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高中数学 一元二次不等式及其解法


第3课时

一元二次不等式及其解法

2014高考导航
考纲展示 备考指南

1.会从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型.

1.以考查一元二次不等式的解法
为主,兼顾二次方程的判别式、 根的存在性及二次函数的图象 与性质等知识. 2.以集合为载休,考查一元二次

2.通过函数图象了解一元二次
不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系.

不等式的解法及集合的运算.

目录

考纲展示

备考指南

3.会解一元二次不等式,

3.以函数、数列、解析几何为载 体,以二次不等式的解法为手段, 考查求参数的范围问题. 4.以选择题、填空题为主,有时

对给定的一元二次不等
式,会设计求解的程序 框图.

穿插于解答题中考查,中等难度.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程 的关系如下表:

判别式Δ= b2-4ac 二次函数y =ax2+bx

Δ>0

Δ=0

Δ<0

+c (a>0)
的图象
目录

判别式 Δ= b -4ac 一元二次方 程 ax2+bx +c= 0(a>0)的根
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=- 2a 没有实数根

目录

判别式Δ=b2- 4ac ax2+bx+c>0 (a>0)的解集

Δ>0

Δ=0

Δ<0

{x|x<x1或x>x2} _________ ____________ {x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2+bx+ c<0(a>0)的解集

{x|x1<x<x2} ____________

? ______

? ________

目录

思考探究

当a<0时,ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集如何?
提示:当a<0时,可利用不等式的性质将二次项系数化为 正数,注意不等号的变化,而后求得方程两根,再利用 “大于号取两边,小于号取中间”求解.

目录

2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求 解的算法过程为:

目录

课前热身
1.若集合 A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N*|x≤5},则 A∩B 是( A.{1,2,3} C.{4,5} ) B.{1,2} D.{1,2,3,4,5}

答案:B

目录

?x -1<0 ? 2.不等式组? 2 的解集为( ?x -3x<0 ?

2

)

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}

B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

答案:C 3.不等式x2-5x+6≤0的解集为________.

解析:因为方程x2-5x+6=0的解为x=2和x=3,
故不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 答案:{x|2≤x≤3}
目录

x2-9 4.(2012· 高考江西卷)不等式 >0 的解集是________. x-2

x2-9 解析:由 >0,得(x+3)(x-3)(x-2)>0, x-2 利用数轴标根法易得 -3<x<2 或 x>3.

答案:{x|-3< x<2或x>3}

目录

考点探究讲练互动
考点 1 考点突破 一元二次不等式的解法

例1 解下列不等式:
(1)2x2+4x+3>0; (2)-3x2-2x+8≥0; (3)12x2-ax>a2(a∈R).

目录

【解】

(1)∵Δ=42-4×2×3<0,

∴方程2x2+4x+3=0没有实根, 二次函数y=2x2+4x+3的图象开口向上,与x轴没有 交点,即2x2+4x+3>0恒成立,

所以不等式2x2+4x+3>0的解集为R. (2)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,
∵Δ=100>0, 4 ∴方程 3x +2x-8=0 的两根为-2, , 3
2

结合二次函数 y=3x2+2x-8 的图象可知原不等式 4 的解集为{x|-2≤x≤ }. 3
目录

(3)由 12x2-ax-a2>0?(4x+a)(3x-a)>0 a a ?(x+ )(x- )>0, 4 3 a a a a ①a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4

目录

【规律方法】

解含参数的一元二次不等式的步骤:

(1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,
然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要 讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.

目录

跟踪训练 1.本例中(3)若变为 ax2-(2a+1)x+2<0(a>0),试 解该不等式.

解:因 a>0 时,原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0,即 1 (x- )(x-2)<0. a 1 1 1 若 <2,即 a> 时,解得 <x<2; 2 a a 1 1 若 =2,即 a= 时,解集为?; 2 a

目录

1 1 1 若 >2,即 0<a< 时,解得 2<x< . 2 a a 1 1 综上所述, 原不等式的解集为 0<a< 时, {x|2<x< }; 2 a 1 a= 时,解集为?; 2 1 1 a> 时,{x| <x<2}. 2 a

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考点 2

解简单的高次不等式、分式不等式

例2 解不等式:
(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0; 3x-5 (2) 2 ≤2. x +2x-3

【解】

(1)原不等式等价于

(x+4)(x+5)2(x-2)3>0?
?x+5≠0 ?x≠-5, ? ? ? ?? ? ?x<-4或x>2. ??x+4??x-2?>0 ?

其解集如下图的阴影部分所示.
目录

则原不等式的解集为 {x|x<-5 或-5<x<-4 或 x>2}. 3x-5 (2)原不等式等价变形为 2 -2≤0, x +2x-3 -2x2-x+1 即 2 ≤0, x +2x-3 2x2+x-1 即 2 ≥0, x +2x-3
??2x2+x-1??x2+2x-3?≥0, ? 即? 2 ?x +2x-3≠0, ?

目录

??2x-1??x+1??x+3??x-1?≥0, ? 即等价变形为? ?x≠-3且x≠1. ?

?-1≤x≤1, ? 2 则? x≥1, ?x≠-3且x≠1. ?
x≤-3,

如图所示,

1 可得原不等式解集为{x|x<-3 或-1≤x≤ 或 x>1}. 2

目录

【方法小结】 (1)求解一元高次不等式首先作等价转化,化 去偶次方因式,奇次方因式可用一次因式代替,再分解为一 次式的积,运用数轴穿根法求解. (2)任何一个一元有理分式不等式,经过移项、通分和化简, f?x? f?x? 都可以化成标准形式: >0(或≥0), <0(或≤0),其 g?x? g?x? 中 f(x), g(x)都表示 x 的某一整式, 然后按照商的符号法则转 化为不等式组求解或整式不等式求解.

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(3)若分式不等式含等号,等价转化为整式不等式时, 其分母不为零,这一点一定要注意. (4)当分式不等式分母的正负不确定时,不可通过不等 式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式.

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跟踪训练
2.(2011· 高考江西卷)若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B= x-2 {x| ≤0},则 A∩B=( x A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} ) B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

解析:选B.

∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},

∴A∩B={x|0<x≤1}.

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考点 3

一元二次不等式的实际应用

例3 某产品按质量可分成 6 种不同的档次,若工时不变,
每天可生产最低档次的产品 40 件,如果每提高一个档次, 每件利润可增加 1 元,但每天要少生产 2 件产品. (1)若最低档次的产品每件利润为 16 元,则生产哪种档次 的产品所得到的利润最大? (2)若最低档次的产品每件利润为 22 元,则生产哪种档次 的产品所得到的利润最大?

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【解】

(1)设生产第x档次产品时,所获利润最大,则生

产第x档次产品时,每件利润为16+(x-1)×1(元), 生产第x档次产品时,每天生产[40-2(x-1)]件, 所以生产第x档次产品时,每天所获利润为: y=[40-2(x-1)][16+(x-1)]

=-2(x-3)2+648(元).
当x=3时,y最大,即生产第三档次产品利润最大.

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(2)若最低档次产品每件利润为22元, 则生产第x档次产品时,每天所获利润为:

y=[40-2(x-1)][22+(x-1)]=-2x2+882.
因为x∈[1,6],且x∈N, 所以当x=1时,y最大,即生产第一档次产品利润最大.

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【规律方法】

不等式应用题一般可按如下四步进行:

(1)认真审题、把握关键量,找准不等关系;
(2)引进数学符号、用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回归实际问题.

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跟踪训练 3.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销售量为 10000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高 产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 <x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加 的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加, 则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

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解 : (1) 由 题 意 得 y = [12(1 + 0.75x) - 10(1 +

x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2
+2000x+20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有
?y-?12-10?×10000>0, ? ? ?0<x<1, ? ?-6000x +2000x>0, ? 即? ?0<x<1, ?
2

1 ?0,1 ?范围内. 解得 0<x< ,所以投入成本增加的比例应在 3 ? 3?
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方法感悟 1. 解一元二次不等式时, 首先要将一元二次不等式化成标准 型,即 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 的形式,其中 a>0. 2. 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(其中 a>0) 与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的关系.

目录

(1)知道一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根可以

写出对应不等式的解集;
(2)知道一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 的解集也可以写出对应方程的根. 3.数形结合:利用二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图 象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2+bx+c>0

或ax2+bx+c<0的解集.

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名师讲坛精彩呈现
数学思想 不等式恒成立问题中体现的思想方法



?0,1 ?成立,求 a 的 若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈ ? 2?
2

最小值.

?0,1 ?. 【解】 法一:由 x +ax+1≥0,x∈ ? 2?
2

1 ∴ax≥-1-x .∴a≥- -x. x
2

1 ?x+1 ?≤-5,∴a≥-5. 又- -x=-? x ? 2 2 x 5 即 a 的最小值为- . 2
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法二:令 f(x)=x2+ax+1,

?0,1 ?成立. 即 f(x)≥0 对 x∈ ? 2?
(1)当 Δ≤0 时,即 a2-4≤0,即-2≤a≤2 成立.

?0,1 ?成立. (2)当 Δ>0 时,要使 f(x)≥0 对 x∈ ? 2?

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?1 ?f? ?≥0, 则? 2 ?-a>1. ? 2 2
Δ>0,

?f?0?≥0, ? 或? a ?-2<0. ?
Δ>0,

? a ?f?- ?≥0, 2 或? 1 ?0≤-a≤2. ? 2
Δ>0,

5 ∴- ≤a<-2 或 a>2. 2 5 由(1)、(2)可知 a 的最小值为- . 2

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【名师点评】

不等式恒成立问题体现的主要数学

思想方法有:等价转化思想、数形结合思想以及分 类讨论思想,本题法一中,采用了等价转化思想, 主要是将参数分离转化为最值问题求解,法二中体 现了数形结合思想及分类讨论思想,其思路是构造 函数,结合图象分析,进而求出最小值.

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4.若函数f(x)=a·x-1-2x+a的图象恒在x轴的上方, 4
则实数a的取值范围是( A.(-∞,-1) C.(1,+∞) ) B.(-1,+∞) D.(-∞,1)

解析:选 C.由题意知,f(x)>0 恒成立, - 即 a·x 1-2x+a>0 恒成立. 4 1 令 2x=t(t>0),所以 f(log2t)=g(t)= at2-t+a>0 4 在(0,+∞)上恒成立, 4t 4 4 4 4 a> 2 = ,因为 t+ ≥4,所以 ≤ =1, 4 4 4 t t +4 t+ t+ t t 当且仅当 t=2 时等号成立,所以 a>1.
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知能演练轻松闯关

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