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江苏省连云港市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷(扫描版)


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高二文科数学参考答案
一、填空题: 1. ?x ? 0, x 2 ? x ? 0 5.-8 2. 10 6. a ? 1 3. (1,3) 7. 4. 9 8. n ? 1
2

1 2

9. [

? 5?
6 , 6

]
1 2

10.—3

? n(n ? 1) ? 11. ? ? ? 2 ?

或 (1 ? 2 ?

? n) 2

12. m ? ?

13.9

14. (?1, 2 ? 2 2)

二、解答题: 15. 解(1)当 m ? 2 时, B ? ? x | ?1 ? x ? 2? ……. …….2 分

CR B ? ? x | x ? ?1或x ? 2? ,

……. …….4 分

A ? (C R B) ? ? x | 2 ? x ? 5? .
(2)因为 A 所以 m ? 6 , 此时 B ? ? x | ?2 ? x ? 3? ,

……. ……7 分

B ? ? x ?1 ? x ? 3? ,所以 x ? 3 是方程 x 2 ? x ? m ? 0 的根,
……. ……9 分 ……. ……11 分

A ? B ? ? x | ?2 ? x ? 5? .
16.解(1)令 t ? 3 ,由 9 ? 3
x x x ?1

……. ……14 分

? 10 ? 0

? 5 ,或 t ? ?2 , 因为 t ? 3 ? 0 , t ? 0 ,所以 t ? ?2 舍去, ………………………………………4 分 x 所以 3 ? 5 ,解得 x ? log 3 5 …………………………………………6 分 1 (2) 令 t ? log 2 x ,因为 x ? [ ,8] ,所以 t ? [ ?1,3] ……………………………………………8 分 2
得 t ? 3t ? 10 ? 0 ,解得 t
2 x

又 f ( x) ? (log 2 x ? 2) ? (1 ? log 2 x) , g (t ) ? ?(t ? 2) ? (t ? 1) …………………………10 分

3 1 g (t ) ? ?t 2 ? 3t ? 2 ? ?(t ? ) 2 ? , 2 2 3 1 当 t ? 时, g (t ) max ? , 2 2
当 t ? ?1 时, g (t ) min ? ?6 ,

……. ……12 分

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所以函数 f ( x) ? (log 2

x 2 1 ) ? (log 2 ) 的值域为 [?6, ] . ……………….. ……14 分 4 x 2

17. 由已知可得, A 点坐标为 (1, 0) , B 点坐标为 (0,1) , 设 P 点坐标为 ( x, y ) ,则 0 ? x ? 1, y ? 1 ? x ;……. …………. ……………. … ……2 分
2

(1) PM ? PN ? x ? y ? ? x ? x ? 1 ,
2

1 5 时, PM ? PN 取最大值为 ,………. ………. ……………. . …………. ……4 分 2 4 当 x ? 0或1 时, PM ? PN ? 1 ,……. …………. …………………. ……………. ……5 分
当x? 所以

? 5? PM ? PN 的范围为 ?1, ? .……. …………….……………. …………. ……6 分 ? 4?
2 3

(2)设矩形 PMON 面积为 S ,则 S ? xy ? x(1 ? x ) ? ? x ? x ,……………. …. ……8 分

S ' ? ?3 x 2 ? 1 ? ?3( x ?

3 3 )( x ? ) …….………………. …. ……10 分 3 3

x
S'

(0,

3 ) 3

3 3

(

3 ,1) 3

?
递增

0
2 3 9

?
递减

S

由上表知,当 x ?

3 时, S 取得极大值,也就是最大值,………. ……13 分 3 2 3 .……. ………. ……………. ……. ……14 分 9
2 2



S 的最大值为

18. (1)由已知得, f ( x) ? ( x ? a )(1 ? x ? a ) ? ? x ? x ? a ? a ………………2 分 因为 f ( x) ? 1 对一切实数 x 都成立, 即 x 2 ? x ? a 2 ? a ? 1 ? 0 对一切实数 x 都成立,……………………………4 分 所以 ? ? (?1) ? 4(? a ? a ? 1) ? 0 ,解之得, ?
2 2

1 3 ? a ? .………………8 分 2 2

(2)由 f ( x) ? 0 得, ( x ? a )(1 ? x ? a ) ? 0 , ( x ? a )( x ? a ? 1) ? 0 ;………10 分

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1 时, a ? 1 ? a ,所求不等式解集为 (1 ? a, a ) ;……………12 分 2 1 当 a ? 时, a ? 1 ? a ,所求不等式解集为 ? ;……………14 分 2 y 1 当 a ? 时, a ? 1 ? a ,所求不等式解集为 (a,1 ? a ) .…………………16 分 2 b 19. 解:由已知得 ? 1, f (1) ? ?2 ? b ? c ? 1 , 4
当a ? 解得 b ? 4, c ? ?1 即 f ( x) ? ?2 x ? 4 x ? 1 …………………2 分
2

O

x

(1)在同一坐标系中分别作出函数 y ?| f ( x) |, y ? m 的图象,………………4 分 由图象知,当 0 ? m ? 1 时,两函数 y ?| f ( x) |, y ? m 的图象有 4 个不同交点, 且分别是关 于直线 x ? 1 对称的两对对称点,所以方程 | f ( x) |? m 有 4 个不同实根,…………6 分 这 4 个不同实根的和为 4. ……………………8 分 (2)因为当 x ? R 时, f ( x) 最大值为 1,所以

1 ? 1, m ? 1, m

所以当 x ? [m, n], (0 ? m ? n) 时, f ( x) 单调递减,……………………10 分

1 ? f ( m) ? ? 1 ? m 于是有 ? ,所以 f ( x) ? 在 ?1, ?? ? 上有两个不等的实根 m, n , x ? f ( n) ? 1 ? n ?
且 n ? m ? 1 ,………12 分 由 f ( x) ?

1 1 得, ?2 x 2 ? 4 x ? 1 ? , 2 x 3 ? 4 x 2 ? x ? 1 ? 0 , x x

( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 ,………14 分
解之得 x1 ? 1, x2 ?

1? 3 1? 3 , , x3 ? 2 2

所以

m ? 1, n ?

1? 3 .………16 分 2

1 m ? 2 , f ' (1) ? 1 ? m , x x 切线方程为 y ? m ? (1 ? m)( x ? 1) ,
20. (1) f (1) ? m , f ' ( x) ? 又因为切线过点 (0,3) ,所以 3 ? m ? (1 ? m)(0 ? 1) ,解得 m ? 2 ,

………2 分

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所以 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ln x ? (2)∵ f ' ( x) ?

2 . x

………4 分

1 m ? x x2

∵ f ( x) 在 [3, 4) 上是减函数,

1 m ? 0 在 [3, 4) 上恒成立,即 m ? x 在 [3, 4) 上恒成立.………7 分 ? x x2 所以实数 m 的取值范围为 [4, ??) . ………9 分
∴ f ' ( x) ? (3)由(2)得 f ' ( x) ?

x?m , x ? [1, e] . x2
'

①若 m ? 1 ,则 x ? m ? 0 ,即在 [1, e] 上 f ( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数. 所以 [ f ( x)]min ? f (1) ? m ?

3 (舍去) . 2

………11 分

②若 1 ? m ? e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? m .当 1 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, m) 上是减函数,当 m ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (m, e) 上是增函数. 所以 [ f ( x)]min ? f (m) ? ln m ? 1 ?
'

3 ,解得 m ? e 2 (符合要求) . 2

1

………13 分

③若 m ? e ,则 x ? m ? 0 ,即 f ( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是减函数. 所以 [ f ( x)]min ? f (e) ? ln e ? 综上所述 m ? e .
1 2

m 3 1 . ? ,所以 m ? e (舍去) e 2 2
………16 分

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