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河北省正定中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


高一第二学期期末考试 数学试题
第I卷 客观题(60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给的四个选项中,只有 一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 1. 已知集合 A = {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 A I B ?

A . (1,3)

B. (1,4)

C. (2,3)

D. (2,4)

2. 两直线 (2m ? 1) x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m 的值为

A. 0

B.

6 11

C.

6 13

D. 0或

6 13

3. 已知不重合的直线 m、 l 和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? .给出下列命题: ①若 ? / / ? ,则 m ? l ;②若 ? ? ? ,则 m / / l ;③若 m ? l ,则 ? / / ? ; ④若 m / / l ,则 ? ? ? ;其中正确命题的个数是

A .1

B. 2

C. 3

D. 4
2 正(主)视图

1 1 1 侧(左)视图

4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是

A. 2? 5

B. 5

C. 4 ? 5

D. 2 ? 2 5

? x ? y ? 0, ? 5. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若 z ? ax ? y 的最 ? y ? 0. ?
大值为 4,则 a ?

俯视图

A. 2

B. 3
a

C. ?2
b

D. ?3
c

?1? ?1? 6. 设 a,b,c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c ,则 ?2? ?2? 2 2
A. a ?b ? c
B. c ? b? a C . c ? a? b D. b ? a ? c

7. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3
2

D.
2

5π 6

8. 一条光线从点 (?2, ?3) 射出,经 y 轴反射与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 相切,则反射光线所

在的直线的斜率为

5 3 A. ? 或? 3 5

B. ?

3 3 或? 2 2

C. ?

5 4 或? 4 5

D. ?

4 3 或? 3 4

9. 已知数列 ?an ? 满足 a2 ? 102, an?1 ? an ? 4n, (n ? N* ) ,则数列 ?

? an ? ? 的最小值是 ?n?

A . 25

B. 26

C. 27

D. 28

10. 三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA ? 平面ABC , AB ? BC , 又 SA ? AB ? BC ? 1 ,则球 O 的表面积为

A.

3 ? 2

B.

3 ? 2

C. 3 ?
*

D. 12 ?

11. 已知数列 ?an ? 满足 an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N ) ,定义:使乘积 a1 ? a2 ? a3 L ak 为正整数

? 内所有的“期盼数”的和为 的 k (k ? N ) 叫做“期盼数” ,则在区间 ?1,2011
*

A . 2036

B. 4076

C. 4072

D. 2026

12. 已知圆 O 的半径为 1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点,那么 PAgPB 的最小 值为

uuv uuv

A . ?3 ? 2 2

B. ?3 ? 2

C. ?4 ? 2 2

D. ?4 ? 2

第 II 卷
r r
r r r r

主观题(90 分)
r r 1 ,则 a ? 2b ? ______. 2
sin 2 A ? sin C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.) 13. 设向量 a, b 满足| a |=| b |=1, a ? b = ? 14.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则



15. 已知在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正弦值是 16.数列 {an }满足a1 ? .

2, an?1 ?

1 ? an , 则{an } 的前 80 项的和等于 1 ? an

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.(本小题满分 10 分)设圆上的点 A(2,3) 关于直线 x ? 2 y ? 0 的对称点仍在圆上,且与直

线 x ? y ? 1 ? 0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

18.(本小题满分 12 分)设 f ( x) ? sin x cos x ? cos ( x ?
2

?
4

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面 积的最大值.

A 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 面 体 ABCD 中 , O, E 分 别 BD, BC 的 中 点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ?

2.

(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离.

20.(本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设 圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求 切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M ,使 | MA |? 2 | MO | ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围. O y A l

x

21.(本小题满分 12 分)如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , G, H 分别为 AC , BC 的中点. (Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE ,

?BAC ? 45? ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)
的大小.

2 22.(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ) ,

设 cn ? log5 (an ? 3) . (Ⅰ)求证: ?cn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?

1 1 1 ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ? . 4 an ? 6 an ? 6an

高一下期末考试答案
1----12CCBDA 13. 3 14.1 ABDBC 15. DA 16. -70 2

10 10

17. 解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为 r, ∵点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点 A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线 x+2y=0 上,.......2 分 ∴a+2b=0, ..........4 分 ① 2 2 2 (2-a) +(3-b) =r . ② 又直线 x-y+1=0 截圆所得的弦长为 2 2, a-b+1 2 2 2 ∴r -( ) =( 2) ..........6 分 ③ 2 解由方程①、②、③组成的方程组得:

b=-3, ? ? ?a=6, ? ?r2=52.

b=-7, ? ? 或?a=14, ? ?r2=244,

..........8 分

∴所求圆的方程为 2 2 2 2 (x-6) +(y+3) =52 或(x-14) +(y+7) =244...........10 分 18. f ( x) ? 由 2 k? ?

?
2

1 1 ? 1 1 1 1 sin 2 x ? [1 ? cos(2 x ? )] ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 x ? 2 k? ?

?

2

, k ? Z 得 k? ?

?

则 f ( x) 的递增区间为 [ k? ? 由 2 k? ?

?
4

, k? ?

?
4

4

? x ? k? ?

?

4

,k ?Z ,

], k ? Z ;

3? ? 3? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 2 4 4 ? 3? ], k ? Z . 则 f ( x) 的递增区间为 [ k? ? , k? ? 4 4 A 1 1 ? (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中, f ( ) ? sin A ? ? 0,sin A ? , A ? ,而 a ? 1, 2 2 2 6 ? 2 x ? 2 k? ?
2 2 由余弦定理可得 1 ? b ? c ? 2bc cos

?

?

6

? 2bc ? 3bc ? (2 ? 3)bc , 当且仅当 b ? c 时等号成

立,即 bc ?

1 1 1 ? 1 2? 3 ? 2 ? 3 , S?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc ? , 2 2 6 4 4 2? 3
2? 3 . 4
? BO ? DO, BC ? CD,?CO ? BD.

故 ?ABC 面积的最大值为 19. (I)证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD.

在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC .

? BD ? OC ? O,

? AO ? 平面 BCD

(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角
在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?
解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

? cos ?OEM ?

2 , (III) 4

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

A

M O D C

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2

B



E

AO ? 1, S?CDE

3 1? AO.S ?CDE 1 3 2 3 2 ? 21 . ? ? ? ?2 ? , ?h ? S ?ACD 7 2 4 2 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为

21 . 7

20.解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

2 2 2 2 又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为(x,y)则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
12 5
z D E F

由 5a 2 ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

? 12 ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0, ? ? 5?
21. 解: (Ⅰ)证明:连接 DG,DC,设 DC 与 GF 交于点 T. 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, 则 AC ? 2 DF , 而 G 是 AC 的中点,DF//AC,则 DF / /GC , 所以四边形 DGCF 是平行四边形,T 是 DC 的中点,DG//FC. 又在 ?BDC ,H 是 BC 的中点,则 TH//DB, 又 BD ? 平面 FGH , TH ? 平面 FGH ,故 BD / / 平面 FGH ;
? (Ⅱ)由 CF ? 平面 ABC ,可得 DG ? 平面 ABC 而 AB ? BC, ?BAC ? 45 ,

x A

G H B y

C

则 GB ? AC ,于是 GB, GA, GC 两两垂直,以点 G 为坐标原点, GA, GB, GC 所在的直线 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ,则 DE ? CF ? 1, AC ? 2 2, AG ? 2 ,

B(0, 2, 0), C (? 2, 0, 0), F (? 2, 0,1), H (

2 2 ,? , 0) , 2 2

则平面 ACFD 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) ,

??

u u r uuu r ? 2 2 ? u u r x2 ? y2 ? 0 ? ?n2 ? GH ? 0 设平面 FGH 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? u ,即 ? 2 , 2 u r uuu r n ? GF ? 0 ? ? ? 2 ? ? 2 x2 ? z2 ? 0 u u r 取 x2 ? 1 ,则 y2 ? 1, z2 ? 2 , n2 ? (1,1, 2) ,
u r u u r cos ? n1 , n2 ??
22.解:(Ⅰ)由

1 1 ? ,故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60? . 1?1? 2 2

2 2 an?1 ? an ? 6an ? 6, 得 an?1 ? 3 ? (an ? 3) . ?log (a ? 3) ? 2log (a ? 3) , 5 n?1 5 n



Cn?1 ? 2Cn , ??Cn ? 是以2为公比的等比数列

………4分

(Ⅱ) 又 C1 ? log5 5 ? 1

?Cn ? 2n?1 即 log5 (an ? 3) ? 2n?1 ,
n?1

? an ? 3 ? 52 .
(Ⅲ)? bn ?

故 an ? 52

n?1

? 3.

…………8 分

1 1 1 1 ? 2 ? ? , an ? 6 an ? 6an an ? 6 an ?1 ? 6

?Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2n . a1 ? 6 an?1 ? 6 4 5 ?9
…………12 分



1 ? 0 ? Tn ? ? . 4 5 ?9
2n

1


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