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山东省临沂市2013届高三5月高考模拟考试理科数学试题(解析版)


山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟考试理科数学试题 (解析版)
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区 和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的. 1.复数

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

i3 (i 是虚数单位)的实部是 1 ? 2i
2 5
(B) ?

(A)

2 5

(C)

1 5

(D) ?

1 5

【答案】B

2 i3 ?i(1 ? 2i) ?i ? 2 2 1 ? ? ? ? ? i ,所以实部是 ? ,选 B. 5 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 5 5
2.集合 M ? ?2,log3 a? , N ? ?a, b?, 若 M ? N ? ?1? ,则 M∪N= (A) ?0,1, 2? 【答案】D 因为 M ? N ? ?1? ,所以 log3 a ? 1,即 a ? 3 ,所以 b ? 1 ,即 M ? ?2,1 , N ? ? 3,1 ,所以 ? ? (B) ?0,1,3? (C) ?0,2,3? (D) ?1, 2,3?

M ? N ? ?2,1,3? ,选 D.
3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关关系,根据一组样本数据

? 用最小二乘法建立的回归方程为 y ? ?10 x ? 200, 则下列结论正确的 ( xi , yi )(i ? 1, 2,…,n) ,

是 (A)y 与 x 具有正的线性相关关系 (B)若 r 表示变量 y 与 x 之间的线性相关系数,则 r ? ?10 (C)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 (D)当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右 【答案】D

? 当销售价格为 10 元时, y ? ?10 ?10 ? 200 ? 100 ,即销售量为 100 件左右,选 D.
4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0), b ?1, 则 a ? 2b ? (A) 3 【答案】B 因 为 (B) 2 3 (C)4 (D)12

? ? a ? 2 b ,?

1 ,





? a?

? b?

? ? c ? o ?b s a

1 6 ? 0 2

? , 2 所 ?以1

?2 ? ? ?2 a ? 2b ? a ? 4a ? b ? 4b ? 22 ? 4 ? 4 ? 12 ? 2 3 ,选 B.
开始

x ? 0, y ? 1, z ? 2

z ? x? y

y?z
x? y

z≤10 否 输出 z



第 5 题图

5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 (A)11 【答案】C (B)12 (C)13

结束

(D)14

第一次循环, x ? 1, y ? 2, z ? 1 ? 2 ? 3 ;第二次循环, x ? 2, y ? 3, z ? 2 ? 3 ? 5 ;第三次 循环, x ? 3, y ? 5, z ? 3 ? 5 ? 8 ;第四次循环, x ? 5, y ? 8, z ? 5 ? 8 ? 13 ,此时满足条件, 输出 z ? 13 ,选 C. 6.函数 y ? e
sin x

(? ≤x≤π) 的大致图象为 π

(A) 【答案】D

(B)

(C)

(D)

因 为 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 , 所 以 排 除 A,C. 函 数 的 导 数 为 y ' ? esin x ? cos x 由

y ' ? esin x ? cos x ? 0 ,得 cos x ? 0 ,此时 x ?
数递增。当

?
2

或x??

?
?
2 2

。当 0 ? x ?

?
2

时, y ' ? 0 ,函

?
2

? x ? ? 时, y ' ? 0 ,函数递减,所以 x ?

是函数的极大值,所以选 D.

7.某几何 体的三视图如图(其 中侧视图中的圆弧是半 圆) ,则 该几何 体的表面积 为
2 6 4 正视图 4 第 7 题图 5 俯视图 侧视图

π (A) 92 ? 14
π (C) 92 ? 24
【答案】A

π (B) 82 ? 14
π (D) 82 ? 24

由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为 2,高为 5 的圆柱 的一半. 长方体的中 EH ? 4,HG ? 4,GK ? 5 ,所以长方体的表面积为(去掉一个上底 面) 2(4? 4 ? 4? 5) ? 4? 5=92。半圆柱的两个底面积为 ? ? 2 =4? ,半圆柱的侧面积为
2

? ? 2 ? 5=10? , 所 以 整 个 组 合 体 的 表 面 积 为 92+4? ? 10? =92+14? , 选 A.

.

π π 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的最小正周期为 4 ,则 6
(A)函数 f ( x ) 的图象关于点( , 0 )对称 (B)函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? (C)函数 f ( x ) 的图象向右平移

π 3

π 对称 3

π 个单位后,图象关于原点对称 3

(D)函数 f ( x ) 在区间 (0,π ) 内单调递增 【答案】C 因为函数的周期 T ?

位后得到 f ( x) ? sin[ ( x ? ) ? ] ? sin( x) ,此时为奇函数,所以选 C. 2 3 6 2 9.双曲线 C :

1 ? 1 ? ,所以 f ( x ) ? sin( x ? 。当 x ? 时, ) ? 3 2 2 6 π ? 1 ? ? ? 3 ,所以 A ,B 错误。将函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单 f ( ) ? sin( ? ? ) ? sin ? 3 3 2 3 6 3 2 1 ? ? 1 ? 4? ,所以 ? ?

2?

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p>0) 相交于 A,B 两点, a 2 b2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为 (A) 2 【答案】B (B) 1 ? 2 (C) 2 2 (D) 2 ? 2

p p , 0) ,且 c ? ,所以 p ? 2c 。根据对称性可知公共弦 AB ? x 轴,且 2 2 p p p p AB 的 方 程 为 x ? ,当 x ? 时 , y A ? p , 所 以 A( , p )。 所 以 F1 ( ? , 0) , 即 2 2 2 2
抛物线的焦点为 F (

AF1 ? (?

p p 2 ? ) ? p 2 ? 2 p, AF ? p ,所以 2 p ? p ? 2a ,即 ( 2 ? 1)? 2c ? 2a , 2 2

所以

c 1 ? ? 2 ? 1 ,选 B. a 2 ?1

2 10.若集合 A ? x x ? 5 x ? 4<0 ; B ? x x ? a <1 , 则“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的

?

?

?

?

(A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】A

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

A ? x x 2 ? 5 x ? 4<0 ? {x 1 ? x ? 4} , B ? {x a ?1 ? x ? a ? 1} 。 若 B ? A , 则 满 足

?

?

?a ? 1 ? 1 ,解得 2 ? a ? 3 ,所以“ a ? (2,3) ”是“ B ? A ”的充分不必要条件,选 A. ? ?a ? 1 ? 4
11.若函数 f ( x) ? ?

1 ax e (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则 b

a ? b 的最大值是
(A)4 【答案】D 函数的导数为 f '( x ) ? ? (B) 2 2 (C)2 (D) 2

1 ax 1 a e ? a ,所以 f '(0) ? ? e0 ? a ? ? ,即在 x ? 0 处的切线斜率 b b b a 1 0 1 1 为 k ? ? , 又 f (0) ? ? e ? ? , 所 以 切 点 为 (0, ? ) , 所 以 切 线 方 程 为 b b b b
y? 1 a 1 ? ? x , ax ? by ? 1 ? 0 , ?1, 即 圆心到直线 ax ? by ? 1 ? 0 的距离 d ? b b a 2 ? b2
2 2 2 2

即 a ? b ? 1, 所以 a ? b ? 1 ? 2ab , 0 ? ab ? 即 所以 (a ? b) ? 2ab ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,即 a ? b ?
2

1 2 2 2 。 a ?b ? a ?b ) ? 2 ? 1 , 又 ( a b 2

2 ,所以 a ? b 的最大值是 2 ,选 D.

12. 已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 对任意的 x 都满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , ?1≤x<1 时, 当

f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 取值范围是
1 5 1 1 ( , ] ? 5, 7) ( (C) 7 5
【答案】A 由

( ( (A) 0, ]? 5, ??)

1 5 1 1 ( , ) [5, 7) ? (D) 7 5

( ? (B) 0, ) [5, ??)

f ( x ? 1) ? ? f ( x) 得 , f ( x 2?) ?
a

f (, ) 所 以 函 数 的 周 期 是 2. 由 x
, 分别作出函数 y ? f ( x), y ? m( x)=loga x 的

得 x= g ( x) ? f ( x) ? loga x =0 。 f ( )o l g

x

图 象 , 因 为 m(5)=loga 5 ? m(?5) 。 所 以 若 a ? 1 , 由 图 象 可 知 要 使 函 数

g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则满足 m(5)= loga 5 ? 1。此时 a ? 5 。若 0 ? a ? 1 ,
由图象可知要使函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则满足 m(?5)=loga 5 ? ?1 ,此 时0 ? a ?

1 1 ( ( 。所以 a 取值范围是 0, ]? 5, ??) ,选 A. 5 5

2013 年高考模拟试题

理科数学
2013.5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.

π 13.若 tan( ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ?
【答案】 ?

.

4 5



tan( ? ? ) ? 2 π



tan ? = ? 2







sin 2? ?

2sin ? cos ? 2 tan ? 2 ? (?2) 4 ? ? ?? 。 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 ? (?2) 5

14.某地政府调查了工薪阶层 1000 人的月工资收入,并把调查结果画成如图所示的频 率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要用分层抽样方法从调查的

( 1000 人中抽出 100 人作电话询访,则 30,35] (百元)月工资收入段应抽出

人.

【答案】15

(30,35]
1? (





























0? .

0 ?2

0? .

0 ?4

0 ? ,所以 0.15 ? 5 ? 0.03 ,所以各 . ? 5? 0 0 . 0 5 ?

0

.

0

1

( 组的频率比为 0.02 : 0.04 : 0.05 : 0.05 : 0.03 : 0.01 ? 2 : 4 : 5 : 5 : 3 :1 ,所以 30,35] (百元)
月工资收入段应抽出

3 ?100 ? 15 人。 20

15.已知奇函数 f ( x) ? ? 【答案】-8

?3x ? a( x≥0), ? g ( x)( x<0),

则 g (?2) 的值为

.

因 为 函 数 f ( x ) 为 奇 函 数 , 所 以 f (0)=30 +a=0 , 即 a ? ?1 。 所 以

f (?2) ? g (?2) ? ? f (2) ? ?(32 ?1) ? ?8 。
16.在区间 [?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 有两不相等实
2 2

根的概率为 【答案】

.

1 4

, 1 由 题 意 知 ?1 ? m ? 1? ? n ?

1 . 使 方 程 x 2 ? mx ? n2 ? 0 有 两 不 相 等 实 根 , 则 要

?=m2 ? 4n2 ? 0 ,即 (m ? 2n)(m ? 2n) ? 0 。作出对应的可行域,如图直线 m ? 2n ? 0 ,
1 1 1 1 1 1 , nB ? ? ,所以 S?OBC ? ?1? [ ? (? )] ? ,所以方 2 2 2 2 2 2 1 2? 2S?OBC 2 2 2 ? 1。 程 x ? mx ? n ? 0 有两不相等实根的概率为 ? 2? 2 4 4
m ? 2n ? 0 ,当 m ? 1 时, nC ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A ? (Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.

π π π , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

18. (本小题满分 12 分) 某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计 结果见下表: 答对题目 0 个数 人数 根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随 机变量 X 的分布列及数学期望 EX. 5 10 20 15 1 2 3

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n ( n ?N* , p 为常数) a1 , a2 ? 6, a3 成等差数 , 列. (Ⅰ)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式;

4 n2 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ? ,证明: bn ≤ . 9 an

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点,沿 AO 将三角形 AOD 折起,使
D

DB= 3 .
D O C

(Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
A B A 第 20 题图

O

C

B

21. (本小题满分 12 分)
e? 3 2

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b≥1) 的离心率 a 2 b2

,且椭

圆 C 上一点 N 到点 Q(0,3)的距离最大值为 4,过点 M(3,0)的直线交椭圆 C 于点 A、B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ)设 P 为椭圆上一点,且满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,当 AB < 3 时,求

实数 t 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) 的极大值. (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x ) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和

1 2 x . 2

1 2

h( x)≥kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x) 与 h( x) 的分界线.试探究函数 f ( x) 与

h( x) 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理
由.

2013 年高考模拟试题

数学试题(理)参考答案及评分标准
说明:

2013.5

一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确答案应得分数的一半; 如果后 继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(B) 2.(D) 3.(D) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 7.(A) 8.(C) 9.(B) 10.(A) 11.(D) 12.(A) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. ?

4 5

14. 15

15.-8

16.

1 4

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由 b sin( ? C) ? c sin(

π ? B) ? a, 用正弦定理得 4 π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) 4 4

π 4

∴ sin B sin(

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? , 2 2 2 2 2
?????????????( 2 分)

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ?????????????????????(3 分) ∵ 0<B, C< π , ∴ ? π <B ? C< π , ??????????????????(4 分)

3 4

3 4

3 4

π .??????????????????????( 5 2 π 3 又 A ? ,∴ B ? C ? π , 4 4 5 π 解得 B ? π , C ? . ???????????????????(6 8 8 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ? ,由正弦定理, 8 8 5 2 2 ? sin π a sin B 8 ? 4sin 5π. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 得b? ? π sin A 8 sin 4 1 1 5 π ∴ △ A B C 的 面 积 S ? ab sin C ? ? 2 2 ? 4sin π sin ? ? ? ? ? ( 9 2 2 8 8 5 π π π ?4 2 sin π s i? n 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. ? ??? ??? ???? ??? ( 12 4
∴ B?C ? 18.解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则

分)

分)

分)

分)

分)

P( A) ?
?

2 1 1 1 1 C20 ? C10C15 ? C20C15 ???????????????(3 分) 2 C50

190 ? 150 ? 300 128 ? ,?????????????(5 分) 25 ? 49 245 128 即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 ????????(6 分) 245
(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 则 P( X ? 0) ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 350 2 ? ? , ?????????(7 分) 2 C50 1225 7

P( X ? 1) ?

1 1 C5C 1 0 C 11 0 1? C C 2 01 550 22 ? C 20 1 ? 1 5 ? , ????????(8 分) 2 C50 1225 49

1 1 C5C 2 0 C 11 0 1 1 5250 10 ? C P( X ? 2) ? ? ? , ????????????(9 分) 2 C50 1225 49 1 1 C5C15 75 3 ? ? . ????????????????(10 分) 2 C50 1225 49

P( X ? 3) ?

从而 X 的分布列为: X 0 1 2 3 ????(11 分)

P

2 7

22 49

10 49

3 49
51 . ????(12 分) ? 49

X 的 数 学 期 望 EX ? 0 ?

2 22 10 3 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 7 49 49 49

19.解: (Ⅰ)由 a1 ? 3, an?1 ? an ? p ? 3n , 得 a2 ? 3 ? 3 p, a3 ? a2 ? 9 p ? 3 ? 12 p. ∵ a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列, ∴ a1 ? a3 ? 2(a2 ? 6), 即 3 ? 3 ? 12 p ? 2(3 ? 3 p ? 6), 得 p ? 2. ???????????????(2 分) 依题意知, an ?1 ? an ? 2 ? 3n , 当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 ,
?

an ? an?1 ? 2 ? 3n?1.
相加得 an ? a1 ? 2(31 ? 32 ? …? 3n?1 ), ∴ an ? a1 ? 2 ?

3 ? (1 ? 3n?1 ) ? 3n ? 3, 1? 3

∴ an ? 3n (n≥2). ? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ???( 4 分) 又 a1 ? 3 适合上式, ?????????????????????( 5 分) 故 an ? 3n. ??????????????????????????( 6 分) (Ⅱ)证明:∵ an ? 3n , ∴ bn ?

n2 . 3n

(n ? 1)2 n2 ?2n2 ? 2n ? 1 ? n ? (n ? N* ). ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) ∵ bn ?1 ? bn ? n ?1 n ?1 3 3 3
若 ?2n ? 2n ? 1 0, 则 n> <
2

1? 3 , 2

即当 n≥2 时,有 bn?1<bn . ???????????????????(10 分) 又因为 b1 ?

1 4 , b2 ? , ?????????????????????(11 分) 3 9

故 bn ≤ . ??????????????????????????(12 分) (Ⅱ)法二:要证 bn ?
n

4 9

n2 4 ≤ , 3n 9
2

只 要证 4 ? 3 ≥9n .? ??? ?? ??? ??? ???? ??? ??? ( 7 分) 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n ? 2 时,左边=36,右边=36,不等式成立.??????????(8 分)

k ② 假 设 当 n ? k (k ?N*且k≥2) 时 , 4 ? 3 ≥ 9 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 )
k 2

则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2,
2 要证 3×9k2≥9(k+1), 2 只要正 3k2≥(k+1),

即证 2k 2 -2k-1≥0.??????????????????????(10 分) 而当 k﹥

1? 3 , 即 k ? N* 且 k≥2 时,上述不等式成立.??????(11 分) 2
*

由①②可知,对任意 n ? N ,所证不等式成立.??????????(12 分) 20. (Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点, ∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴ ∠ AOB=90?,即 OB⊥OA.??????????????????(1 分) 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH= 在 Rt△BOH 中,BH2=BO2+OH2=

2 , 2

5 , 2

在△BHD 中,DH2+BH2= (

2 2 5 ) ? ? 3, 又 DB2=3, 2 2

∴DH 2 +BH 2 =DB 2 ,∴DH⊥BH.????????????????(2 分) 又 DH⊥OA , OA∩BH=H ?????????????????(3 分)

∴DH⊥面 ABCO,????????????????????(4 分) 而 DH∈平面 AOD,???????????????????( 5 分) ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. ????????????????(6 分) (Ⅱ)解:分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴,O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,则 B(0, 2,0) , A( 2,0,0) , D(

2 2 2 2 , , 0) . , 0, ) , C (? 2 2 2 2

∴ AB ? (? 2, 2,0), AD ? (?

??? ?

????

? 2 2 ??? 2 2 ,0, ), BC ? (? ,? ,0). ? ? ( 7 分 ) 2 2 2 2
z D

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

??? ? ? ?n ? AB ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? 由 ? ???? 得? 2 2 x? z ? 0, ?n ? AD ? 0, ?? ? ? 2 2
即 x ? y , x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x A

O H

C

B

y

取 n ? (1,1,1). ????????????????????????(9 分) 设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

??? ? BC ? n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? . ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ?? ? ( 11 分 ) ? 3 3 BC ? n
即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 . ?????????(12 分) 3

c2 a 2 ? b 2 3 ? , ∴ a2 ? 4b2 , ??????????(1 分) 21.解: (Ⅰ)∵ e ? 2 ? 2 a a 4
2

则椭圆方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, 即 x2 ? 4 y 2 ? 4b2 . 2 4b b

设 N ( x, y ), 则
2 N Q ? ( x? 0 2) ? ( y ? 3 ) ? 2 2 4 ? 4 ? y ?? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 ) b y ( 23 )

? ?3 y 2 ? 6 y ? 4b 2 ? 9 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
当 y ? ?1 时, NQ 有最大值为

4b2 ? 12 ? 4,??????????(3 分)

解得 b2 ? 1, ∴ a ? 4 ,椭圆方程是
2

x2 ? y 2 ? 1 ????????(4 分) 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x, y), AB 方程为 y ? k ( x ? 3),

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?4
整理得 (1? 4k 2 )x2 ? 24 2 x ? 36 2 ? 4? 0 .????????????( 5 分) k k 由 ? ? 24k 2 k 4 ?16(9k 2 ?1)(1 ? 4k 2 )>0 ,得 k < .
2

1 5

x1 ? x2 ?

24k 2 36k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? . ???????????????(6 分) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

∴ OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y), 则 x ? ( x1 ? x2 ) ?

??? ??? ? ?

1 t

24k 2 , t (1 ? 4k 2 )

1 1 ?6k y ? ( y1 ? y2 ) ? ? k ( x1 ? x2 ) ? 6k ? ? . ?????????(7 分) t t t (1 ? 4k 2 )
由点 P 在椭圆上,得

(24k 2 )2 144k 2 ? 2 ? 4, t 2 (1 ? 4k 2 )2 t (1 ? 4k 2 )2
2

化简得 36k ? t (1? 4k ) ①??????????????????(8 分)
2 2

又由 AB ? 1 ? k

2

x1 ? x2 < 3,

2 2 即 (1 ? k ) ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? <3, 将 x1 ? x2 , x1 x2 代入得 ? ?

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? (1 ? k 2 ) ? ? <3, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 9 分 ) 2 2 1 ? 4k 2 ? ? (1 ? 4k ) ?
化简,得 (8k ? 1)(16k ? 13)>0,
2 2

则 8k ? 1>0, k > ,?????????????????????(10 分)
2 2

1 8

∴ <k < ②
2

1 8

1 5

由①,得 t ?
2

36k 2 9 ? 9? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

联 立 ② , 解 得 3<t 2<4, ∴ ?2<t<? 3 或 22.解: (Ⅰ) g ?( x) ?

3<t<2. ? ? ? ? ? ? ( 1 2 分 )

1 1? x ?1 ? ( x>0). ???????? ??????( 1 分) x x

令 g ?( x)>0, 解得 0<x< 1; 令 g ?( x)<0, 解得 x>1 .????????????????????(2 分) ∴函数 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ?? ) 上单调递减. ?????(3 分) 所以 g ( x) 的极大值为 g (1) ? ? 2. ????????????????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,

1 2 1 ∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )>0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 ) 2
令 ? ( x) ? g ( x) ? g ( )

1, 取 x? ? e> 则

? (e) ? g (e) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln ? ( ? 1)
3 ? ?e ? ln 2 ? <0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) 2 1 故存在 x0 ? (1,e), 使 ? ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (1, ??), 使 g ( x0 ) ? g ( ). 2
??????????????????(7 分) (说明: x? 的取法不唯一,只要满足 x?>1, 且 ? ( x?)<0 即可) (Ⅱ)设 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? 则 F ?( x) ? x ?

1 2

1 2

1 2

1 2 x ? e ln x( x>0) 2

e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) ? ? x x x

则当 0<x< e 时, F ?( x)<0 ,函数 F ( x) 单调递减; 当 x> e 时, F ?( x)>0 ,函数 F ( x) 单调递增. ∴x?

e 是函数 F ( x) 的极小值点,也是最小值点,

∴ F ( x)min ? F ( e ) ? 0. ∴函数 f ( x ) 与 h( x) 的图象在 x ?

1 e 处有公共点( e, e ).???(9 分) 2

设 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线”且方程为 y ? 令函数 u ( x ) ? kx ?

1 e ? k ( x ? e) , 2

1 e?k e 2 1 2 1 ①由 h( x) ≥ u ( x) ,得 x ≥kx ? e ? k e 在 x ? R 上恒成立, 2 2
即 x ? 2kx ? e ? 2k e≥0 在 x ? R 上恒成立,
2

∴ ?=4k 2 ? 4(?e ? 2k e)≤0 , 即 4(k ? e)2≤0 , ∴k?

e , 故 u ( x) ?

e x?

1 e.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 ) 2

②下面说明: f ( x)≤u ( x) ,

1 e( x>0) 恒成立. 2 1 设 V ( x) ? e ln x ? e x ? e 2
即 e ln x≤ e x ? 则 V ?( x) ?

e e ? ex ? e? x x

∵当 0<x< e 时, V ?( x)>0 ,函数 V ( x) 单调递增, 当 x> e 时, V ?( x)<0 ,函数 V ( x) 单调递减, ∴当 x ?

e 时, V ( x) 取得最大值 0, V ( x)≤V ( x)max ? 0 .

1 e( x>0) 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 3 分 ) 2 1 1 综合①②知 h( x)≥ e x ? e, 且 f ( x)≤ e x ? e, 2 2 1 故函数 f ( x ) 与 h( x) 存在“分界线” y ? e x ? e , 2 1 此 时 k ? e ,b ? ? e.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 分 ) 2
∴ e ln x≤ e x ?


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