kl800.com省心范文网

三角函数图像的变化


用图像变换法画三角函数
y = A sin( ω x + ? ) ( A > 0, ω > 0) 的图像

重点:用电脑动态演示函数图像的变换过程,让 学生形象直观地看到各参数对图像的影响, 从而发现和归纳出各种变换法则。

难点:

y =sin x ω

y =sin(x+?) ω
y = sin( x +?) ω

y = sin( +?) x

的变换过程.

一、提出问题
π π 在同一坐标系中画出 y = sin( x + ) 和 y = sin( x ? ) 靠近原点的 问题一:

一个周期内的图像,并观察它们与 y = sin x 的图像之间的关系。

4

6

问题二: 在同一坐标系中画出 y = sin 2 x 和 y = sin

1 x 靠近原点的一个 2 周期内的图像,并观察它们与 y = sin x 的图像之间的关系。

1 在同一坐标系中画出 y = 2 sin x 和 y = sin x 靠近原点的一个 问题三: 2 周期内的图像,并观察它们与 y = sin x 的图像之间的关系。

二、研究问题
问题一:画 y = sin( x +
y = sin( x +

π
4

) 和y = sin( x ?

π
6
B2

) 的图像,并观察与 y = sin x 的图像关系。

y
1
F1

π
4

y = sin x
B1
F

)

B

G A1
?
A

A2 G2

C1

5π C2 4 C

5π 3 E1 3π 2 7π 4
D2

E

E2
13π 6

π
4

0

ππ
64

π 2π 3π
2 3 4

π

7π 6



x
y = sin( x ? ) 6

-1
D1 D

π

y = sin x y = sin x

所有的点向左平移

π

一般地, y = sin x ? >0时,向左平行移动 ? 个单位

4 π 所有的点向右平移 个单位 6

个单位

y = sin( x +

π

y = sin( x ?

π

4

)

6

)

? <0时,向右平行移动 ? 个单位

y = sin(x + ? )

y = sin(x + ? )(x ∈ R) 的图像,可看作由 y = sin x 上所有的点向左或向右平移|? | ? 个单位而得,注意 ? 的正负决定平移方向, | |决定平移大小。

π π y = sin 2 x 的图像变换得到 y = sin(2 x + ) 和 y = sin(2 x ? ) 变式1:如何由 4 6
的图像?

y
π
1
7π 12

y = sin(2 x + ) 4

y = sin 2 x
7π 8 13π 12

0
?

π

π π

8 12 6

3π π 8 2

π



x

-1

y = sin 2 x
y = sin 2 x

所有的点向左平移 所有的点向右平移
π

π
8
π

y = sin( 2 x ? ) 6

π

个单位 个单位
π

y = sin( 2 x +

π
4

)
)

12

y = sin( 2 x ?

π
6

注意到:

y = sin( 2 x + ) = sin[ 2( x + )] 4 8

π

一般地: y = sin ω x
注意:
? ω

向左平移

? 个单位 ω

y = sin(2 x ? ) = sin[ 2( x ? )] 6 12

π

y = sin( ω x + ? )
的大小决定平移量

( ω > 0)

? 的正负决定平移方向, ω

变换法则(一)
ω 函数 y = sin( x +?)的图像,可看作由函数 y = sin ωx 的图像上
所有的点向左或向右平移
? 平移方向,ω

? 个单位而得,注意 ω

?

的正负决定

决定平移大小。

问题二:画

1 y = sin 2x 和 y = sin x 2
y
y = sin 2 x
1

的图像,并观察其与 y = sin x 的图像关系

1 y = sin x 2


0
-1

π





x

y = sin x
y = sin x
y = sin x

1 纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍 2 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍

y = sin 2 x
y = sin 1 x 2

y 一般地, = sin x

ω >1时,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1/ω倍 0<ω <1时,纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1/ω倍

y = sin ω x

y = sin ω x ( x ∈ R , ω > 0 ) 可以看作由 y = sin x 上所有的点的纵坐标不 变,横坐标变为原来的 1 倍而得,注意 ω 与1的大小决定是扩大还是缩小。 ω

变式2:如何由 y = sin( x ?

π

)的图像变换得到 y = sin( 2 x ? ) 的图像? 6 6
π
y = sin( x ? ) 6
3π 2

π

y
1

y = sin(2 x ? ) 6

π

π 7π
2 12

π

7π 6 13π 12

2π 5π 3
13π 6

0
-1

π π
12 6

π
3

2π 5π 3 6

x

1 π y = sin( x ? ) 纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍 y = sin( 2 x ? π )

6

6

1
纵坐标不变,横坐标变为原来的 ω 倍 一般地, y = sin( x + ? )

y = sin( ω x + ? ) (ω > 0)

变换法则(二)
x 函数y = sin(ωx + ? ) 可以看作由y =sin( +?) 上所有的点
的纵坐标不变,横坐标变为原来的
1

ω与1的大小决定是扩大还是缩小。

ω

倍而得,注意

1 问题三:画 y = 2 sin x和 y = sin x 的图像,并观察其与 y = sin x 的关系 2

y

2 1
1 2 1 ? 2 ?1

A1

y = 2 sin x
B
B1

A

0

π
2

π

3π 2



x

?2

1 y = sin x 2

y = sin x

y = sin x

y = 2 sin x 1 横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍 y = 1 sin x y = sin x 2 2
A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1时, 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍

横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍

一般地, y = sin x

y = A sin x

y = A sin x(x ∈ R, A > 0) 可以看作由 y = sin x 上所有的点,横坐标不变,纵坐标 变为原来的A倍而得。注意 A 与1的大小决定是扩大还是缩小。

变换法则(三)
函数y = A sin x 可以看作由 y = sin x 上所有的点,横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍而得。注 意 A与1的大小决定是扩大还是缩小。

综合题:如何由 y = sin x 变换一:

的图像变换到 y = sin(2 x +

π
4

) 的图像?

y = sin x

π π 向左平移 4 个单位 y = sin(x + ) 纵坐标不变,横坐标变 y = sin(2x + ) 4 为原来的 1 倍 4 2

π

y
1

y = sin(2x + ) π 4 y = sin(x + )

π

4

y = sin x

?

π
4

?

π0
8

π
8

π 3π π 5π 3π 7π
4
8

2

8

4

8

π

5π 4

3π 2

7π 4



x

-1

一般地:

y = sin x

向左平移

? 个单位

y = sin( x + ? )

纵坐标不变,横坐标 变为原来的

1

y = sin( ω x + ? )

ω



综合题:如何由 y = sin x 的图像变换到 y = sin(2 x + ) 的图像?

π

4

变换二:

π 向左平移 个单位 π 8 y = sin x 纵坐标不变,横坐标变 y = sin 2 x y = sin(2x + ) 为原来的 1 倍 4 2

y
1

y = sin(2x + ) 4

π

y = sin 2 x

y = sin x
π π 3π π 5π 3π 7π
8 4
8

?

π
4

?

π0
8

2

8

4

8

π

3π 2



x

-1

一般地:

y = sin x

纵坐标不变,横坐标 1 变为原来的 倍

ω

y = sin( ω x + ? ) y = sinωx ? 个单位

向左平移

ω

变换法则( 变换法则(四) 由函数 y = sinx 的图像变换得到函数 y = sin( ω x + ? )
.

( A > 0, ω > 0)

的图像。

变换一:从参数? 入手

纵坐标不变,

y = sin x ? 个单位
变换二:从参数ω 入手 变为原来的

向左平移

y = sin( x + ? ) 横坐标变为原
来的

1

y = sin( ω x + ? )

ω



1

y = sin x

ω



向左平移

纵坐标不变,横坐标

y = sin ω x ? 个 单 位
ω

y = sin( ω x + ? )

三、归纳问题 由函数 y = sinx
.
变换一:从参数? 入手 向左平移

的图像变换得到函数

( A > 0, x ∈ R, ω > 0) 的图像。
? 个单位
y = sin( x + ? )
纵坐标不变, 横坐标变为原 1 来的 倍

y = A sin( ω x + ? )

y = sin x

横坐标不变, 纵坐标伸长到 原来的A倍

ω

y = sin( ω x + ? )
变换二:从参数ω 入手

y = A sin( ω x + ? )

y = sin x

? 个 单 位 ω 纵坐标不变,横坐标

向左平移

1 倍 变为原来的

y = sin ω x

向两边扩展

ω

变换三:从参数 A 入手(口述)

四、应用举例及练习
例1、若将某函数的图像向右平移 是 y = sin( x +
A. C.

π
2

以后得到的图像的函数解析式 )。

π
4

) ,则原来的函数解析式是( A
B.

3π y = sin( x + ) 4

y = sin( x + ) 2

π

D. y = sin( x ? ) 4 π π 例2、为了得到函数 y = sin( x ? )的图像,只需将函数 y = sin( 2 x ? )

π

y = sin( x + ) ? 4 4

π

π

的图像上的每个点(

A

)。

5

5

A.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变; 1 B.横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变; C.纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变; 1 D.纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变。

例3:若函数 f ( x ) = sin( x +

π
3

)

图像上每一个点的纵坐标不变,横

坐标伸长到原来的3倍得到函数 h ( x ) 的图像,再将图像上所有的点向右 平移 6 个单位得到k ( x )的图像,最后将图像上每一点的横坐标不变, 纵坐标伸长到原来的3倍得到 g ( x ) 的图像 则 g ( x ) 的解析式为 g ( x ) = 3 sin(

π

1 5π x + ) 3 18

归纳:1.函数变换前的解析式;函数变换后的解析式;变换法则三者知其二 能求第三 2.求变换法则时要注意变换方向 3. 多步变换时要按步进行

练习:课本

P52 3

P56 3

五、课堂小结
1、变换法则: y = sin x

y = sin(x + ? ) y = sin(ωx + ? )(水平平移变换) y = A sin x
(上下伸缩变换)

y = sin ω x

y = sin x y = sin x
y = sin( x + ? )

y = sinωx
y = sin(ωx + ?)
(水平伸缩变换)

y = sin x

y = sin x

y = sin(ωx + ?) y = A sin(ωx + ? )

2、题型:函数变换前解析式,变换后解析式及变换法则三者知其二能求第三。 注意:两函数名相同,变换方向要明确。

知识拓展
1、要得到函数 y = cos( x +
ω 2、若 A < 0 , < 0 呢?

π
3

) 的图像,需将函数 y = 3 sin 4 x怎样变换?
请学生课后思考!!!

六、布置作业 P115. 2. 3

谢谢


赞助商链接

第七讲 三角函数图像及其变换

第七讲 三角函数图像及其变换 - 暑假培优讲义 第七讲三角函数图像及其变换 一、 基础知识点: 考向 1 利用三角函数图象求解析式 1.用五点法画 y=Asin(ωx+...

三角函数图像变换顺序详解

三角函数图像变换顺序详解 - 《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数 y = f (x)到函数 y = A f ( 1.纵向平移 —— m 变换 ...

三角函数图象变换教案

三角函数图象变换教案 - 一、新课引入: 师:前面我们学习了正弦函数 y=sinx 的图象和性质,请同学说出它的定义域、值域、奇偶性、周期 及单调区间? 生:定义域:R...

三角函数图像变换

三角函数图像变换 - 高中数学必修4三角函数图形变换~~~... 三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像变换 1 结合具体实例,理解 y=Asin 的实际意义,会用“五 ...

三角函数图形变换y=asin(ωx+φ)

三角函数图形变换y=asin(ωx+φ) - 课题:4.9.1 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象(1) 教学目的:1)理解振幅的定义; 2) 理解振幅变换和周期变换的...

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。函数图像与性质知识点...ωω二、三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 y ? sin x 的图象向左(? >0)...

三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

三角函数的图像变换以及经典习题和答案 - 3.4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换 【知识网络】1.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义...

三角函数图像及其性质

三角函数图像及其性质 - 【本讲教育信息】 一.教学内容: 三角函数的图象与性质 二.教学目的: 了解三角函数的周期性,知道三角函数 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ω...

三角函数图像变换听课感受

三角函数图像变换听课感受 - 听了罗强老师关于《正弦函数的图像变换》一课的说课,让我受益匪浅,整节课 听下来总体感觉是罗强老师这节课能根据教材的内容、 课标...

三角函数专题——函数图像的平移

三角函数专题——函数图像的平移 - 三角函数专题——函数图像的平移 (敖东) 三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点,在历年高考中几乎 都出现了, 同样...