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2016届高考数学一轮复习 7.6椭圆(二)练习 理


第六节

椭 圆

(二)

基础自 测 x y 1.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是(C) 2-k 2k-1
2 2

?1 ? A.? ,2? ?2 ?
C.(1,2)

B.(1,+∞)

?1 ? D.? ,1? ?2 ?
2 2

解析:依题意,2k-1>2-k>0,解得 1<k<2.故选 C. x y ?1 ? 2.(2013?湖南郴州模 拟)设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈? ,1?,则实数 k 的 4 k ?2 ? 取值范围是(C) A.(0,3)

? 16? B.?3, ? 3? ?
D.(0,2)

?16 ? C.(0,3)∪? ,+∞? ?3 ?

1 k- 4 16 解析:当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ; 4 k 3 1 4-k 当 0<k<4 时,c= 4-k,由条件知 < <1,解得 0<k<3,故选 C. 4 4 x y 2 2 2 3.过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点作圆 x +y =b 的两条切线,切点分别为 A, a b B ,若∠AOB=90°(O 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为 2 . 2
2 2 2 2 2 2

b 2 c a -b b 1 2 2 解析: ∵∠AOB=90°, ∴∠AOF=45°.∴ = .∴e = 2= 2 =1- 2= , 即 e= . a 2 a a a 2 2 x y 2 2 4.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x +y =4 没有交点,那么过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数是 2. 解析:因为直线 mx+ny=4 与圆 x +y =4 没有交点,所以
2 2 2 2 2 2

|4| m +n
2 2

>2,所以 m +n <4.

2

2

x y 所以点 P(m,n)在椭圆 + =1 内部.所以交点个数为 2 个. 9 4

1

高考方向 1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题的 热点. 2.常与直线、向量、三角等知识交汇考查,考查学生分析问题、解决问题的能力. 3.三种题型都有可能出现,选择、填空题一般为中低档题、解答题为高档题.

品 味 高 考 x y 3a 1.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点, a b 2 △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为(C) A. 1 2 2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5
2 2

3a 解析:设直线 x= 与 x 轴交于点 D,∵△F2PF1 是底角为 30°的 2 等腰三角形,则有|F2F1|=|F2P|, ∴∠PF1F2=30°. ∴∠PF2D=60°,∠DPF2=30°. 1 1 3a 1 3a c ∴|F2D|= |PF2|= |F1F2|,即 -c= ?2c=c,∴ =2c,即 2 2 2 2 2 a 3 3 = .∴椭圆的离心率为 e= .故选 C . 4 4 x y 2.(2014?江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1, F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b a b >0)的左、右焦点, 顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴 的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. 4 1 (1)若点 C 的坐标为( , ),且 BF2= 2,求椭圆的方程; 3 3 (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解析:设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b +c =a.又 BF2= 2,故 a= 2. 16 1 9 9 4 1 因为点 C( , )在椭圆上,所以 2 + 2=1. 3 3 a b 解得 b =1. x 2 故所求椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上,
2 2 2 2 2 2

2

x y 所以直线 AB 的方程为 + =1. c b x y 2a c + =1, x= ? ? ?c b ? a +c , ? ?x =0, 解方程组? 得? 或? ?y =b. x y b(c -a ) ? + =1, ?y = ? ?a b ? a +c
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2

2a c b(c -a ) 所以点 A 的坐标为( 2 ). 2, 2 2 a +c a +c 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性, 2a c b(a -c ) 可得点 C 的坐标为( 2 ). 2, 2 2 a +c a +c b(a -c ) -0 2 2 2 2 a +c b(a -c ) b 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 直线 AB 的斜率为- , 且 F1C⊥AB, 2 3 , 2a c 3a c+c c 2 2-(-c) a +c b(a -c ) b 所以 2 3 ?(- )=-1. 3a c+c c 1 2 2 2 2 2 2 又 b =a -c ,整理得 a =5c .故 e = . 5 因此 e= 5 . 5
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

高 考 测 验 → → → 1.以 O 为中心,F1,F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则 该椭圆的离心率为(C) 3 2 6 2 5 B. C. D. 3 3 3 5 解析:易知点 M 在 OF2 的垂直平分线上,过 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 N,则点 N 坐标 A. → → → → 2 → 2 → 2 → ?c ? 并设|MF 为? ,0?, 根据勾股定理可知, |MF1| -|NF1| =|MF2| -|NF2 1|=2|MO|=2|MF2|=2t, ?2 ? | ,得到 c=
2

6 3t c 6 t,由|MF1|+|MF2|=2a 得 a= ,则 e= = .故选 C. 2 2 a 3 x y 2+ 2=1(m>0),如图,在平面直角 4m m
2 2

2.已知椭圆 C 的方程为

坐标系,xOy 中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,0),B(0, 1),C(2,1). (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若椭圆 C 与△ABC 无公共点,求 m 的取值范围; (3)若椭圆 C 与△ABC 相交于不同的两个点, 分别为 M, N, 求△OMN 面积 S 的最大值. 2 2 2 2 解析:(1)由已知可得 a =4m ,b =m ,

3

c ∴e= = a

c 2= a

2

a -b = 2 a 3 . 2

2

2

3m 3 , 2= 4m 2

2

即椭圆 C 的离心率为

(2)由图可知当椭圆 C 在直线 AB 的左下方或△ABC 在椭圆内时,两者便无公共点. ①当椭圆 C 在直线 AB 的左下方时, x y 将 AB:x+2y-2=0,即 x=2-2y 代入方程 2+ 2=1, 4m m 整理得 8y -8y+4-4m =0, 由Δ <0,即 64-32(4-4m )<0,m>0,解得 0<m< ∴由椭圆的几何性质可知,当 0<m<
2 2 2 2 2

2 , 2

2 时,椭圆 C 在直线 AB 的左下方. 2

②当△ABC 在椭圆内时,当且仅当点 C(2,1)在椭圆内, ∴可得 4 1 2+ 2<1,又因为 m>0 ,∴m> 2. 4m m 2 或 m> 2时,椭圆 C 与△ABC 无公共点. 2

综上所述,当 0<m< (3)由(2)知当

2 <m< 2时,椭圆 C 与△ABC 相交于不同的两个点 M,N. 2
2

x 2 又因为当 m=1 时,椭圆 C 的方程为 +y =1,此时椭圆恰好过点 A,B. 4 ∴①当 2 <m≤1 时,M,N 在线段 AB 上,显然,此时 S≤S△OAB=1,当且仅当 M,N 分别与 2

A,B 重合时等号成立; ②当 1<m< 2时,点 M,N 分别在线段 BC,AC 上, 2 2 易得 M(2 m -1,1),N(2, m -1), ∴S=S 矩形 OACB-S△OBM-S△OAN-S△MNC 1 2 2 2 2 =2- m -1- m -1- (2-2 m -1)(1- m -1) 2 =2-2 m -1-(1- m -1) , 2 2 令 t= m -1,则 0<t<1,所以 S=-t + 1<1. 综上,△OMN 面积 S 的最大值为 1.
2 2 2

课时作业 1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆 的方程为(A) A. C. x y + =1 169 144 x y + =1 169 25
2 2 2 2

B.

x y + =1 144 169
2 2

2

2

x y D. + =1 144 25
2 2 2

解析: 由题意知 a=13,c=5,所以 b =a -c =144.
4

x y 又因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆方程为 + =1.故选 A. 169 144 x y 2.已知 A、B 为椭圆 C: + =1 的长轴的两个端点,P 是椭圆 C 上的动点,且∠APB m+1 m 2π 的最大值是 ,则实数 m 的值是(B) 3 A. 1 3 1 B. 2 C. 3 3 D. 3 2
2 2

2

2

解析:由椭圆知识知,当点 P 位于短轴的端点时,∠APB 取得最大值,根据题意则有 tan π m+1 1 = ? m= . 3 2 m
2 2 x y 3 ? 12? 3.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且点?4, ?在椭圆上,则以椭圆的左、右焦 5? a b 5 ?

点及短轴上的两个顶点为顶点的四边形的周长为(C) A.22 B.24 C.20 D.10 x y 4.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一个端点, a b F 是椭圆的一个焦点.若 AB⊥BF,则该椭圆的离心率为(B) 5+1 5-1 5+1 5-1 B. C. D. 2 2 4 4 解析:依题意△ABF∽△BOF, A. ∴ ∴ BF OF = , AF BF a c 5-1 2 2 2 = ,∴c +ac-a =0,∴e +e-1=0,∵0<e<1,∴e= .故选 B. a+c a 2
2 2 2 2

x y 5.(2013?福建调研)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆 4 3 → → 上的任意一点,则OP?FP的最大值为(C) A.2 B.3 C.6 D.8 → → 2 解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),则OP?FP=(x0,y0)?(x0+1,y0)=x0+ x0+y0. x0 y0 因为 P 为椭圆上一点,所以 + =1. 4 3
2 1 → → ? x0? x0 2 2 所以OP?FP=x0+x0+3?1- ?= +x0+3= (x0+2) +2. 4 4 4 ? ? 2 2 2 2

因为-2≤x0≤2, → → 所以OP?FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. x y 6.已知椭圆 2+ 2 =1(m> 7)上一点 M 到两个焦点的距离分 别是 5 和 3,则该椭圆 m m -7
2 2

5

的离心率为

7 . 4

解析:∵5+3=2m, ∴m=4, c 7 ∴e= = . a 4 x → → 2 7. 设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上.若F1A=5F2B,则点 3 A 的坐标是(0,±1). 解析:设直线 F1A 的反向延长线与椭圆交于点 B′, → → → → 又∵F1A=5F2B,由椭圆的对称性可得F1A=5B′F1. 设 A(x1,y1),B′(x2,y2), 又∵|F1A|= 6? 6? 3 2? 3 2? ,|F1B′|= ?x2+ ? x1+ ? ?, 3 ? 3 ? 2 ? 2 ?
2

6? ? 6? 3 2? 3 2? ? ?x1+ ?=5? 3 ?x2+ ?, 3 2 2 ? ? ? ∴? ? ? ?x1+ 2=5(- 2-x2). 解得 x1=0. ∴点 A 的坐标为(0,±1). 2 8.已知短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆的两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 3 两点,则△ABF2 的周长为 6. 3 2b= 5, ? ? ?c 2 ?a=2, 解析:由题知? = , 解得 ? a 3 5 b= . ? ? ?a =b +c , ? 2
2 2 2

3 由椭圆的定义知△ABF2 的周长为 4a=4? =6. 2 x y 3 1 9.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 的直线 l a b 2 2 与 C 相交于 A,B,|AB|=2 10. (1)求 a,b 的值; 2 2 (2)若动圆(x-m) +y =1 与椭圆 C 和直线 l 都没 有公共点,试求 m 的取值范围. x 解析:(1)依题意,直线 l:y= . 2 不妨设 A(2t,t),B(-2t,-t)(t>0). 由|AB|= 2 10得 20t =40,t= 2, 8 2 ? ?a +b =1, 所以? c a -b 3 ? ?a= a = 2 ,
2 2 2 2 2 2 2

6

消去 y 得 3x -8mx+4m +12=0. 2 2 ? ?(x-m) +y =1, 2 2 2 动圆与椭圆没有公共点,当且仅当Δ =(-8m) -4?3?(4m +12)=16m -144<0 或|m| >5, 解得|m|<3 或|m|>5, x |m| 2 2 动圆(x-m) +y =1 与直线 y= 没有公共点当且仅当 >1,即|m|> 5. 2 5

解得 a=4,b=2. 2 2 x y ? ? + =1, (2)由?16 4

2

2

?|m|<3, ?|m|>5, 解? 或? 得 ?|m|> 5 ?|m|> 5,
m 的取值范围为{m| 5<m<3 或 m>5 或-3<m<- 5或 m<-5}. 2 2 x y 10.如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点, a b B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°.

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 解析:(1)∵|AF1|=|AF2|,∠F1AF2=60°, ∴△F1AF2 为等边三角形, c 1 ∴a=2c,e= = . a 2 (2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m, 在△BF1F2 中, 2 2 2 |BF1| =|BF2| +|F1F2| -2|BF2|?|F1F2|cos 120°, 2 2 2 ∴(2a-m) =m +a +ma, 3 ∴m= a, 5 1 ∴S△AF1B= |F1F2|?|AB|?sin 60°, 2 1 3 3 ∴ a?(a+ a)? =40 3, 2 5 2 ∴a=10,c=5,b=5 3.

7


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