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福建省安溪八中2014届高三上学期9月份质量检测 数学文试题

福建省安溪八中 2014 届高三上学期 9 月份质量检测 数学文 试题 130926
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?? 1,2,5?, B ? ?? 1,1? ,下列结论成立的是( A. B ? A B. A ? B ? A C. A ? B ? B ) )

D. A ? B ? ?? 1?

2.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 xy = 0 ,则 x = 0 ”的否命题为:“若 xy = 0 ,则 x ? 0 B.“若 x + y = 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题为真命题
2 C.命题“? x0 ∈R,使得 2 x0 - 1 < 0 ”的否定是:“? x ∈R,均有 2 x 2 - 1 < 0 ”

D.命题“若 cos x = cos y ,则 x = y ”的逆否命题为真命题 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( A. y ?
1 x

)

B. y ? e ? x

C.. y ? ? x 2 ? 1

D. y ? lg | x | )

4.若函数 f(x)=x+ A.1+ 2

1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2

B.1+ 3

C.3 D.4 5.不等式(x+5) (3-2x)≥0 的解集是( ) 3 3 A.{x | x≤-5 或 x≥ } B.{x |-5≤x≤ } 2 2 3 3 C.{x | x≤- 或 x≥5} D.{x |- ≤x≤5} 2 2 1 6.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+x,则 f(-1)=( A.2 B.1 C.0 D.-2 7.函数 y= 的定义域是( log2(x-2) 1 )

)

A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞) 8.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( )

A. e C.
ln 2 2

B. D. ln 2

e2

9.“ a ? 5 ”是“函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在区间(1,2)上递减”的( A.充分不必要 要 10.下列命题正确的是( A.若 x ? k? , k ? Z ,则
2

)条件 D.既不充分也不必

B .充要

C.必要不充分

)
4 sin x ? ?4 1 ? sin 2 x

B.若 a ? 0, 则 a ?

4 ? ?4 a

lg a ? lg b ? 2 lg a ? lg b C.若 a ? 0, b ? 0 ,则

b a ? ?2 a ? 0, b ? 0 ,则 a b D.若

11 . 已 知 命 题 p : " ?x ? [0,1],a ? e x ".命题q : "?x ? R ,   x2 ? 4 x ? a ? 0". 若 命 题
" p ? q " 是真命题,则实数 a 的取值范围(

) D. (??,1]
y y

A. [e, 4]
y 1 O 1

B. [1,4]
y

C. (4, ??)

1 x O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

y?

12、函数

e x ? e? x e x ? e ? x 的图像大致为 (

).

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 集合 A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为__________.
?x ? 2 ? 14.已知实数 x 、y 满足 ? y ? 2 , z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 则 ?x ? y ? 3 ? 0 ?



15.不等式

x ? 0 的解为_________. 2x ?1

2 16..在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= x 的图象交 于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) 17、 (本题满分 12 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x< a}. (1)求 A∪B;(?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,ax2+bx+3≥0 的解集为 R.
1? a ? 1(a ? R ) x

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

?7x-5y-23≤0, 20. (本题满分 12 分)已知 x、y 满足条件:?x+7y-11≤0, ?4x+y+10≥0.
求:(1)4x-3y 的最大值和最小值; (2) x 2 ? y 2 的最大值和最小值. 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e x 。 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值。 22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? mx. (Ⅰ)当 m ? ?3 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围;

(Ⅲ)若 m ? ?1 , ?ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x) 的图象 上,且 x1 ? x2 ? x3 ,a 、b 、c 分别为 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边。求证:
a 2 ? c2 ? b2 .
参考答案 一、选择题 DBCCB DCACD AA 二、填空题 13. -3 14.1 15. (0, )

1 2

16. 4

三、解答题 17.解: (1)A∪B={x|4≤x<8}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}; ?RA={x|x<4 或 x≥8}, (?RA)∩B={x|2<x<4 或 8≤x<10}. (2)若 A∩C≠?,则 a>4. 18 解:(1)由根与系数的关系解得 a=3. 3 所以不等式变为 2x2-x-3>0,解集为(-∞,-1)∪( ,+∞). 2 (2)由题意知,3x2+bx+3≥0 的解集为 R, Δ=b2-4×3×3≤0,解得 b 的取值范围是[-6,6]. 19【解析】解: 当 a ? ?1时,f ( x) ? ln x ? x ? 所以

2 ? 1, x ? (0,??), x

f ' ( x)

因此, f(2) 1, ?

. …………………… 即 曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线斜率为1,


f (2) ? ln 2 ? 2,

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,
所以曲线

即x ? y ? ln 2 ? 0.

?7x-5y-23≤0 ? 20.解: (1)不等式组?x+7y-11≤0 表示的公共区域如图所示: ?4x+y+10≥0 ?

其中 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2), 设 z=4x-3y,直线 4x-3y=0 经过原点(0,0)作一组与 4x-3y=0 平行的直线 l:4x-3y=z, 则当 l 过 C 点时,t 值最小;当 l 过点 B 时,t 值最大. ∴zmax=4×(-1)-3×(-6)=14, zmin=4×(-3)-3×2=-18 21【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? ( x ? k ? 1)e . 令 f ?? x ? ? 0 ,得 x ? k ? 1 . f (x) 与 f ?(x) 的情 :
3

况如下: x ( ? ?, k ? k ) — ↗

k ?1
0

( (k ? 1,??) + ↗

f ?(x) f (x)

? e k ?1

所以, f (x) 的单调递减区间是( ? ?, k ? 1 ) ;单调递增区间是 (k ? 1,??) (Ⅱ)当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,函数 f (x) 在[0,1]上单调递增,所以 f (x)在区间[0, 1]上的最小值为 f (0) ? ? k ; 当 0 ? k ? 1 ? 1, 即1 ? k ? 2 时,由(Ⅰ)知 f ( x)在[0, k ? 1] 上 单调递减,在 (k ? 1,1] 上单调递增,所以 f ( x) 在区间[0,1]上的最小值为 f (k ? 1) ? ?e k ?1 ; 当 k ? 1 ? t , 即k ? 2 时,函数 f ( x) 在[0,1]上单调递减,所以 f ( x) 在区间[0,1]上的最小 值为 f (1) ? (1 ? k )e.

22.解析: (Ⅰ)) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ?

1 ? 2 x ? m ,..........1 分 x

m ? ?3 时, f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? = 0 ,得 x ? 或x ? 1 .............2 分 2 x x

f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

1 (0, ) 2

1 2

1 ( ,1) 2

x

1

(1,??)
+

f ?(x)
f (x)

+

?

........ ...........4 分

1 5 f ( x)极大值 ? f ( ) ? ? ln 2 ? 2 4

,

f ( x)极小值 ? f (1) ? ?2 .........5 分

(Ⅱ)函数 f ( x) 在定义域内为增函数,

? x ? 0时, f ?( x) ?

1 ? 2 x ? m ? 0 恒成立, ? m ? ?( 1 ? 2 x) ( x ? 0) 恒成立。............7 分 x x

2 1 时取等号),........9 分 ? x ? 0,? ? 2 x ? 2 2 (当且仅当 x ? x 2

1 ? ( ? 2 x) max ? ?2 2 , m ? ?2 2 .........10 分 x
( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , m ? ?1 时 , f ( x) 在 (0,??) 为 增 函 数 , ?ABC 的 三 个 顶 点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 )







f ( x)













x1 ? x2 ? x3 ,? y1 ? y2 ? y3 ...........11 分
a 2 ?| BC |2 ? ( x3 ? x2 ) 2 ? ( y3 ? y2 ) 2 , c 2 ?| AB |2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 b 2 ?| AC |2 ? ( x3 ? x1 ) 2 ? ( y3 ? y1 ) 2 ? [( x3 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )]2 ? [( y3 ? y2 ) ? ( y2 ? y1 )]2

? ( x3 ? x2 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y3 ? y2 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 2[( x3 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? ( y3 ? y2 )( y2 ? y1 )]
.....13 分

? a2 ? c2 .
即 a 2 ? c 2 ? b 2 ...............14 分