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2017版高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第5讲 几何概型课件 理_图文

第 5讲
考试要求

几何概型

1.随机数的意义,模拟方法估计概率,A级要求;2.几

何概型的意义及计算,A级要求.

知识梳理 1.几何概型 事件A发生的概率与d的 测度 成正比,与d的 形状和位置 无

关,这样的概率模型称为几何概型.
2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式为 P(A)=

d的测度 D的测度 .

3.几何概型试验的两个基本特点

(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 ; (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (2)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ ) (3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域 内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图
形.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.(× )

2.(2015· 山东卷改编)在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件 1? “-1≤log x+2?≤1”发生的概率为________. ? 2?
1?

?

解析

1? 1 1 3 ? 由-1≤log x+2 ≤1,得 ≤x+ ≤2,解得 0≤x≤ ,所 2 2 2 ? 2?
1?

?

3 ? 2 3 1? 1? 以事件“-1≤log x+2?≤1”发生的概率为2=4. ? 2?

答案

3 4

3.(2016· 徐州检测)已知球O内切于棱长为 2的正方体,若在正方

体内任取一点,则这一点不在球内的概率为________.
解析 4π 由题意知球的半径为 1,其体积为 V 球= ,正方体 3
正方体

的体积为 V 4π 3 π - 8 =1-6.

=23=8,则这一点不在球内的概率 P=1

答案

π 1- 6

4.(苏教版必修 3P109T4 改编)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个 ︵ 定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧AB的长度小于 1 的 概率为________.
解析 ︵ ︵ 如图可设AB与AB′的长度等于 1, 则由几

何概型可知其整体事件是其周长 3,则其概率 2 是3.

2 答案 3

5.(2015· 镇江调研 ) 如图,圆中有一内接等腰三角
形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴 影部分的概率为________.

解析 设圆的半径为 R, 由题意知圆内接三角形为等腰直角三 角形,其直角边长为 2R,则所求事件的概率为: 1 S阴 2× 2R× 2R 1 P= = = . πR2 π S圆
1 答案 π

考点一 与长度、角度有关的几何概型 【例1】 (1)(2015· 重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p, 则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________. (2) 如图,在等腰直角△ABC中,过 直角顶点C作射线CM交AB于M,则 使得AM小于AC的概率为________.
(1)设方程 x2+2px+3p-2=0 的两个根分别为 x1,x2, ?Δ=4p2-4(3p-2)≥0, ? 由题意得,?x1+x2=-2p<0, ?x ·x =3p-2>0, ? 1 2 解析

?2 ? 2 解得3<p≤1 或 p≥2,结合 p∈[0,5]得 p∈?3,1?∪[2,5],故 ? ? ? 2? ?1- ?+(5-2) 3? ?

所求概率为

5

2 =3.

(2)当 AM=AC 时,△ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形, 180°-45° ∠ACM= =67.5°.当∠ACM<67.5°时,AM<AC, 2 ∠ACM的度数 67.5° 3 所以 AM 小于 AC 的概率 P= = =4. ∠ACB的度数 90°

2 3 答案 (1)3 (2)4

规律方法

(1) 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用

长度表示,则把题中所表示的几何模型转化为长度,然后
求解.解题的关键是构建事件的区域(长度). (2) 当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时,应以 角度的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长 度代替,这是两种不同的度量手段.

【训练 1】 (1)(2015· 连云港调研)设 A 为圆周上一点,在圆周上 等可能地任取一点与 A 连接,则弦长超过半径的 2倍的概率 是________.

(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直 于直径的弦 ,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率 是 ________.
解析 (1)作等腰直角△AOC 和△AMC,B 为圆上任一点,则 ︵ 1 ︵ MmC 当点 B 在MmC上运动时,弦长 AB> 2R,∴P= = . 圆的周长 2

(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,

如图,不妨在过等边三角形 BCD的顶点B的直径BE
上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时,就 是等边三角形的边长 ( 此时 F为OE中点) ,弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF ,由几 何概型公式得:
1 ×2 2 1 P(A)= 2 =2.
答案 1 (1)2 1 (2)2

考点二 与体积有关的几何概型
【例 2】 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有 一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三 棱锥 A-A1BD 内的概率为________.
解析 1 1 V ? V 因为 A? A1BD =3AA1×S△ABD=6×S A 1 ? ABD
矩形

ABCDAA1

VA? A1BD 1 1 = V 长方体,故所求概率为 = . 6 6 V
长方体

1 答案 6

规律方法

对于基本事件为空间的几何概型,要根据空间

几何体的体积计算方法,把概率计算转化为空间几何体的 体积计算.

【训练 2】 在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则 2 V 3 三棱锥 S-APC 的体积大于 3 的概率是________.

VS-APC 1 解析 由题意可知 > ,三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 VS-ABC 3 S-APC 的高相同.作 PM⊥AC 于 M,BN⊥AC 于 N,则 PM, VS-APC S△APC PM 1 BN 分别为△APC 与△ABC 的高,所以 = = > , VS-ABC S△ABC BN 3 2 PM AP AP 1 又 BN =AB,所以AB> ,故所求的概率为 (即为长度之比). 3 3

考点三 与面积有关的几何概型 [微题型1] 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题
【例 3-1 】 (2015· 福建卷改编) 如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1 , 0) ,且点 C 与点 D 在函数 f(x) = x+1,x≥0, ? ? ? 1 的图象上.若在矩形 ABCD - x+1,x<0 ? ? 2

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于

.

解析

由图形知 C(1,2),D(-2,2),

3 2 1 1 3 ∴S 四边形 ABCD=6,S 阴= ×3×1= .∴P= = . 2 2 6 4 1 答案 4 规律方法 与面积有关的平面图形的几何概型,

解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形 状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.

[微题型2] 生活中与面积有关的几何概型
【例3】 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们

在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的 .如果甲船停泊时间
为1 h,乙船停泊时间为2 h,则它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率为________. 解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件

A 为 “ 两船都不需要等待码头空出 ” ,则 0≤x≤24 , 0≤y≤24 , 要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达

1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所
求事件构成集合 A = {(x , y)|y - x≥1 或 x - y≥2 , x∈[0 , 24] , y∈[0,24]}.

A 为图中阴影部分, 全部结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形 及其内部. 1 1 2 A的面积 (24-1) ×2+(24-2) ×2 所求概率为 P(A)= = 242 Ω的面积
2

506.5 1 013 = 576 =1 152.

1 013 答案 1 152

规律方法

有关会面问题可利用数形结合转化成面积问题

的几何概型,难点是把两个时间分别用x,y表示,构成平面 内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形

的面积问题,转化成面积型几何概型问题.

【训练 3】 (2015· 湖北卷改编)在区间[0,1]上随机取两个数 x, 1 1 y,记 p1 为事件“x+y≤2”的概率,p2 为事件“xy≤2”的概 率,给出以下结论:
1 1 1 1 ①p1<p2<2;②p2<2<p1;③2<p2<p1;④p1<2<p2. 则以上结论正确的是________(填序号).

解析

(x,y)构成的区域是边长为 1 的正方形及其内部,其中满

1 1 1 × × 2 2 2 1 1 足 x+y≤ 的区域如图(1)中阴影部分所示, 所以 p1= = , 2 8 1×1 S1+S2 1 满足 xy≤ 的区域如图(2)中阴影部分所示,所以 p2= = 2 1×1 1 2+S2 1 1 1 >2,所以 p1<2<p2,故填④.

答案 ④

[思想方法]

转化思想的应用
对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果 和点对应,然后利用几何概型概率公式. (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需 把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量 的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系 就能顺利地建立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个 变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系建 立与体积有关的几何概型.

[易错防范] 1.注意区分几何概型和古典概型,一般地,当问题涉及的数字 是离散的、有限的取值时,是古典概型;当问题涉及的数在

一个连续的实数区间内取值时,可以考虑使用几何概型解决.
2.在几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之 内不影响所求结果.