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选修2-2—— 合情推理


第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理

1.问题导航 (1)归纳推理的含义是什么?有怎样的特征? (2)类比推理的含义是什么?有怎样的特征? (3)合情推理的含义是什么? 2.例题导读 通过 P71 例 1 的学习,感悟归纳推理的思想,学会如何由个别事实概括出一般结论的方 法.通过 P73 例 2 的学习,结合具体问题,感悟类比推理的思想,学会如何寻找两类对象的 类比点.

1.归纳推理和类比推理 归纳推理 类比推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推 由两类对象具有某些类似特征和其中一 出该类事物的全部对象都具有这些特征 类对象的某些已知特征, 推出另一类对象 定义 的推理, 或者由个别事实概括出一般结论 也具有这些特征的推理称为类比推理(简 的推理,称为归纳推理(简称归纳) 称类比) 归纳推理是由部分到整体、 由个别到一般 特征 类比推理是由特殊到特殊的推理 的推理 2.合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行 含义 归纳、类比,然后提出猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情 推理是指“合乎情理”的推理 过程 从具体问 观察、分析、 归纳、 提出 → → → 题出发 比较、联想 类比 猜想

1.判断(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)统计学中, 从总体中抽取样本, 然后用样本估计总体, 这种估计属于类比推理. ( (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.(2015· 太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

)

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(

)

A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 答案:C 3.根据归纳推理,数列 2, 5,2 2,( ), 14, 17,?, 括号中应该填________. 答案: 11 a1+a2+?+an 4.若数列{an}(n?N*)是等差数列,则有 bn= (n?N*)也为等差数列;类 n 比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列,且 cn>0(n?N*),则有 dn=________(n?N*) 也是等比数列. n 答案: c1c2?cn 1.对归纳推理的理解 (1)归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断,而结论是关于该类事物或现象 的普遍性的判断,从而归纳推理是一种由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一定的事实材料,有了个别的、特殊性的 事实作为前提,然后才能进行归纳推理.因此,归纳推理要在观察和试验的基础上进行.其 基本过程如下: 试验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 2.对类比推理的理解 (1)类比是人们由已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以已有的 认识为基础,类比出新的结论; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比推理所得到的结论是猜测的,不一定可靠. 3.归纳推理的作用 (1)发现新事实. (2)提供研究方向,由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (3)归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚未知道的现象,因而结论具有 猜测性.要特别注意归纳推理所得出的命题不一定正确. 4.类比推理的作用 类比推理是以旧知识为基础,推测新结果,具有发现新结论的功能.类比推理在数学发 现中具有重要的作用.例如通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等之间的类 比,可以从熟悉的知识中获得启发,发现新问题、新结论及其研究的方法.

归纳推理 2an (1)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n?N*),则可归纳猜想{an}的通项公式为 2+an ( ) 2 A.an= n 1 C.an= n 2 B.an= n+1 1 D.an= n+1

4 1 2× 3 2 2 2a1 2 2a2 2 2a3 [解析] 由已知得 a1=1, a2= = , a= = = , a= = = , ?, 2 4 4 2+a3 1 5 2+a1 3 3 2+a2 2+ 2+ 3 2 2 由此可猜想 an= . n+1 [答案] B (2)如图所示,黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成若干个图案, 则第 n 个图案中白色地板砖的块数是( )

A.4n+2 B.4n-2 C.2n+4 D.3n+3 [解析] 由图可知,当 n=1 时,a1=6;当 n=2 时,a2=10;当 n=3 时,a3=14.由此 推测,第 n 个图案中白色地板砖的块数是 an=4n+2. [答案] A 2 2+1 2 2+2 2 2+3 (3)已知 < , < , < ,?,推测猜想一般性结论为________. 3 3+1 3 3+2 3 3+3 [解析] 每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数,因此可 b b+m 猜测: < (a,b,m 均为正数,且 a>b). a a+m b b+m [答案] < (a,b,m 均为正数,且 a>b) a a+m (1)由已知数式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律. ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征. ③提炼出等式(或不等式)的综合特点. ④运用归纳推理得出一般结论. (2)归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展 现数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是: 寻找 从图形的数量规律入手,寻找数值变化 ― → 关系 与数量的关系 ↓ 结构 ― →从图形的结构变化规律入手,找到图形 联系 的结构每发生一次变化后,与上一次比 较,数值发生了怎样的变化 ↓ 归纳 ― →常转化为数列中的归纳推理问题,如可 结论 通过图形展现的有关数据,构造某一数 列的前几项,然后利用归纳数列的某一 问题进行解决

1.(1)数列 1,2,3,5,8,?第 7 项的值为(

)

A.13 B.21 C.34 D.55 解析:选 B.观察数列 1,2,3,5,8,?从第 3 项起,每一项都是它前两项的和,那么 第 6 项为 5+8=13,第 7 项为 8+13=21. 2π (2)函数 f1(x)=sin x 的周期 T1=2π ,f2(x)=sin 2x 的周期 T2= =π ,f3(x)=sin 3x 的 2 2π 周期 T3= . 3 ?? 推测函数 fn(x)=sin nx(n?N*)的周期是________. 2π 答案: n (3)根据下图中线段的排列规则,试猜想第 8 个图形中线段的条数为________.

解析:分别求出前 4 个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形①到④中线段的 条数分别为 1,5,13,29,因为 1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可猜想 + 第 8 个图形中线段的条数应为 28 1-3=509. 答案:509 类比推理 T20 T30 T40 (1)在公比为 4 的等比数列{bn}中, 若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积, 则有 , , T10 T20 T30 也成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,相应地,在公差为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和.可类比得到的结论是____________. [解析] 因为等差数列{an}的公差 d=3, 所以(S30-S20)-(S20-S10) =(a21+a22+?+a30)-(a11+a12+?+a20) =10d+10d+?+10d10 个 =100d=300, 同理可得:(S40-S30)-(S30-S20)=300, 所以数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 是等差数列,且公差为 300. 即结论为:数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等差数列,且公差为 300. [答案] 数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等差数列,且公差为 300 (2)请用类比推理完成下表: 平面 空间 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面 三角形两边之和大于第三边 的面积 三角形的面积等于任意一边的长度与这条边 三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面 上高的乘积的一半 上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周 长的乘积的一半 [解析] 本题由已知前两组类比可得到如下信息:①平面中的三角形与空间中的三棱锥 是类比对象; ②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象; ③三角形边上的高与 三棱锥面上的高是类比对象; ④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象; ⑤三角形的面积 公式中的“二分之一”,与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 由以上分析可知:

三角形 的 面积 等于其 内切圆 半径与 三角形周长 的乘积的 一半 ↓类比 ↓类比 ↓类比 ↓类比 ↓类比 三棱锥 的乘积的 三分之一 表面积

三棱锥 的 体积 等于其 内切球 半径与

[答案] 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 (1)对于数列中的类比问题,除了等差数列和等比数列是一类重要的类比对象外,还可 以将等差数列、等比数列的定义、性质等进行推广,与其他相关数列问题进行类比. (2)几何之间类比的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论. ③如果类比的两类事物的相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间越相关, 那么由类 比得出的结论就越可靠. 2.(1)当 a,b,c?R 时,(a+b)· c=ac+bc,类比可得平面向量 a,b,c 也有________. 答案:(a+b)· c=a· c+b· c (2)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4;类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为________. 解析:假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2, 如图所示,正四面体 ABCD 的棱长为 1,取 BC 的中点 E,连接 ED,作 AO⊥ED 于点 2 2 3 3 O,则 OD= ED= × = .又在 Rt△AOD 中, 3 3 2 3 6 3 2 AO= 1-OD2= 1-? ? = , ?3? 3

1 1 1 3 6 2 则 V 正四面体 ABCD= S△BCD×AO= × × ×1× = . 3 3 2 2 3 12 同理可得棱长为 2 的正四面体 A′B′C′D′的体积 V 正四面体 A′B′C′D′= 所以 V 正四面体 ABCD∶V 正四面体 A′B′C′D′= 2 2 2 ∶ =1∶8. 12 3 2 2 . 3

答案:1∶8 (3)已知点 A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函数 y=ax(a>1)图象上任意不同的两点,依据图象可 x ax1+ax2 x + 2 知,线段 AB 总是位于 A,B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 >a 成立.运 2 用类比思想方法可知,若点 A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函数 y=sin x(x?(0,π ))图象上任 意不同的两点,则类似地有________成立. 解析:运用类比思想与数形结合思想,可知 y=sin x(x?(0,π))的图象是上凸的,因此 sin x1+sin x2 线段 AB 的中点的纵坐标 总是小于函数 y = sin x(x?(0 ,π )) 图象上的点 2 ?x1+x2,sinx1+x2?的纵坐标,即sin x1+sin x2<sinx1+x2成立. 2 2 2 ? ? 2 sin x1+sin x2 x1+x2 答案: <sin 2 2
1 2

易错警示

因类比对象选取的性质不当致误

若数列{an}的首项为 a1,且满足从第二项起,以后每一项与前一项的和都是同一 个常数 s,求数列{an}的通项公式. [解] 由题中定义知 an+an-1=s(n≥2,n∈N*), s? s 于是 an- =-? ?an-1-2?, 2 s s an-2- ? 所以 an- =(-1)2? 2? ? 2 s ? =(-1)3? ?an-3-2? =? s? - =(-1)n 1? ?a1-2?, s? s - 即 an= +(-1)n 1? ?a1-2?. 2 可检验 n=1 时,上式也成立. s? s - 故{an}的通项公式为 an= +(-1)n 1? ?a1-2?. 2 [错因与防范] 类比推广型试题, 应采取根据一个对象具有某种性质, 推导另一个对象也具有这一性质 的推理方式,因此求解类比推理问题的关键在于确定类比物,建立类比项.如果不抓住类比 的本质及规律会出现错误推广. 1 1 1 3.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D,求证: 2= 2+ 2,那么在四面体 AD AB AC ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 解:如图①所示,由射影定理得

图① AD2=BD· DC,AB2=BD· BC,AC2=CD· BC, 1 1 所以 2= AD BD·DC BC2 = BC·BC·BD·DC BC2 = 2 . AB ·AC2 又 BC2=AB2+AC2, 1 1 1 所以 2= 2+ 2. AD AB AC 类比猜想: 四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD, 1 1 1 1 则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD 如图②,连接 BE 交 CD 于点 F,连接 AF,

图② 因为 AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 所以 AB⊥平面 ACD, 而 AF?平面 ACD,所以 AB⊥AF, 在 Rt△AEF 中,AE⊥BF, 1 1 1 所以 2= 2+ 2 AE AB AF 易知在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 1 1 1 所以 2= 2+ 2, AF AC AD 1 1 1 1 所以 2= 2+ 2+ 2,猜想正确. AE AB AC AD 1.归纳推理和类比推理的相似之处为( ) A.都是从一般到一般 B.都是从一般到特殊 C.都是从特殊到特殊 D.所得结论都不一定正确 解析:选 D.归纳推理是由特殊到一般的推理,类比推理是从特殊到特殊的推理,其结 果都具有猜测性,不一定正确. 2.观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 5 6 9 三棱柱 6 6 10 五棱锥 6 8 12 立方体 猜想一般凸多面体中,F,V,E 所满足的等式是________. 解析:因为 5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2, 所以 V+F-E=2. 答案:V+F-E=2 3.如图, 在长方形 ABCD 中, 对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α、 β, 则 cos2α +cos2 β =1,则在立体几何中,给出类比猜想.

解:考虑到平面几何中为长方形,故可联想到立体几何中的长方体,如图所示.

a? ?b? a +b c 在长方形 ABCD 中,cos α+cos β=? ?c? +?c? = c2 =c2=1.
2 2

2

2

2

2

2

于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α、β、γ,则

cos2α+cos2β+cos2γ=1.

[A.基础达标] 1.观察数列 1,5,14,30,x,?,则 x 的值为( ) A.22 B.33 C.44 D.55 解析:选 D.观察归纳得出,从第 2 项起,每一项都等于它的前一项与它本身项数的平 方和, 即 an=an-1+n2,所以 x=30+52=55. 1 3 1 1 5 1 1 1 7 2.观察式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可归纳出第 n-1 个式 2 2 2 3 3 2 3 4 4 子为( ) 1 1 1 1 A.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n-1 1 1 1 1 B.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n+1 1 1 1 2n-1 C.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n n 1 1 1 2n D.1+ 2+ 2+?+ 2< 2 3 n 2n+1 2n-1 ?1? 解析:选 C.观察可得第 n-1 个不等式的左边为?n2?的前 n 项的和,右边为分式 , n ? ? 故选 C. 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an =( ) 2 2 A. 2 B. (n+1) n(n+1) 2 2 C. n D. 2 -1 2n-1 1 1 1 解析:选 B.由 a1=1,可得 a1+a2=4a2,即 a2= ,同理可得 a3= ,a4= ,所以选 3 6 10 B. 4.观察如图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

A. B.△ C.? D.○ 解析:选 A.题中图形涉及三种符号,其中圆形与三角形各有 3 个,且各自有二黑一白, 所以缺一个 符号,即应画上 5.观察下列数表规律 才合适.故选 A.

A.↑2 015→ C.→2 015 ↑

?则数 2 015 的箭头方向是( B.↓2 015→ D.→2 015 ↓

)

解析:选 D.因上行奇数是首项为 3,公差为 4 的等差数列,若 2 015 在上行,则 2 015 =3+(n-1)· 4?n=504?N*,故 2 015 在上行,又因为在上行奇数的箭头为→an↓,故选 D. 1 1 1 9 6.在△ABC 中,有 + + ≥ A B C π 1 1 1 1 16 在四边形 ABCD 中, + + + ≥ , A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 在五边形 ABCDE 中,有 + + + + ≥ , A B C D E 3π 则在 n 边形 A1A2A3?An 中有________. 1 1 1 1 n2 答案: + + +?+ ≥ A1 A2 A 3 An (n-2)π 7.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则有 S2n-1=(2n-1)an;类似地,若 Tn 是等比数 列{bn}的前 n 项积,则有 T2n-1=________. n-1 解析:T2n-1=b1·b2·b3·?·b2n-1=b2 . n 2n-1 答案:bn S△PA′B′ PA′ PB′ VP?A′B′C′ 8.根据图(1)的面积关系: = · ,可猜想图(2)有体积关系: = PA PB S△PAB VP?ABC ________.

解析:题干两图中,与△PAB,△PA′B′相对应的是三棱锥 PABC,P?A′B′C′; 与△PA′B′两边 PA′,PB′相对应的是三棱锥 PA′B′C′的三条侧棱 PA′,PB′,PC′.与△PAB 的两条边 PA,PB 相对应的是三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA,PB,PC.由此,类比题图(1)的 VP?A′B′C′ PA′ PB′ PC′ 面积关系,得到题图(2)的体积关系为 = · · . PA PB PC VP?ABC PA′·PB′·PC′ 答案: PA·PB·PC 9.已知 a1=3,an+1=a2 n(n=1,2,?),试通过归纳推理得出数列{an}的通项公式,并 给出证明. 解:由 a1=3,an+1=a2 n, 2 2 2 得 a2=3 ,a3=(3 ) =322,a4=(322)2=323, - a5=(323)2=324,?,an=32n 1(n=1,2,?). 证明如下: 由条件知 an>0,于是 lg an+1=lg a2 n=2lg an(n=1,2,?). - 又因为 lg a1≠0, 故{lg an}是以 2 为公比的等比数列, 进而得 lg an=2n 1lg 3, 即 an=32n -1 (n=1,2,?). x2 y2 10.已知椭圆 C: 2+ 2=1 具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,点 a b P 是椭圆 C 上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 x2 y2 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 试对双曲线 2- 2=1 写出具有类似特性的性质, 并加以 a b 证明. x2 y2 解:类似的性质:若 M,N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两点,点 P 是双曲线 a b 上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与 点 P 位置无关的定值.证明如下:

m2 n2 设 M(m,n),则 N(-m,-n),其中 2 - 2=1, a b y-n y+n 设 P(x,y),由 kPM= ,k = , x-m PN x+m y-n y+n y2-n2 得 kPM·kPN= · = , x-m x+m x2-m2 b2 b2 b2 将 y2= 2x2-b2,n2= 2m2-b2 代入得 kPM·kPN= 2. a a a [B.能力提升] 1 1.若数列{an}的通项公式 an= (n?N*),记 f(n)=(1-a1)(1-a2)?(1-an),则 (n+1)2 通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,可推测出 f(n)为( ) n+2 n+2 A. B. n+3 2n+2 n+2 n C. D. 2n+1 2n+1 1 解析:选 B.∵an= , (n+1)2 1 1 1 ∴a1= ,a2= ,a3= . 4 9 16 3 ∴f(1)=1-a1= , 4 1 1 4 1- ??1- ?= , f(2)=? 4 ? ?? 9? 6 3 8 15 5 f(3)= × × = . 4 9 16 8 n+2 ∴推测 f(n)= . 2n+2 2.如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字 标签:原点处标 0,点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1)处标 3,点(-1,-1)处 标 4,点(-1,0)处标 5,点(-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7??依此类推,则标签为 2 0152 的格点的坐标为( )

A.(1 006,1 005) B.(1 007,1 006) C.(1 008,1 007) D.(1 009,1 008) 解析:选 C.点(1,0)处标 1=12,点(2,1)处标 9=32,点(3,2)处标 25=52,点(4,3) 处标 49=72??依此类推得点(1 008,1 007)处标 2 0152.故选 C. 1+an 3. 已知数列{an}满足 a1=2, an+1= (n?N*), 则 a3 的值为________, a1· a2· a3· ?· a2 1-an 015 的值为________. 1 1 解析:法一:分别求出 a2=-3,a3=- ,a4= ,a5=2,可以发现 a5=a1,{an}是以 4 2 3 为周期的数列, 且 a1· a2· a3· a4=1, 故 a1· a2· a3· ?· a2 015=(a1· a2· a3· a4)· (a5· a6 · a7· a8)· ?· (a2 a2 013·a2 014·a2 015=a1·a2·a3=3. 009·a2 010·a2 011·a2 012)·

1+an π 法二: 由 an+1= , 联想到两角和的正切公式, 设 a1=2=tan θ, 则有 a2=tan? +θ?, ?4 ? 1-an π 3 π a3 = tan ? +θ? , a4 = tan ? +θ? , a5 = tan( π+ θ) = a1 , ? ,则 a1 · a2 · a3 · a4 = 1 ,故 ?2 ? ? 4 ? a1·a2·a3·?·a2 015=a2 013·a2 014·a2 015=a1·a2·a3=3. 1 答案:- 3 2 4.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,?,则 72 015 的末两位数字为________. 解析:∵71=07 72=49 73=343 74=2 401 75=16 807 76=117 649 ?? 观察可见 7n(n?N*)的末两位数字呈周期出现,且周期为 4, 又∵2 015=503×4+3, ∴72 015 与 73 末两位数字相同为 43. 答案:43 5.如图, 已知 O 是△ABC 内任意一点, 连接 AO, BO, CO 并延长交对边于 A′, B′, C′, OA′ OB′ OC′ 则 + + =1. AA′ BB′ CC′

这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”: OA′ OB′ OC′ S△OBC S△OCA S△OAB S△ABC + + = + + = =1. AA′ BB′ CC′ S△ABC S△ABC S△ABC S△ABC 请运用类比推理, 对于空间中的四面体 VBCD, 存在什么类似的结论?并用“体积法” 证明. 解:如图,在四面体 VBCD 中,任取一点 O,连接 VO,DO,BO,CO 并延长分别交 四个面于点 E,F,G,H.

OE OF OG OH + + + =1. VE DF BG CH 证明:在四面体 OBCD 与 VBCD 中, 1 S△ ·h1 V四面体OOE h1 3 BCD BCD = = = , VE h 1 V四面体VBCD S△BCD·h 3 OF V四面体OVBC 同理有: = ; DF V四面体DVBC 则

OG V四面体OVCD = ; BG V四面体BVCD OH V四面体OVBD = . CH V四面体CVBD OE OF OG OH ∴ + + + VE DF BG CH V四面体OBCD+V四面体OVBC+V四面体OVCD+V四面体OVBD = V四面体VBCD V四面体VBCD = =1. V四面体VBCD 6.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图①②③④所示的是该少数民族刺绣的最简单 的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形数越多,刺绣越漂亮.现按同样的 规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求 f(5)的值; (2)归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式; 1 1 1 1 (3)求 + + +?+ 的值. f(1) f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1 解:(1)f(5)=41. (2)f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?? 由以上规律,得 f(n+1)-f(n)=4n. 所以 f(n+1)=f(n)+4n, f(n)=f(n-1)+4(n-1) =f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. 1 1 1 1 1 (3)当 n≥2 时, = = ?n-1-n?, ? f(n)-1 2n(n-1) 2? 1 1 1 1 所以 + + +?+ f(1) f(2)-1 f(3)-1 f(n)-1 1 1 1 1? 1?1 1? 1 1 - ? - + - +?+ ? =1+ ? 2?1 2? 2?2 3? 2?n-1 n? 1 1 1- ? =1+ ? 2? n? 3 1 = - . 2 2n


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