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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(4)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
广东 许少华

一、选择题
1、函数 y ? x 在区间 [1,2] 上的平均变化率为(
2

) (D) 5

(A) 2 答案: (B)
3

(B) 3

(B) 4

2 曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( (A)



8 3

(B)

7 3

(C)

5 3


(D)

4 3

答案: (A) ; 3、已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( (A)

1 e

(B) ?

1 e

(C)

2 e

(D) ?

2 e


答案: (A) 4、设 1, a ? bi, b ? ai 是一等比数列的连续三项,则 a, b 的值分别为( (A) a ? ?

3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2

(B) a ? ?

1 3 ,b ? 2 2

(C) a ? ?

(D) a ? ?

1 3 ,b ? ? 2 2

? 3 ? a 2 ? b 2 ? b ?a ? ? 2 ? 2 ?? 答案: (C) ;由 (b ? ai) ? a ? bi ? ? ?2ab ? a ?b ? 1 ? 2 ?
5、方程 x ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0(a ? R) 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则 z ? (
2



(A) 2 ? 2i

(B) 2 ? 2i

(C) ? 2 ? 2i

(D) ? 2 ? 2i

?b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ?b ? ?2 ?? 答案: (A) ;由 ? ,则 z ? 2 ? 2i ?a ? 2 ?b ? a ? 0
6、已知三角形的三边分别为 a, b, c ,内切圆的半径为 r ,则三角形的面积为 s ?

1 (a 2

? b ? c)r ;四面体的四个面的面积分别为 s1 , s 2 , s3 , s 4 ,内切球的半径为 R 。类比三角形的
面积可得四面体的体积为( )

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 2 1 (C) V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 4
(A) V ? 答案: (B)

(B) V ?

1 ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R 3

(D) V ? ( s1 ? s 2 ? s3 ? s 4 ) R

7、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,? 的第 50 项是( (A) 8 答案: (C) (B) 9 (C) 10

) (D) 11

8、在证明 f ( x) ? 2 x ? 1 为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前 提;②增函数的定义是小前提;③函数 f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是小前提;④函数

f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是(
(A)①② 答案: (C) (B)②④ (C)①③

) (D)②③

9、若 a, b ? R ,则复数 (a ? 4a ? 5) ? (?b ? 2b ? 6)i 表示的点在(
2 2



(A)在第一象限 (C)在第三象限
2 2

(B)在第二象限 (D)在第四象限
2 2

答案: (D) ;由 a ? 4a ? 5 ? (a ? 2) ? 1 ? 0 , ? b ? 2b ? 6 ? ?(b ? 1) ? 5 ? 0 ,知 在第四象限; 10、用数学归纳法证明不等式“

由 n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边( (A)增加了一项

1 1 1 13 ? ??? ? (n ? 2) ”时的过程中, n ?1 n ? 2 2n 24
) (B)增加了两项

1 2( k ? 1)

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

(C)增加了两项

1 1 1 ,又减少了 ; ? 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1

(D)增加了一项 答案: (C) ;

1 1 ,又减少了一项 ; 2( k ? 1) k ?1
3 2

11、如图是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致 图象,则 x1 ? x 2 等于(
2 2

) (B)

(A)

2 3

4 3

(C)

8 3

(D)

12 3

答案: (C) ;提示,由图象过 (0,0), (1,0), (2,0) 知 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) 经比较可得

? x1 ? x 2 ? 2 ? b ? ?3, c ? 2, d ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 3x ? 2 x ,由 f ( x) ? 3x ? 6 x ? 2 得 ? 2 ; x1 x 2 ? ? 3 ?
3 2 / 2

12、 对于函数 f ( x) ? x ? 3x , 给出下列四个命题: f (x) 是增函数, ① 无极值; f (x) ②
3 2

是减函数,有极值;③ f (x) 在区间 (??,0] 及 [2,??) 上是增函数;④ f (x) 有极大值为 0 , 极小值 ? 4 ;其中正确命题的个数为( (A) 1 (B) 2 ) (C) 3 (D) 4

答案: (B) ;其中命题③与命题④是正确的。

二、填空题
13、函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间 [?3,0] 上的最大值与最小值分别为:
3

答案: 3,?17 ; 14、若 z1 ? 1 ? 3i , z 2 ? 6 ? 8i ,且 答案: z ?

1 1 1 ,则 z 的值为 ? ? z z1 z 2



1 1 3 4 22 ? i ? i ;提示,由 z1 ? 1 ? 3i ,得 ? z1 10 10 5 5
1 3 4 1 1 1 2 ? 11i ? ? i ,那么 ? ? ?? z 2 50 50 z z 2 z1 50

又由 z 2 ? 6 ? 8i ,得

15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 a n 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以 是 . 答案: a n ? 2n ? 1 16、物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 2t ? 1 ( v 的单位是 m / s , t 的单 位是 s ) ,物体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 1? 8t ,两个物体在相距为 405 m 的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时,A 物体的运动路程为: 答案: 72 m ;提示,设运动 ts 时两物体相遇,那么 ( 2t ? 1) dt ? (1 ? 8t )dt ? 405
0 0

?

t

?

t

得 t ? 9 ,由于 (2t ? 1) dt ? 72 ,得相遇时 A 物体运动 72 m ;
0

?

9

三、解答题
17、已知复数 z1 , z 2 满足 10 z1 ? 5 z 2 ? 2 z1 z 2 ,且 z1 ? 2z 2 为纯虚数,求证:3 z1 ? z 2 为
2 2

实数 证明:由 10 z1 ? 5 z 2 ? 2 z1 z 2 ,得 10 z1 ? 2 z1 z 2 ? 5 z 2 ? 0 ,
2 2 2 2

即 (3z1 ? z 2 ) ? ( z1 ? 2 z 2 ) ? 0 ,那么 (3z1 ? z 2 ) ? ?( z1 ? 2 z 2 ) ? [( z1 ? 2 z 2 )i]
2 2 2 2

2

由于, z1 ? 2z 2 为纯虚数,可设 z1 ? 2 z 2 ? bi(b ? R且b ? 0) 所以 (3z1 ? z 2 ) ? b ,从而 3z1 ? z 2 ? ?b
2 2

故 3 z1 ? z 2 为实数 18、求由 y ? sin x 与直线 y ?

2 2x 所围成图形的面积 3?

3? ? ? y ? sin x ?x ? ? 4 ? ? 解:由 ? 或 2 2x ? ? ?y ? ?y ? ? 2 ? ? ? 2 ?
3? ? x? ?x ? 0 ? 3? 4 ? 或? ,本题的图形由两部分构成,首先计出 [? ,0] 上的面积,再计算出 ? 4 2 ?y ? 0 ? ?y ? 2 ?

[0,

3? ] 上的面积,然后两者相加即可;于是 4
2 2x 2 2x 2x 2 S? ? ( ? sin x )dx ? ? (sin x ? )dx ? ( ? cos x) ? (? cos x ? 3? 3? 3? 3? 3? 0 ?
? 4 4 0 3? 4 0

3?

2 x 2 4 16 ? (8 ? 3 2? ) ) ? 3? 0 8
19、用总长 14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另 以一边长多 0.5m 那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积. 解 : 设 该 容 器 低 面 矩 形 边 长 为 xm , 则 另 一 边 长 为 ( x ? 0.5)m , 此 容 器 的 高 为

h?

14.8 ? x ? ( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2 x , 4
于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ? 2 x ? 2.2 x ? 1.6 x ,其中
3 2

0 ? x ? 1.6
由 V ? x) ?6 x ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x 2 ? ? ( ?
2
/

4 (舍去) 15
/

因为, V ( x) 在 (0,1.6) 内只有一个极值点,且 x ? (0,1) 时, V ( x) ? 0 ,函数 V (x) 递 增; x ? (1,1.6) 时, V ( x) ? 0 ,函数 V (x) 递减;
/

所以,当 x ? 1时,函数 V (x) 有最大值 V (1) ? 1 ? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ? 1) ? 1.8m 即当高为 1.2m 时, 长方体容器的容积最大,最大容积为 1.8米 .
3

3

20、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e .
2 x

(Ⅰ)当 x 为何值时, f (x) 取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设 f (x) 在 [?1,1] 上是单调函数,求 a 的取值范围 解析: (1)略 (2)由 f ( x) ? (2 x ? 2a)e ? ( x ? 2ax)e ? e [ x ? 2(1 ? a) x ? 2a]
/ x 2 x x 2 2 / 令 f ( x) ? 0 ,即 x ? 2(1 ? a) x ? 2a ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 ? 1 ? a , x2 ? a ? 1 ?
2

1 ? a 2 ,其中 x1 ? x2
当 x 变化时, f ( x) 、 f (x) 的变化情况如下表:
/

x

(??, x1 )
?

x1
0 极大值

( x1 , x 2 )
?

x2
0 极小值

( x 2 ,??)
?

f / ( x)

f (x)

当 a ? 0 时, x1 ? ?1, x2 ? 0, f ( x) 在 ( x1 , x 2 ) 上单调递减; 由此可得: f (x) 在 [?1,1] 上是单调函数的充要条件为 x 2 ? 1 ,即 a ? 1 ? 1 ? a ? 1 ,
2

解得 a ?

3 ; 4 3 4

即所求 a 的取值范围为 [ ,?? ) ;

21、若 xi ? 0(i ? 1,2,3,?, n) ,观察下列不等式:

( x1 ? x 2 )(

1 1 1 1 1 ? ) ? 4 , ( x1 ? x 2 ? x3 )( ? ? )?9 , ? , 请 你 猜 测 x1 x 2 x1 x2 x3 1 1 1 ? ? ? ? ) 将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。 x1 x 2 xn 1 1 1 证明如下: ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) , x1 x 2 xn

( x1 ? x 2 ? ? ? x n )(

解: 将满足的不等式为 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )(

10 当 n ? 2 时,结论成立; 2 0 假设 n ? k 时,结论成立,即 ( x1 ? x 2 ? ? ? x k )(
1 1 1 ? ??? ) ? k 2 x1 x 2 xk

那么,当 n ? k ? 1 时, ( x1 ? x 2 ? ? ? x k ? x k ?1 )(

1 1 1 1 ? ??? ? )? x1 x 2 x k x k ?1

( x1 ? x 2 ? ? ? x k )(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? ( x1 ? x 2 ? ? ? x k ) ? ? x k ?1 ( ? ?? x1 x 2 xk x k ?1 x1 x 2

?

1 1 1 1 ) ? 1 ? k 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ? ? ? x k )( ? ? ? ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2 xk x1 x 2 xk
显然,当 n ? k ? 1 时,结论成立。
0 0 由 1 、 2 知对于大于 2 的整数 n , ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )(

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 成立。 x1 x 2 xn


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