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三角函数复习1


图形的变化——锐角三角函数 1
一.选择题(共 9 小题) 1.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=30°,E 为 AB 上一点且 AE:EB=4:1,EF⊥ AC 于 F,连接 FB,则 tan∠ CFB 的值等于( )

A.

B.

C.

D.

2.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A、B、O 都在格点上,则∠ AOB 的正弦值是(



A.

B.

C.

D.

3.如图,已知 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=4,tanA= ,则 BC 的长是(



A.2

B.8

C.2

D.4 )

4.如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ ABC 的三个顶点均在格点上,则 tanA=(

A.

B.

C.

D.

5.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,sinA= A. B.
2

,则 tanB 的值为(



C.

D.

6.计算 sin 45°+cos30°?tan60°,其结果是(



A.2

B.1

C.

D.

7.在△ ABC 中,若|cosA﹣ |+(1﹣tanB) =0,则∠ C 的度数是( A.45° B.60° C.75° D.105°

2



8.如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一 个智慧三角形三边长的一组是( ) A.1,2,3 B.1,1, C.1,1, D.1,2, 9 在直角三角形 ABC 中,已知∠ C=90°,∠ A=40°,BC=3,则 AC=( A.3sin40° B.3sin50° C.3tan40° D.3tan50° 二.填空题(共 8 小题) )

10.在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,CD=4,AC=6,则 sinB 的值是 _________ . 11.如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,AC=2,BC=1,则 tanA 的值是 _________ .

12.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ ABC 的顶点 都在方格的格点上,则 cosA= _________ .

13.如图,在△ ABC 中,AB=AC=5,BC=8.若∠ BPC= ∠ BAC,则 tan∠ BPC= _________ .

14.网格中的每个小正方形的边长都是 1,△ ABC 每个顶点都在网格的交点处,则 sinA= _________ .

15.cos60°= _________ .

16.△ ABC 中,∠ A、∠ B 都是锐角,若 sinA=

,cosB= ,则∠ C= _________ .

17.在△ ABC 中,如果∠ A、∠ B 满足|tanA﹣1|+(cosB﹣ ) =0,那么∠ C= 三.解答题(共 7 小题)

2

_________ .

18.甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发,甲轮船以每小时 30 海里的速度沿着北偏东 60°的方向航行,乙轮船以每 小时 15 海里的速度沿着正东方向行进,1 小时后,甲船接到命令要与乙船会合,于是甲船改变了行进的速度,沿着 东南方向航行,结果在小岛 C 处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变,求: (1)港口 A 与小岛 C 之间的距离; (2)甲轮船后来的速度.

19.如图,△ ABC 中,AD⊥ BC,垂足是 D,若 BC=14,AD=12,tan∠ BAD= ,求 sinC 的值.

20.如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90°,∠ A=30°,D 是边 AB 上一点,∠ BDC=45°,AD=4,求 BC 的长. (结果保留根 号)

21.如图,在△ ABC 中,CD⊥ AB,垂足为 D.若 AB=12,CD=6,tanA= ,求 sinB+cosB 的值.

22.在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高,∠ C=45°,sinB= ,AD=1.求 BC 的长.

23.如图,在△ ABC 中,BD⊥ AC,AB=6,AC=5 ① 求 BD 和 AD 的长; ② 求 tan∠ C 的值.

,∠ A=30°.

24.如图,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 O)的墙上,当梯子位于 AB 位置时,它与地面所成的角∠ ABO=60°; 当梯子底端向右滑动 1m(即 BD=1m)到达 CD 位置时,它与地面所成的角∠ CDO=51°18′ ,求梯子的长. (参考数据:sin51°18′ ≈0.780,cos51°18′ ≈0.625,tan51°18′ ≈1.248)

图形的变化——锐角三角函数 1
参考答案与试题解析
一.选择题(共 9 小题) 1.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=30°,E 为 AB 上一点且 AE:EB=4:1,EF⊥ AC 于 F,连接 FB,则 tan∠ CFB 的值等于( )

A.

B.

C.

D.

考点: 分析: 可以求解. 解答: ∵ EF⊥ AC, ∴ EF∥ BC, ∴

锐角三角函数的定义. tan∠ CFB 的值就是直角△ BCF 中, BC 与 CF 的比值, 设 BC=x, 则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来. 就 解:根据题意:在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,∠ A=30°,

∵ AE:EB=4:1, ∴ =5, ∴ = , 设 AB=2x,则 BC=x,AC= ∴ 在 Rt△ CFB 中有 CF= 则 tan∠ CFB= = . x.

x,BC=x.

故选:C. 点评: 本题考查锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对比斜;余弦等于邻边比斜边;正切等 于对边比邻边. 2.如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A、B、O 都在格点上,则∠ AOB 的正弦值是( )

A.

B.

C.

D.

考点:

锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理.

专题: 分析: 解答: 则 AC= AO=

网格型. 作 AC⊥ OB 于点 C,利用勾股定理求得 AC 和 AO 的长,根据正弦的定义即可求解. 解:作 AC⊥ OB 于点 C. , = = =2 = , .

则 sin∠ AOB= 故选:D.

点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比 斜边,正切为对边比邻边. 3.如图,已知 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=4,tanA= ,则 BC 的长是(



A. 2 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ BC=2, 故选:A. 点评: cosA=

B.8 锐角三角函数的定义. 计算题 .

C.2

D.

4

根据锐角三角函数定义得出 tanA= 解:∵ tanA= = ,AC=4,

,代入求出即可.

本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在 Rt△ ACB 中,∠ C=90°,sinA= ,tanA= .



4.如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ ABC 的三个顶点均在格点上,则 tanA=(



A.

B.

C.

D.

考点:

锐角三角函数的定义.

专题: 分析: 解答: ∴ tanA= = .

网格型. 在直角△ ABC 中利用正切的定义即可求解. 解:在直角△ ABC 中,∵ ∠ ABC=90°,

故选:D. 点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比 斜边,正切为对边比邻边. 5.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,sinA= A. B.

,则 tanB 的值为( C.

) D.

考点: 专题: 分析:

互余两角三角函数的关系. 计算题. 根据题意作出直角△ ABC,然后根据 sinA= ,设一条直角边 BC 为 5x,斜边 AB 为 13x,根据勾股

定理求出另一条直角边 AC 的长度,然后根据三角函数的定义可求出 tan∠ B. 解答: 解:∵ sinA= ,

∴ 设 BC=5x,AB=13x, 则 AC= 故 tan∠ B= 故选:D. = . =12x,

点评: 的运用.
2

本题考查了互余两角三角函数的关系,属于基础题,解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理

6.计算 sin 45°+cos30°?tan60°,其结果是( A. 2 B.1 C.

) D.

考点: 专题: 分析: 解答: = + =2. 故选:A. 点评:

特殊角的三角函数值. 计算题. 根据特殊角的三角函数值计算即可. 解:原式=( )+
2

×

此题比较简单,解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.

7.在△ ABC 中,若|cosA﹣ |+(1﹣tanB) =0,则∠ C 的度数是( A. 45° B.60° C.75° D.

2

) 105°

考点: 特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理. 专题: 计算题. 分析: 根据非负数的性质可得出 cosA 及 tanB 的值,继而可得出 A 和 B 的度数,根据三角形的内角和定理 可得出∠ C 的度数. 解答: 解:由题意,得 cosA= ,tanB=1 ,

∴ ∠ A=60°,∠ B=45°, ∴ ∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=180°﹣60°﹣45°=75°. 故选:C. 点评: 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊 角的三角形函数值,也要注意运用三角形的内角和定理. 8.如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一 个智慧三角形三边长的一组是( ) A. 1,2,3 B.1,1, C.1,1, D. 1,2, 考点: 解直角三角形. 专题: 新定义. 分析: A、根据三角形三边关系可知,不能构成三角形,依此即可作出判定; B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形,依此即可作出判定; C、解直角三角形可知是顶角 120°,底角 30°的等腰三角形,依此即可作出判定; D、解直角三角形可知是三个角分别是 90°,60°,30°的直角三角形,依此即可作出判定. 解答: 解:A、∵ 1+2=3,不能构成三角形,故选项错误; B、∵ 1 +1 =(
2 2

) ,是等腰直角三角形,故选项错误; = ,可知是顶角 120°,底角 30°的等腰三角形,故选项错误;

2

C、底边上的高是

D、解直角三角形可知是三个角分别是 90°,60°,30°的直角三角形,其中 90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义,故 选项正确. 故选:D. 点评: 考查了解直角三角形,涉及三角形三边关系,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定,“智慧三 角形”的概念. 9.在直角三角形 ABC 中,已知∠ C=90°,∠ A=40°,BC=3,则 AC=( ) A. 3sin40° B.3sin50° C.3tan40° D. 3tan50° 考点: 分析: 解答: 又∵ tanB= , 解直角三角形. 利用直角三角形两锐角互余求得∠ B 的度数,然后根据正切函数的定义即可求解. 解:∠ B=90°﹣∠ A=90°﹣40°=50°,

∴ AC=BC?tanB=3tan50°. 故选:D. 点评: 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系. 二.填空题(共 8 小题)

10.在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,CD=4,AC=6,则 sinB 的值是



考点: 专题: 分析: sinB 即可. 解答: ∴ AB=2CD=8, 则 sinB=

锐角三角函数的定义;直角三角形斜边上的中线. 计算题. 首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 AB 的长度,然后根据锐角三角函数的定义求出 解:∵ Rt△ ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,CD=4,

= = .

故答案为: .

点评: 本题考查了锐角三角函数的定义,属于基础题,解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定 理和锐角三角函数的定义. 11.如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,AC=2,BC=1,则 tanA 的值是



考点: 分析: 解答: 故答案为: . 点评: cosA=

锐角三角函数的定义. 根据锐角三角函数的定义(tanA= 解:tanA= = , )求出即可.

本题考查了锐角三角函数定义的应用,注意:在 Rt△ ACB 中,∠ C=90°,sinA= ,tanA= .



12.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ ABC 的顶点 都在方格的格点上,则 cosA= .

考点:

锐角三角函数的定义;勾股定理.

专题: 分析:

网格型. 根据勾股定理,可得 AC 的长,根据邻边比斜边,可得角的余弦值.

解答:

解:如图 ,AD=4, , .



由勾股定理得 AC=2 cosA= 故答案为: 点评:

本题考查了锐角三角函数的定义, 角的余弦是角邻边比斜边.

13.如图,在△ ABC 中,AB=AC=5,BC=8.若∠ BPC= ∠ BAC,则 tan∠ BPC=



考点: 专题: 分析:

锐角三角函数的定义;等腰三角形的性质;勾股定理. 计算题. 先过点 A 作 AE⊥ BC 于点 E,求得∠ BAE= ∠ BAC,故∠ BPC=∠ BAE.再在 Rt△ BAE 中,由勾股定理 .

得 AE 的长,利用锐角三角函数的定义,求得 tan∠ BPC=tan∠ BAE= 解答: 解:过点 A 作 AE⊥ BC 于点 E,

∵ AB=AC=5, ∴ BE= BC= ×8=4,∠ BAE= ∠ BAC, ∵ ∠ BPC= ∠ BAC, ∴ ∠ BPC=∠ BAE. 在 Rt△ BAE 中,由勾股定理得 AE= ∴ tan∠ BPC=tan∠ BAE= . ,

故答案为: . 点评: 求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利 用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值. 14.网格中的每个小正方形的边长都是 1,△ ABC 每个顶点都在网格的交点处,则 sinA=



考点: 锐 角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理. 分析: 根据各边长得知△ ABC 为等腰三角形,作出 BC、AB 边的高 AD 及 CE,根据面积相等求出 CE,根 据正弦是角的对边比斜边,可得答案. 解答: 解:如图,作 AD⊥ BC 于 D,CE⊥ AB 于 E, 由勾股定理得 AB=AC=2 ,BC=2 ,AD=3 , 可以得知△ ABC 是等腰三角形, 由面积相等可得, BC?AD= AB?CE, 即 CE= = ,

sinA=

=

= ,

故答案为: .

点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比 斜边,正切为对边比邻边.

15.cos60°=



考点: 分析: 解答: 故答案为:

特殊角的三角函数值. 根据特殊角的三角函数值计算. 解:cos60°= .

点评: 本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要掌握特殊角度的 三角函数值.

16.△ ABC 中,∠ A、∠ B 都是锐角,若 sinA=

,cosB= ,则∠ C= 60° .

考点: 专题: 分析: 解答:

特殊角的三角函数值;三角形内角和定理. 计算题. 先根据特殊角的三角函数值求出∠ A、∠ B 的度数,再根据三角形内角和定理求出∠ C 即可作出判断. 解:∵ △ ABC 中,∠ A、∠ B 都是锐角 sinA= ,cosB= ,

∴ ∠ A=∠ B=60°. ∴ ∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=180°﹣60°﹣60°=60°. 故答案为:60°. 点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理,比较简单. 17.在△ ABC 中,如果∠ A、∠ B 满足|tanA﹣1|+(cosB﹣ ) =0,那么∠ C=
2

75° .

考点: 专题: 分析: 解答:

特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方. 计算题. 先根据△ ABC 中,tanA=1,cosB= ,求出∠ A 及∠ B 的度数,进而可得出结论. 解:∵ △ ABC 中,|tanA﹣1|+(cosB﹣ ) =0
2

∴ tanA =1,cosB= ∴ ∠ A=45°,∠ B=60°, ∴ ∠ C=75°. 故答案为:75°. 点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 三.解答题(共 7 小题) 18.甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发,甲轮船以每小时 30 海里的速度沿着北偏东 60°的方向航行,乙轮船以每小 时 15 海里的速度沿着正东方向行进,1 小时后,甲船接到命令要与乙船会合,于是甲船改变了行进的速度,沿着东 南方向航行,结果在小岛 C 处与乙船相遇.假设乙船的速度和航向保持不变,求: (1)港口 A 与小岛 C 之间的距离; (2)甲轮船后来的速度.

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (1)根据题意画出图形,再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可. (2)根据甲乙两轮船从港口 A 至港口 C 所用的时间相同,可以求出甲轮船从 B 到 C 所用的时间,又知 BC 间的距 离,继而求出甲轮船后来的速度. 解答: 解: (1)作 BD⊥ AC 于点 D,如图所示: 由题意可知:AB=30×1=30 海里,∠ BAC=30°,∠ BCA=45°,

在 Rt△ ABD 中, ∵ AB=30 海里,∠ BAC=30°, ∴ BD=15 海里,AD=ABcos30°=15 海里, 在 Rt△ BCD 中, ∵ BD=15 海里,∠ BCD=45°, ∴ CD=15 海里,BC=15 海里, ∴ AC=AD+CD=15 +15 海里, 即 A、C 间的距离为(15 +15)海里. (2)∵ AC=15 +15(海里) , = , +1,

轮船乙从 A 到 C 的时间为 由 B 到 C 的时间为 ∵ BC=15 海里, +1﹣1=

∴ 轮船甲从 B 到 C 的速度为

=5

(海里/小时) .

点评: 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题,解答此题的关键是过 B 作 BD⊥ AC,构造出直角 三角形,利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答. 19.如图,△ ABC 中,AD⊥ BC,垂足是 D,若 BC=14,AD=12,tan∠ BAD= ,求 sinC 的值.

考点: 专题: 分析: 解答:

解直角三角形. 计算题. 根据 tan∠ BAD= ,求得 BD 的长,在直角△ ACD 中由勾股定理得 AC,然后利用正弦的定义求解. 解:∵ 在直角△ ABD 中,tan∠ BAD= = ,

∴ BD=AD?tan∠ BAD=12× =9, ∴ CD=BC﹣BD=14﹣9=5, ∴ AC= ∴ sinC= 点评: = . 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系. = =13,

20. 如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90°,∠ A=30°,D 是边 AB 上一点,∠ BDC=45°,AD=4,求 BC 的长. (结果保留根 号)

考点: 解直角三角形. 专题: 几何图形问题. 分析: 由题意得到三角形 BCD 为等腰直角三角形,得到 BD=BC,在直角三角形 ABC 中,利用锐角三角 函数定义求出 BC 的长即可. 解答: 解:∵ ∠ B=90°,∠ BDC=45°, ∴ △ BCD 为等腰直角三角形, ∴ BD=BC, 在 Rt△ ABC 中,tan∠ A=tan30°= ,即 = ,

解得:BC=2( +1) . 点评: 此题考查了解直角三角形,涉及的知识有:等腰直角三角形的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握 直角三角形的性质是解本题的关键. 21.如图,在△ ABC 中,CD⊥ AB,垂足为 D.若 AB=12,CD=6,tanA= ,求 sinB+cosB 的值.

考点: 专题: 分析:

解直角三角形 ;勾股定理. 计算题. 先在 Rt△ ACD 中, 由正切函数的定义得 tanA= =10,sinB= = ,cosB= = , 求出 AD=4, 则 BD=AB﹣AD=8, 再解 Rt△ BCD,

由勾股定理得 BC= 解答: ∴ tanA= =

= ,由此求出 sinB+cosB= .

解:在 Rt△ ACD 中,∵ ∠ ADC=90°, = ,

∴ AD=4, ∴ BD=AB﹣AD=12﹣4=8. 在 Rt△ BCD 中,∵ ∠ BDC=90°,BD=8,CD=6, ∴ BC= ∴ sinB= =10, = ,cosB= = ,

∴ sinB+cosB= + = .

故答案为:

点评:

本题考查了解直角三角形,锐角三角函数的定义,勾股定理,难度适中.

22.在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的高,∠ C=45°,sinB= ,AD=1.求 BC 的长.

考点: 解直角三角形;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 先由三角形的高的定义得出∠ ADB=∠ ADC=90°,再解 Rt△ ADB,得出 AB=3,根据勾股 定理求出 BD=2 ,解 Rt△ ADC,得出 DC=1;然后根据 BC=BD+DC 即可求解 解答: 又∵ AD=1, ∴ AB=3, ∵ BD =AB ﹣AD , ∴ .
2 2 2

解:在 Rt△ ABD 中,∵



在 Rt△ ADC 中,∵ ∠ C=45°, ∴ CD=AD=1. ∴ BC=BD+DC= +1. 点评: 本题考查了三角形的高的定义,勾股定理,解直角三角形,难度中等,分别解 Rt△ ADB 与 Rt△ ADC, 得出 BD=2 ,DC=1 是解题的关键. 23.如图,在△ ABC 中,BD⊥ AC,AB=6,AC=5 ① 求 BD 和 AD 的长; ② 求 tan∠ C 的值. ,∠ A=30°.

考点: 专题: 分析:

解直角三角形;勾股定理. 几何图形问题. (1)由 BD⊥ AC 得到∠ ADB=90°,在 Rt△ ADB 中,根据含 30 度的直角三角形三边的关系先得到 BD=3 ;

BD= AB=3,再得到 AD=

(2)先计算出 CD=2 ,然后在 Rt△ BCD 中,利用正切的定义求解. 解答: 解: (1)∵ BD⊥ AC, ∴ ∠ ADB=90°, 在 Rt△ ADB 中,AB=6,∠ A=30°, ∴ BD= AB=3, ∴ AD= BD=3 ; ﹣3 = =2 = , .

(2)CD=AC﹣AD=5 在 Rt△ BCD 中,tan∠ C=

点评: 本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也 考查了含 30 度的直角三角形三边的关系. 24.如图,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 O)的墙上,当梯子位于 AB 位置时,它与地面所成的角∠ ABO=60°; 当梯子底端向右滑动 1m(即 BD=1m)到达 CD 位置时,它与地面所成的角∠ CDO=51°18′ ,求梯子的长. (参考数据:sin51°18′ ≈0.780,cos51°18′ ≈0.625,tan51°18′ ≈1.248)

考点: 解直角三角形的应用. 专题: 几何图形问题. 分析: 设梯子的长为 xm.在 Rt△ ABO 中,根据三角函数得到 OB,在 Rt△ CDO 中,根据三角函数得到 OD, 再根据 BD=OD﹣OB,得到关于 x 的方程,解方程即可求解. 解答: 解:设梯子的长为 xm. 在 Rt△ ABO 中,cos∠ ABO= ,

∴ OB=AB?cos∠ ABO=x?cos60°= x. 在 Rt△ CDO 中,cos∠ CDO= ,

∴ OD=CD?cos∠ CDO=x?cos51°18′ ≈0.625x. ∵ BD=OD﹣OB, ∴ 0.625x﹣ x=1, 解得 x=8. 故梯子的长是 8 米. 点评: 此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算,关键把实际问题转化为数学 问题加以计算.


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