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排列组合问题的几种基本方法(复习归纳)


排列组合问题
1. 分组(堆)问题 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;(④有序 不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除 以 m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 1. 分组(堆)问题 例 1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆” ,有
2 1 1

C 4 C 2C1 A2
2

? 6

种分法; ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有 3!=6 种给法. ∴共有 6×6=36 种不同的发包方式. 2.插空法: 解决一些不相邻问题时,可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 例 2 . 7 人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行:
5

有 A5 = 1 2 0 种 排 法
第 1 步,把除甲乙外的一般人排列: 第 2 步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔):

有 A6 = 3 0 种 插 入 法

2

几个元素不能相邻时,先排一般元素, 再让特殊元素插孔.

? 共 有 1 2 0 ? 3 0= 3 6 0 0 种 排 法
? 有

?P

6 6

? P5

5

P2

2

?种不同的排法

3.捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的排法,即将相邻的元素局部排列当成“一 个”元素,然后再进行整体排列. 例 3 . 6 人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?

♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀ 解: (1)分两步进行: 甲 乙 第一步,把甲乙排列(捆绑):

有 A2= 2 种 捆 法
第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:

2

有 A5 = 1 2 0 种 排 法
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素,再与其它的进行排列.

5

? 共 有 2 ? 1 2 0= 2 4 0 种 排 法
? 有

?P

6 6

? P5

5

P2

2

?种不同的排法

4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再消去这几个元素的顺序.或者,先让其 它元素选取位置排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例 4. 5 个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少种站法?

A5

5

种站法, 解法 1:将 5 个人依次站成一排,有

A2

2

然后再消去甲乙之间的顺序数

A5

5 2

A2

? 5 ? 4 ? 3 ? A5

3

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 解法 2:先让甲乙之外的三人从 5 个位置选出 3 个站好,有

A5

3

种站法,留下的两个位置自然给甲乙有 1 种站法

A5 ? 1 ? A5

3

3

∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 4.消序法(留空法) 解: 如图所示 变式:如下图所示,有 5 横 8 竖构成的方格图,从 A 到 B 只能上行或右行共有多少条不同的 路线?

B

A

也 可 以 看 作 是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定 的排列,有 种排法.

A1 1
4

11 7

A4 ? A7

B

A
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11 格: → 1 ↑ ① → 2 ↑ ② ↑ ③ → 3 → 4 → 5 ↑ ④ → 6 → 7

其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
5 ?1

C ( 5 ? 1) ? ( 8 ? 1) ? C 1 1
所以从 A 到 B 共有 条不同的路径. 5.剪截法(隔板法) : n 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价 于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 例 5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学班, 每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把 16 个相同小球放入 4 个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问 题.

4

C 15 ? 4 5 5

3

将 16 个小球串成一串,截为 4 段有 种截断法,对应放到 4 个盒子里. 因此,不同的分配方案共有 455 种 . 5.剪截法: n 个 相同小球放入 m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价 于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1 个结点剪截成 m 段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把 16 个选手名额分配到高三年级的 1-4 个教学 班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给 2 班 1 个,3 班 2 个,4 班 3 个,再把余下的 10 个相同小球放入 4 个 盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.

C9 ? 84
将 10 个小球串成一串,截为 4 段有 种截断法,对应放到 4 个盒子里. 因此,不同的分配方案共有 84 种 . 6.错位法: 编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球 与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当 n=2,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44. 例 6. 编号为 1 至 6 的 6 个小球放入编号为 1 至 6 的 6 个盒子里,每个盒子放一个小球,其 中恰有 2 个小球与盒子的编号相同的放法有____种. 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有

3

C 6 ? 15
种,其余 4 组球与盒子需错位排列有 9 种放法. 故所求方法有 15×9=135 种. 7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系, 从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍. 例 7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、 B、 C, 所得的经过坐标原点的直线有_________条.

2

A7 ? 2 1 0
解:所有这样的直线共有 条,

3

A6 ? A6 ? 1 8 0
其中不过原点的直线有 ∴所得的经过坐标原点的直线有 210-180=30 条. 巩固练习 条,

1

2

1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( ) A. 3
B
4

B. 4 3

C. A 4

3

D. C 4

3

2. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 植,不同的种植方法共有( ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种
B 巩固练习

3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( ) A. C 12 C 8 C 4 种 C. C 12 C 8 A 3 种
4 4 3 4 4 4

B.3 C 12 C 8 C 4 种 D.
C 12 C 8 C 4 A3
3 4 4 4

4

4

4



A 4. 5 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是( A.6 B.12 C.72 D.144 C




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