的运算性质】 实数中,某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立,请你根据 下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 表中的结论可以用作公式使用: 例如, 若向量 a、 b、 c 满足 a+b+c=0 且|a|=3, |b|=1, |c|=4, 则 a· b+b· c+c· a=________. 例 1 给出下列结论:①若 a≠0,a· b=0,则 b=0;②若 a· b=b· c,则 a=c;③(a· b)

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