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高考数学一轮复习 47 空间向量在立体几何中的应用(二)学案 理


第四十七课时

空间向量在立体几何中的应用 (二)
课前预习案

考纲要求 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用。 基础知识梳理 1、二面角的定义 (1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做________________。 (2)二面角的定义:_________________________________________________________, _______________________叫做二面角的棱,_______________________叫做二面角的面。 (3)二面角的记法:棱为 l ,两个面分别为 ? , ? 的二面角,记作______________。

(4)二面角的平面角:在二面角的棱 l 上任取一点

,在二面角的两个半平面内

分别作棱的垂线

,则

是二面角的平面角.

(5)直二面角:____________________________________。 2、二面角的平面角的求法

(1)如图,分别在二面角

的面

内,作向量

,则

等于二面角

的平面角.
-1-

(2)若

分别为平面

的法向量,二面角

的大小为

,则

预习自测 1. 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则

l 与 α 所成角的正弦值为__________________________________________________.

2. 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角 =________.

3. 从空间一点 P 向二面角 α —l—β 的两个面 α ,β 分别作垂线 PE,PF,垂足分别为 E,

F,若二面角 α —l—β 的大小为 60°,则∠EPF 的大小为__________.

4. 如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO—A′B′C′D′,A′C 的 中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为________.

-2-

课堂探究案

典型例题 【典例 1】如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(1)求证:平面

⊥平面



(2)若





, 求二面角

的余弦值.

【变式 1】如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上, PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值;

-3-

【典例 2】在如图所示的几何体中,四边形

是等腰梯形,





平面

.

(Ⅰ)求证:

平面



(Ⅱ)求二面角

的余弦值.

【变式 2】如图,四棱锥

中,

,

,



的中点,

.

(1)求

的长;

-4-

(2)求二面角

的正弦值.

【典例 3】 ( 2013 年天津理)如图 , 四棱柱

中 , 侧棱

⊥底面

,

,



,



,

为棱

的中点.

(1) 证明

;(2) 求二面角

的正弦值.

(3) 设点

在线段

上, 且

-5-

直线

与平面

所成角的正弦值为

, 求线段

的长.

当堂检测 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,-2,1),已知点 P(-1,3,2), 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于 A.4 B.2 C.3 D.1 ( )

2. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角 的余弦值为 A. 1 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 2 ( )

3. 设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A1BD 的距离是________. 4.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面 ABCD,PA =3,AD=2,AB=2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.

-6-

课后拓展案

A 组全员必做题

1、 如图, 在圆锥 PO 中, 已知

, ⊙O 的直径

,C 是

的中点, D 为 AC 的中点. (1) 证明: 平面

平面

;

(2)求二面角

的余弦值。

-7-

2、如图,直三棱柱

中,



是棱

的中点,

(1)证明:

(2)求二面角

的大小.

B 组提高选做题

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 是 PC 上的一点,PE=2EC. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

,PA=2,E

-8-

参考答案

预习自测 1.【答案】 4 11 33

【解析】 ∵n·a=-8-3+3=-8,|n|= 16+1+1=3 2, |a|= 4+9+9= 22,

n·a -8 4 11 ∴cos〈n,a〉= = =- . |n|·|a| 3 2× 22 33
4 11 又 l 与 α 所成角记为 θ ,则 sin θ =|cos〈n,a〉|= . 33 2.【答案】 30° 【解析】 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°, ∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°-60°=30°. 3.【答案】 60°或 120° 4.【答案】 2 a 2

【解析】由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a).

? ? ? ? ∴F?a, ,0?,E? , , ?. ? 2 ? ?2 2 2?
a a a a
∴EF= =

?a-a?2+?a-a?2+?0-a?2 ? 2? ?2 2? ? 2? ? ? ? ? ? ?

a2 a2

2 + = a. 4 4 2

典型例题

【典例 1】 (1) (略) ; (2)

-9-

【变式 1】 (1) (略) ; (2)3

【典例 2】 (1) (略) ; (2)

【变式 2】 (1)

; (2)

【典例 3】 (1) (略) ;(2)

;(3)

当堂检测 1.【答案】B → |OP·n| |-2-6+2| 【解析】P 点到平面 OAB 的距离为 d= = =2,故选 B. |n| 9 2.【答案】B 【解析】 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 设棱 长为 1, 1? → → ? 则 A1(0,0,1),E?1,0, ?,D(0,1,0),∴A1D=(0,1,-1),A1E 2 ? ? 1? ? =?1,0,- ?, 2? ?

y-z=0, ? ? 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1, y, z), 则? 1 1- z=0, ? ? 2
∴?
?y=2, ? ? ?z=2.

∴n1=(1,2,2).∵平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1),

- 10 -

2 2 ∴cos〈n1,n2〉= = . 3×1 3 2 即所成的锐二面角的余弦值为 . 3 2 3 3.【答案】 3 【解析】 建立如图空间直角坐标系, 则 D1(0,0,2), A1(2,0,2), D(0,0,0), B(2,2,0), → → → ∴D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0), → ? ?n·DA1=2x+2z=0 设平面 A1BD 的一个法向量 n=(x,y,z),则? → ? ?n·DB=2x+2y=0 令 x=1,则 n=(1,-1,-1), → |D1A1·n| 2 2 3 ∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 d= = = . |n | 3 3 4.(1)证明 如图,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2 3,0,0),C(2 3,6,0),

.

D(0,2,0),P(0,0,3),
→ → → ∴AP=(0,0,3),AC=(2 3,6,0),BD=(-2 3,2,0). → → → → ∴BD·AP=0, BD·AC=0. ∴BD⊥AP,BD⊥AC. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面 PAC. (2)解 平面 ABD 的一个法向量为 m=(0,0,1), 设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z), → → → 则 n·BD=0,n·BP=0.∵BP=(-2 3,0,3),

?-2 3x+2y=0, ∴? ?-2 3x+3z=0

?y= 3x, ? 解得? 2 3 z= x. ? 3 ?

m·n 1 令 x= 3,则 n=( 3,3,2),∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 2
∴二面角 P—BD—A 的大小为 60°.

A 组全员必做题

- 11 -

1.(1) (略) ; (2)

2.(1) (略) ; (2)

B 组提高选做题

(1)(略)

(2)

- 12 -


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