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重庆市万州区高三第一次诊断性考试数学试卷(文科)


重庆市万州区高 重庆市万州区高 2009 级第一次诊断性考试
文科) 数 学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题,22 个小题,满 分 150 分,考试时间为 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用笔填写在答题卷上“第 I 卷答题栏”对应题目的答案 栏内.不能答在试题纸上. 不能答在试题纸上. 不能答在试题纸上 3.第 II 卷各题一定要做在答题卷限定的区域内. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
k 概率 Pn ( k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k

选择题, 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选 选择题 项中,只有一项是符合题目要求的,请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置 上.
1.函数 y = lg(4 x ? 4 x + 1) 的定义域是(
2



(A) R
o

(B) φ
o

(C) {x | x = } ) (C)

1 2

(D) {x | x ∈ R且x ≠ }

1 2

2.三角函数式 sin15 cos165 的值等于( (A) ?

1 4

(B) ?

3 4

1 4

(D)

3 4

3.设 l1 、 l2 是直角坐标系内的两条直线.已知命题甲: “直线 l1 、 l2 的倾斜角相等” ,命题乙: “直线 l1 与 l2 平行” ,则命题甲是命题乙的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 4.不等式 x ≥ )

(B)必要不充分条件 (D)不充分也不必要的条件 ) (B) {x | x ≤ ?2或x ≥ 2} (D) {x | ?2 ≤ x < 0或x ≥ 2}
第 1 页(共 9 页)

4 的解的集合是( x

(A) {x | x ≥ 2} (C) {x | x ≤ ?2或0 < x ≤ 2}

5.若 | a |= 1 , | b |= (A) 30° 6.函数 y = 5 + 1
x

r

r

r r r r r 2 ,且 (a ? b) ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角是(
(B) 60° (C) 45° ) (B) y = log 5 ( x ? 1) (D) y = log 5 ( x + 1) (D) 75°



( x ≤ 1) 的反函数是(

(A) y = log 5 x + 1 ( x > 1) (C) y = log 5 ( x ? 1)

( x > 1) (1 < x ≤ 6)


(1 < x ≤ 6)

7.在下列五个图所表示的正方体中,能够得到 AB⊥CD 的是(

(A)①②

(B)①②③

(C)①②③④

(D)①②③④⑤

8.某国代表队要从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 2008 北京奥运会的 4×100m 接力比赛,其 中甲、乙两名运动员必须入选,而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒,则不同的安排 方法共有( (A)24 种 ) (B)72 种 (C)144 种 (D)360 种

9. 设 F1、F2 为 椭 圆 的 两 个 焦 点 , A 为 椭 圆 上 的 点 , 若 已 知 AF2 ? F1 F2 = 0 , 且

1 sin ∠AF1 F2 = ,则椭圆的离心率为( ) 3
(A)

10 8

(B)

10 4

(C)

2 4

(D)

2 2


10.数列 {a n } 满足 a n +1

1 ? 6 ? 2a n 0 ≤ a n < 2 ,若 a1 = ,则 a 2009 的值为( =? 1 7 ?2a n ? 1 ≤ an < 1 2 ?
(B)

(A)

6 7

5 7

(C)

3 7

(D)

1 7

并且当 x ∈ [ ?1,1] 时,f ( x ) = x 2 , 11.已知函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x + 2 ) = f ( x ) , 则

y = f ( x )与 y = log 5 x 的图象的交点个数为(
(A) 2 (B) 3 (C) 4

) (D) 5

第 2 页(共 9 页)

12. 设 f ( x) = x + ax + b ,已知 1 ≤ f ( ?1) ≤ 2 , 2 ≤ f (1) ≤ 4 ,那么
2

b +1 的取值范围为 a+2

(A) [

3 ,1] 5

(B) [

5 (C) ( 0 , 1) ,1] 7 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

(D) (1, 2 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)把答案填在答题卷的相 填空题 应位置上.
13.设全集 S = {a, b, c, d , e, f } ,S 的子集 A = { a , c , d }, B = {b , d , e} . 那么 (痧A) I ( S B ) 等于 S 14.如果在 (3 x ? 系数是 .

1
3

x

2

) n 的展开式中的各项系数之和为 128,那么在此展开式中含

1 的项的 x3

.
2 2

15.若直线 2ax ? by + 2 = 0( a > 0, b > 0) 始终平分圆 x + y + 2 x ? 4 y + 1 = 0 的圆周,则

ab 的最大值是

.

16.对任意两个实数 a、b ,定义一种运算“ ? ”如下: a ? b = ?

?a (若a ≤ b) ,那么函数 ?b (若a > b)

f ( x) = (sin x) ? (cos x) 的值域为

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)把解答题答在答题卷限定的区域内. 解答题 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 13 分) 甲、乙两颗卫星同时监测台风,根据长期经验得知,甲、乙预报台风准确的概率分别为 0.8 和 0.75.求: (1) 在同一次预报中,甲、乙两卫星只有一颗预报准确的概率; (2) 若甲独立预报 4 次,至少有 3 次预报准确的概率.

18.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = a ? b ,其中向量 a = (2 cos x,1) , b = (cos x, 3 sin 2 x) (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)当 x ∈ [0,

r r

r

r

π ] 时,求函数 f ( x ) 的值域. 2
第 3 页(共 9 页)

19.(本题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中, a2 + a5 = 18,a3 ? a4 = 32 ,并且 an +1 < an ( n ∈ N ) (1)求 a 2、 a 5 以及数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn = lg a1 + lg a2 + lg a3 + L + lg an ,求当 Tn 最大时 n 的值.
?

20.(本题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) 为奇函数,导函数 f ′( x ) 的最小值为-12,函数
3

y = f ( x) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 9 y ? 7 = 0 垂直.
(1)求 a,b,c 的值; (2)求 f ( x ) 的各个单调区间,并求 f ( x ) 在 x ∈ [-1, 3]时的最大值和最小值.

21.(本题满分 12 分) 已 知 f ( x ) 是 定 义 域 为 [ - 3 , 3] 的 函 数 , 并 且 设 g ( x ) = f ( x ? 1) + f ( x 2 ? 1) ,

h( x) = f ( x ? c) ,其中常数 c 为实数.
(1)求 g ( x ) 和 h( x ) 的定义域; (2)如果 g ( x ) 和 h( x ) 两个函数的定义域的交集为非空集合,求 c 的取值范围; (3)当 f ( x ) 在其定义域内是奇函数,又是增函数时,求使 g ( x ) < 0 的自变量 x 的取值 范围.

22.(本题满分 12 分) 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线经过坐标原点,并且两条渐近线与以点

A (0, 2 ) 为圆心、1 为半径的圆相切,双曲线 C 的一个焦点与点 A 关于直线 y = x 对称.
(1)求双曲线 C 的渐近线和双曲线的方程; (2)设直线 y = mx + 1 与双曲线 C 的左支交于 P、Q 两点,另一直线 l 经过 M ( ?2, 0) 及 线段 PQ 的中点 N,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

第 4 页(共 9 页)

高 2009 级第一次诊断性考试(文科)数学 第一次诊断性考试(文科) 参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题 1~5 D A B D C 6~10 CAB D B 11~12 C A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题 13. { f } ; 14.21 ;

15.

1 ; 4

16. [ ?1,

2 ]. 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 解答题 17.(本题满分 13 分) 解:(1)甲、乙两卫星各自预报一次,记“甲预报准确”为事件 A,“乙预报准确”为事件 B.则 两卫星只有一颗卫星预报准确的概率为:

P ( AB + AB ) = P ( AB + ) + P ( AB ) = P ( A)[1 ? P ( B )] + [1 ? P ( A)]P ( B ) … 4 分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6 分

答:甲、乙两卫星中只有一颗卫星预报准确的概率为 0.35 ………7 分 (2) 甲独立预报 3 次,至少有 2 次预报准确的概率为
3 P = P3 (2) + P3 (3) = C32 ? 0.82 × (1 ? 0.8) + C3 ? 0.83

…………10 分

= 0.82 (3 × 0.2 + 0.8) =0.896

………………………12 分

答:甲独立预报 3 次,至少有 2 次预报准确的概率为 0.896. ……… 13 分 18.(本题满分 13 分) 解:(1)∵ f ( x ) = a ? b = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x = 2 cos(2 x ? ∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T = π 又由 2 x ?

r r

…………………2 分

π
3

) + 1 ……………6 分

…………………7 分

π
3

∈ [2kπ ? π , 2kπ ] k ∈ Z 可得:

f ( x) 的单调递增区间形如: [kπ ?
(2) ∵ x ∈ [0, ∴ cos(2 x ?

π

π

π

2

] 时, 2 x ?

π
3

∈ [?

π 2π
3 , 3

, kπ + ] k ∈ Z 3 6

π

……9 分

] ,
………………11 分

1 ) 的取值范围是 [ ? ,1] 3 2
第 5 页(共 9 页)

∴函数 f ( x ) 的最大值是 3,最小值是 0 从而函数 f ( x ) 的是 { y | 0 ≤ y ≤ 3} 19.(本题满分 12 分) 解:(1) ∵ a3 ? a4 = a2 ? a5 ∴由已知条件可得: ? …………13 分

? a2 + a5 = 18 ,并且 a5 < a2 , ? a 2 ? a5 = 32
……………3 分

解之得: a2 = 16 , a5 = 2

? a1 = 32 ? a1 ? q = 16 ?? 从而其首项 a1 和公比 q 满足: ? ? 1 4 ?a1 ? q = 2 ?q= ? 2
故数列 {an } 的通项公式为: an = 32 ? ( ) (2) ∵ lg an = lg 2
6? n

………5 分

1 2

n ?1

= 26? n

(n ∈ N ? ) ……6 分

= (6 ? n) lg 2 (n ∈ N ? )
…………………………8 分

数列 {lg an } 是等差数列,

∴ Tn = 5lg 2 + 4 lg 2 + 3lg 2 + L + (6 ? n) lg 2 = [5 + 4 + 3 + 2 + L + (6 ? n)]lg 2

n[5 + (6 ? n)] 1 ? lg 2 = (11n ? n 2 ) ? lg 2 …………………10 分 2 2 1 2 由于 lg 2 > 0 ,当且仅当 11n ? n 最大时, Tn 最大. 2
= 所以当 Tn 最大时, n = 5 或 6 20.(本题满分 12 分) 解:(1) ∵ f ( x ) = ax 3 + bx + c ( a ≠ 0) 为奇函数 ∴c = 0 ………2 分 …………………………12 分

∵ f ′( x ) = 3ax 2 + b ,导函数 f ′( x ) 的最小值为-12 ∴ b = ?12 ……3 分 又∵直线 x ? 9 y ? 7 = 0 的斜率为

1 , 9

并且 y = f ( x) 的图象在点 P (1, f (1)) 处的切线与它垂直 ∴ f ′(1) = ?9 ,即 3a + b = ?9 ∴a =1 ……………6 分

(2) 由第(1)小题结果可得: f ( x ) = x 3 ? 12 x

第 6 页(共 9 页)

f ′( x) = 3 x 2 ? 12 = 3( x + 2)( x ? 2)
令 f ′( x ) = 0,

……………9 分 ……………10 分

x ∈[?1,3] ,得 x = 2

∵ f ( ?1) = 11 , f (2) = ?16 , f (3) = ?9 ∴ f ( x ) 在 x ∈ [-1, 3]的最大值为 11,最小值为-16. ………12 分 21.(本题满分 12 分) 解:(1) ∵函数 g ( x ) 有意义的充要条件为

? ?3 ≤ x ? 1 ≤ 3 ? ?2 ≤ x ≤ 4 ? ?2 ≤ x ≤ 4 ,即是 ? ? ? ? 2 2 ? ?3 ≤ x ? 1 ≤ 3 ? ?2 ≤ x ≤ 4 ? | x |≤ 2
∴函数 g ( x ) 的定义域为 {x | ?2 ≤ x ≤ 2} ∵函数 h( x ) 有意义的充要条件为: ?3 ≤ x ? c ≤ 3 ∴函数 h( x ) 的定义域为 {x | c ? 3 ≤ x ≤ c + 3} …………5 分 …………3 分

(2)∵由题目条件知 {x | ?2 ≤ x ≤ 2} I { x | c ? 3 ≤ x ≤ c + 3} ≠ φ ∴?

? c + 3 ≥ ?2 , ? c?3≤ 2

…………………7 分 …………………8 分

∴c 的取值范围是:[-5, 5]

(3) g ( x ) = f ( x ? 1) + f ( x 2 ? 1) < 0 即是 f ( x 2 ? 1) < ? f ( x ? 1) ∵ f ( x ) 是奇函数,∴ f ( x 2 ? 1) < f (1 ? x ) ………………9 分

又∵函数 f ( x ) 的定义域为 {x | ?3 ≤ x ≤ 3} ,并且是增函数

? ?3 ≤ x 2 ? 1 ≤ 3 ? ∴ ? ?3 ≤ 1 ? x ≤ 3 ? ? x2 ? 1 < 1 ? x ?

? ?2 ≤ x ≤ 2 ? 2 ?x + x ? 2 < 0

………………11 分

解之得 x 的取值范围是: [ ?2, 2] I ( ?2,1) = ( ?2,1) 22.(本题满分 12 分) 解:(1) 设双曲线的渐近线方程为 y = kx ,即 kx ? y = 0 ,

…………12 分

∵双曲线的渐近线与已知的圆相切,圆心到渐近线的距离等于半径

第 7 页(共 9 页)



| k ?0 ? 2 | k +1
2

=1 ?

k 2 + 1 = 2 ? k = ±1
……………2 分

∴双曲线的渐近线的方程为: y = ± x 又设双曲线的方程为:

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) ,则 a2 b2

∵双曲线的渐近线的方程为 y = ± x ,且有一个焦点为 ( 2, 0)

b ? =1 ? a ∴? (a > 0, b > 0) , 2 2 ? a +b = 2 ?

………………4 分

解之得: a = b = 1 ,故双曲线的方程是: x 2 ? y 2 = 1

……………5 分

? x2 ? y 2 = 1 ,消去 y 得: ( m 2 ? 1) x 2 + 2mx + 2 = 0 (*)…………6 分 (2) 联立方程组 ? ? y = mx + 1
∵直线与双曲线 C 的左支交于两点,方程(*)两根 x1 、 x2 为负数,

? ?? = 4m 2 ? 8(m 2 ? 1) > 0 ?m 2 ? 2 < 0 ? 2m ? ? ∴ ? x1 + x2 = ? 2 < 0 ? ? m2 ? 1 > 0 ? 1 < m < 2 m ?1 ? ? m>0 ? 2 ? ? x1 ? x2 = m 2 ? 1 > 0 ?
又∵线段 PQ 的中点 N ( x0 , y0 ) 坐标满足

…………8 分

x1 + x2 ?m ?m2 ?1 x0 = = 2 , y0 = mx0 + 1 = 2 +1 = 2 2 m ?1 m ?1 m ?1

……9 分

?1 2 ∴直线 l 的方程为: y = m ? 1 ( x + 2) , ?m +2 m2 ? 1 ?1 ?1 ?2 即是 y = ( x + 2) , y = x+ 2 2 2 2m ? m ? 2 2m ? m ? 2 2m ? m ? 2 ?1 直线 l 在 y 轴的截距 b = ……………………11 分 1 m2 ? m ? 1 2
又∵ 1 < m <

1 1 2 2 时, m 2 ? m ? 1 的取值范围是: (? ,1 ? ) 2 2 2

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∴直线 l 的截距 b 的取值范围是 (?∞, ?2 ? 2) U (2, +∞ ) ……12 分

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