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【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:12-2直接证明与间接证明]


第2讲

直接证明与间接证明

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 安阳模拟)若 a<b<0,则下列不等式中成立的是 1 1 A.a<b 1 1 C.b+a>a+b 解析 答案 1 1 B.a+b>b+a b b+1 D.a< a+1 ( ).

(特值法)取 a=-2,b=-1,验证 C 正确. C

2.用反证法证明命题:“已知 a,b∈N,若 ab 可被 5 整除,则 a,b 中至少有 一个能被 5 整除”时,反设正确的是 A.a,b 都不能被 5 整除 B.a,b 都能被 5 整除 C.a,b 中有一个不能被 5 整除 D.a,b 中有一个能被 5 整除 解析 答案 由反证法的定义得,反设即否定结论. A ( ). ( ).

1 a 3.(2014· 上海模拟)“a=4”是“对任意正数 x,均有 x+x ≥1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 1 4 1 当 a=4时,x+x ≥2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

1 4 1 1 x· = 1 ,当且仅当 x = ,即 x = x 4x 2时取等号;

反之,显然不成立. 答案 A

4.(2014· 张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c, 且 a+b+c=0,求证 b2-ac< 3a”索的因应是 A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析 B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 ( ).

由题意知 b2-ac< 3a?b2-ac<3a2

?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案 C

b d 5.(2014· 天津模拟)p= ab+ cd,q= ma+nc· m+n(m,n,a,b,c,d 均 为正数),则 p,q 的大小为 A.p≥q C.p>q 解析 答案 q= B B.p≤q D.不确定 mad nbc ab+ n + m +cd≥ ab+2 abcd+cd= ab+ cd=p. ( ).

二、填空题 b a 6.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使a+b≥2 成立的条件的个数是________. 解析 b a b a 要使a+b≥2,只需a>0 且b>0 成立,即 a,b 不为 0 且同号即可,故

b a ①③④能使a+b≥2 成立. 答案 3

b b+m 7.已知 a,b,m 均为正数,且 a>b,则a与 的大小关系是________. a+m 解析 b b+m ab+bm-ab-am m?b-a? = , a-a+m= a?a+m? a?a+m?

b b+m ∵a,b,m>0,且 a>b,∴b-a<0,∴a< . a+m 答案 b b+m a<a+m

8.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出: “a,b 中至少有一个大于 1”的条件的是________(填上序号). 答案 ①

三、解答题 9.若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: a+b b+c c+a lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c. 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),

a+b b+c a+c ∴ 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ac>0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立. a+b b+c c+a ∴ 2 · 2 · 2 >abc 成立. 上式两边同时取常用对数, ?a+b b+c c+a? 得 lg? · 2 · 2 ?>lg abc, ? 2 ? a+b b+c c+a ∴lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c. 10.(2014· 鹤岗模拟)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 2=S1S3,

2 即 a2 a1· (1+q+q2), 1(1+q) =a1·

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;

当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3,

即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 综上,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列;当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1 1 1 1.(2014· 漳州一模)设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+b,b+c,c+a( A.都大于 2 C.至少有一个不大于 2 解析 ∵a>0,b>0,c>0, B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2 ).

1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ∴?a+b?+?b+ c?+?c+a?=?a+a?+?b+b?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?c+c?≥6,当且仅当 a=b=c=1 时,“=”成立,故三者不能都小于 2,即 ? ? 至少有一个不小于 2. 答案 D

?a+b? ? 2ab ? ?1? ?,B=f( ab),C=f?a+b?, 2.已知函数 f(x)=?2?x,a,b 是正实数,A=f? ? ? ? 2 ? ? ? 则 A,B,C 的大小关系为 A.A≤B≤C C.B≤C≤A 解析 B.A≤C≤B D.C≤B≤A ( ).

a+b 2ab ?a+b? ?1? ? ∵ 2 ≥ ab ≥ ,又 f(x) = ?2? x 在 R 上是减函数,∴ f ? ? ? a+b ? 2 ?

? 2ab ? ≤f( ab)≤f?a+b?. ? ? 答案 A

二、填空题 1 9 3.(2014· 株洲模拟)已知 a,b,μ∈(0,+∞),且a+b=1,则使得 a+b≥μ 恒成 立的 μ 的取值范围是________. 解析 1 9 ∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,

?1 9? ?9a b? ∴a+b=(a+b)?a+b?=10+? b +a?≥10+2 9=16,当且仅当 a=4,b=12 ? ? ? ? 时,等号成立,∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 答案 (0,16]

三、解答题 4.(2013· 江苏卷)设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项 nSn 的和.记 bn= 2 ,n∈N*,其中 c 为实数. n +c (1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0. 证明 由题意得,Sn=na+ n?n-1? 2 d.

n-1 Sn (1)由 c=0,得 bn= n =a+ 2 d. d?2 ? 3 ? ? 又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b2 2=b1b4,即?a+2? =a?a+2d?, ? ? ? ? 化简得 d2-2ad=0. 因为 d≠0,所以 d=2a. 因此,对于所有的 m∈N*,有 Sm=m2a. 从而对于所有的 k,n∈N*,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即 nSn =b +(n-1)d1,n n2+c 1

1 ? ? ∈ N* ,代入 Sn 的表达式,整理得,对于所有的 n ∈ N* ,有 ?d1-2d? n3 + ? ? 1 ? 2 ? ?b1-d1-a+2d?· n +cd1n=c(d1-b1). ? ? 1 1 令 A=d1-2d,B=b1-d1-a+2d, D=c(d1-b1),则对于所有的 n∈N*,有 An3+Bn2+cd1n=D.(*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,

?7A+3B+cd1=0, 从而有?19A+5B+cd1=0, ?37A+7B+cd1=0,

① ② ③

由①②③可得 A=0,B=0,从而 cd1=0. 1 1 即 d1-2d=0,b1-d1-a+2d=0,cd1=0. 1 若 d1=0,则由 d1-2d=0,得 d=0, 与题设矛盾,所以 d1≠0. 又因为 cd1=0,所以 c=0.


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