kl800.com省心范文网

【高考新坐标】高考数学总复习 第二章 第12节 导数与函数的极值、最值课件

固 基 础 自 主 落 实 启 智 慧 第十二节 导数与函数的极值、最值 高 考 研 析 · · · 提 知 能 典 例 探 究 课 后 限 时 自 测 [考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用 导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数不超过三次). 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值 ( 其中多项式函数不超过三 次). 1.函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点: 若函数 f(x)在点 x=a 处的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的 函数值 都小 ,且 f′(a)=0,而且在 x=a 附近的左侧f′(x)<0 ,右 侧 f′(x)>0 ,则 a 点叫函数的极小值点,f(a)叫函数的极小值. (2)函数的极大值与极大值点: 若函数 f(x)在点 x=b 处的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的 函数值 都大 ,且 f′(b)=0,而且在 x=b 附近的左侧 f′(x)>0 ,右 侧 f′(x)<0 ,则 b 点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值.极大 值和极小值统称为极值. ( 2.函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条 连续不断 的曲 线,那么它必有最大值和最小值. (2)求 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的 极值 . ②将函数 y=f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a),f(b) 比较, 其中 最大 的一个是最大值, 最小 的一个是最小值. 1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)函数的极大值一定比极小值大.( ) (2) 对可导函数 f(x) , f ′ (x0) = 0 是 x0 为极值点的充要条 件.( ) (3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极 小值.( ) ) (4)三次函数在 R 上必有极大值和极小值.( [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(教材改编)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导 函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 2121 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 图 2121 [解析] 导函数 f′(x)的图象与 x 轴的交点中, 左侧图象在 x 轴下方,右侧图象在 x 轴上方的只有一个. ∴f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点. [答案] A 3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围为( A.a<-1 或 a>2 C.-1<a<2 ) B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6 [解析] 由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0 在 R 上有两 个不相等的实根, 所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0, 解得 a<-3 或 a>6. [答案] D 4.(2015· 聊城模拟)设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 ) [解析] ∵f(x)=xex, ∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴当 f′(x)≥0 时, 即 ex(1+x)≥0,即 x≥-1, ∴当 x≥-1 时函数 y=f(x)为增函数; 同理可求,当 x<-1 时函数 f(x)为减函数. ∴x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. [答案] D 5.函数 y=x+2cos x ? π ? 在区间?0, 2 ? ? ? ?上的最大值是________. ? [解析] y′=1-2sin x,令 y′=0, ? π? π 又 x∈?0, ?,得 x= , 6 2? ? ? π? ?π π? 则 x∈?0, ?时,y′>0;x∈? , ?时,y′<0, 6? ? ?6 2? 故函数 y=x+2cos x 在 x= 时,取最大值 + 3. 6 6 [答案] π + 3 6 π π 考向 1 利用导数解决函数的极值问题 a 【典例 1】 (2013·福建高考改编)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈ e R,e 为自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于 x 轴, 求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. a a [解] (1)由 f(x )=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e 又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0; x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大 值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 【规律方法】 1.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论,本题易错点是忽 视对参数 a 的讨论而使解答不全面. 2.(1)求函数的极值必须树立定义域优先意识; (2)对于可导函 数 y=f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,且在 x0