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江西省红色七校2017届高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含答案.doc


江西省红色七校 2017 届高三第一次联考数学(文)试题
(分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学、会昌中学) 命题人:南城一中 瑞金一中 会昌中学 审题人:南城一中

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,总共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项是符合题目要求的。 1.设全集 I 是实数集 R, M ? x x ? 3 与 N ? ? x

?

?

? x ?3 ? ? 0? 都是 I 的 ? x ?1 ?


子集(如图所示), 则阴影部分所表示的集合为( A. x 1 ? x ? 3 C.

?

?
5

B. x 1 ? x ? 3

?

? ?
) D. 4 ? i

? x 1 ? x ? 3?
B. 2 ? i )

D. x 1 ? x ? 3

?

2.复数 z ? ( 3 ? i )i ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为( A. 2 ? i 3.设 a ? C. 4 ? i

1 1 , b ? log 3 2, c ? 2 3 ,则( 2

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b )

D. c ? b ? a

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 2a7 ? 5 ? a9 ,则 S9 的值为( A. 27 B.36 C.45

D.54

5.“序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 1258) ,在两位的“序数”中任取一个数 比 56 大的概率是( A. ) B.

1 4

2 3

C.

3 4

D.

4 5

? 3x , x ? 0 6.已知函数 f ? x ? ? ? ,给出下列两个命题: 2 ?m ? x , x ? 0
命题 p : ?m ? ? ??,0? ,方程 f ? x ? ? 0 有解. 那么,下列命题为真命题的是( A.p ? q ) C.p ? ? ?q ? D. ? ?p ? ? ? ?q ? 命题 q : 若 m ?

1 ,则 f ? f ? ?1? ? ? 0 . 9

B. ? ?p ? ? q

7.某市乘坐出租车的收费办法如下: ⑴不超过 4 千米的里程收费 12 元; ⑵超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费 (对于其中不足 千米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于 或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ; 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元.

相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x (单位:千米)为行驶里程, y (单位:元) 为所收费用,用 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则图中①处应填( ) D.

1 y ? 2[ x ? ] ? 4 2 1 y ? 2[ x ? ] ? 5 2
A.

B.

1 y ? 2[ x ? ] ? 5 2

C.

1 y ? 2[ x ? ] ? 4 2

? x ? y ?1 ? 0 ? 8.实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,若 4 x ? y ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
A.



? ??,0?

B.

? ??,4?
5 2

C.

? ??,12?
5 2

D. ?0,12? ) D. 3 ? 5

9.已知某棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为( A. 2 ? 5 B. 3 ? C. 2 ?

10.已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x( a , b 为常数,a ? 0 , x ? R )在 x ? 取得最大值,则函数 y ? f ( x ?

?
3



?
3

) 是(



A.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? , 0) 对称 2 3? , 0) 对称 C.偶函数且它的图象关于点 ( 2
B.奇函数且它的图象关于点 ( D.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称
2 11.当曲线 y ? 4 ? x 与直线 kx ? y ? 2k ? 4 ? 0 有两个相异的交点时,实数 k 的取值范围是





A. (0, )

3 4

B. (

5 3 , ] 12 4

C. ( ,1]

3 4

D. ( , ??)

3 4

12. 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 2ln x(a ? 0, b ? R) ,若对任意 x ? 0 都有 f ? x? ? f ? 2? 成 立,则( ) B. ln a ? ?b ? 1 第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,则 f ? 2016? 的值 为 ; C. ln a ? ?b ? 1 D. ln a ? ?b ? 1

A. ln a ? ?b ? 1

14.已知 | a |? 1,| b |? 2, a与b 的夹角为 60°,则 2a ? b 在 b 方向上的投影为

?

?

? ?

? ?

?



?BAC ? 900 , 15. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧面 BCC1B1 的面积为 16 ,
则直三棱柱 ABC ? A1B1C1 外接球的半径的最小值为 ;

16.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为 a2 b2 b2 , I 为 △ PF 1F2 的 内 心 , 若 a


双 曲 线 的 左 右 焦 点 , 且 | F1 F2 |?

?S?IPF1 ? ?S?IPF2 ? S?IF1F2 成立,则 ? 的值为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.

17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,

2sin 2 C ? 5sin 2 A ? 7sin A? sin C ,且 c ? 2a .
(1)求证: ?ABC 为等腰三角形; (2)若 ?ABC 的面积为 2 15 ,且 sin B ?

15 ,求 BC 边上的中线长. 4

18. (本小题满分 12 分)某学校为了了解学生使用手机的情况,分别在高一和高二两个年级 各随机抽取了 100 名学生进行调查. 下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频 数分布表和频率分布直方图,将使用手机时间不低于 80 分钟的学生称为“手机迷”.
高二学生日均使用手机时间的频率分布直方图

高一学生日均使用手机时间的频数分布表 时间分组 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120] 频数 12 20 24 18 22 4

(1)将频率视为概率,估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大?请说明理由. (2)在高二的抽查中,已知随机抽到的女生共有 55 名,其中 10 名为“手机迷”.根据已知 条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关? 非手机迷 男 女 合计 手机迷 合计

n ? ad ? bc ? 附:随机变量 k ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本总量) . ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P(k 2 ? x0 )
参考数据

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

x0

19.(本小题满分 12 分)如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ?ACB=90 ,

?

AC=BC=2,AA1 =4 , D 是棱 AA1 上的一点, M,N 分别为 AB,BC1 的中点.
(1)求证: MN ∥平面 DCC1 ; (2)当 D 为 AA1 的中点时,求三棱锥 D-ACN 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ?1? x ? b ?1 , 当 x ?? ba , 的图象关于 y 轴对称,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? f ? n ?1? ?1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

? 时,函数 f ? x ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2n

21. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的虚 a2 b2

轴长为 2 2 ,点 M ? 2, 1? 在 C 上,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的 两点 A,B. (1)求椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 MA,MB 与 x 轴总围成等腰三角形.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax (a ? R) . ⑴当 a ? ? ,求函数 f ( x) 在区间 [e, e2 ] 上的极值; ⑵当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 3

2 2 x 只有一个零点,求正数 t 的值. t

江西省红色七校 2017 届高三第一次联考文科数学试卷答案
(分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学,会昌中学) 1-12: 13-16: ABDC ABAB DCCC 0 3

2 2

2 ?1
2 2 2 2

sin C ,即 2c ? 7ac ? 5a ? 0 17.解: (1)由正弦定理得, 2sin C ? 5sin A ? 7sin A?

?? 2c ? 5a ?? c ? a ? ? 0
2c ? 5a ? 0 , ? c ? 2a , ?a ? c .
形.

?c ? a ? 0 或
……………………3 分 故△ABC 为等腰三角 ……………………5 分

(2)? ?ABC 的面积为 S=

1 1 15 ac sin B ? a 2 ? ? 2 15 , 2 2 4

?a ? 4

……………………7 分
2 2

由余弦定理得, BC 边上的中线长为 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ?

? 1? ? ?4或 ? 4?

2 6

. . . . . . . . . . .10 分

18.解: (1)由频数分布表可知,高一学生是“手机迷”的概率为 P 1 ?

22 ? 4 ? 0.26 100

由频率分布直方图可知,高二学生是“手机迷”的概率为 P 2 =(0.0025+0.010)×20=0.25 因为 P1>P2,所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “手机迷”有(0.010+0.0025)×20×100=25(人) , 非手机迷有 100﹣25=75(人) . 从而 2×2 列联表如下: 非手机迷 男 女 合计 30 45 75 手机迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

因为 3.030>2.706,所以有 90%的把握认为“手机迷”与性别有关. 19.解:(1)证法一:如图,连接 AC1, 因为 M, N 分别为 AB,BC1 的中点,故 MN∥AC1, 又 AC1 ? 平面 DCC1,MN 平面 DCC1,故 MN∥平面 DCC1. 证法二:如图,取 BC 的中点 G,连接 GN,GM,则 GN∥CC1, 又 CC1 ? 平面 DCC1,GN 平面 DCC1,故 GN∥平面 DCC1. 同理可知 GM∥平面 DCC1, 又 GN,GM 是平面 NMG 内的两条相交直线,故平面 NMG∥平面 DCC1, 又 MN ? 平面 NMG,故 MN∥平面 DCC1. (2)当点 D 为 AA1 的中点时,AD=2 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 AA 1 ? 平面ABC , …………5 分

又? AC ? 平面ABC,BC ? 平面ABC,? AA1 ? AC,AA1 ? BC ? ?ACB=90? ,? BC ? AC ,
而 AA 中两相交直线, ?BC ? 平面A1ACC1 …………8 分 1与AC为平面A1ACC1

? N为BC1的中点
1 1 1 1 1 1 2 ?VD ? ACN ? VN ? ACD ? VB ? ACD ? ? ? S?ACD ? BC= ? ? ? 2 ? 2 ? 2= ………… 2 2 3 2 3 2 3
12 分 20.解: (1)∵函数 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称,∴ a ?1 ? 0, 且a ? b ? 0 ,解得 a ? 1, b ? ?1

? f ? x ? ? x2
? S n ? f ? n ? 1? ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n 2 ? 2n …………3 分
2

即有 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 5分 (2)由(1)得 bn ?

? n ? 2? ,

a1 ? S1 ? 1也满足, ?an ? 2n ?1 .…………

2n ? 1 , 2n

3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ???? + n ?1 ? n ① 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 ? 4 ? ?????? + n ? n +1 ② ∴ Tn ? 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2n ? 1 ①﹣②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ?????? + n ? n +1 2 2 2 2 2 2 2 Tn ?

1? 1 ? 1 ? n?1 ? ? 1 2n ? 1 5 2 n ? 5 3 2 2 ? 2n ? 1 3 ? ? ? ? n +1 ? ? 1 ? n ?1 ? n +1 ? ? n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ Tn ? 5 ?

2n ? 5 …………………………12 分 2n

21.解: ( 1)依题意 2b ? 2 2, 将 M(2,1)代入,得

?b ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, a2 2

4 1 ? ? 1 ,解得 a 2 =8, 2 a 2

…………3 分

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 8 2

…………4 分 +m ? m ? 0? ,

l: (2) 证明: 设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1, k2, A (x1, y1) , B (x2, y2) , y=
则 , ,

∴k1+k2=

=

=

=

, (*)



,得 x2+2mx+2m2﹣4=0,所以 x1+x2=﹣2m,



代入(*)式,得

k1+k2= 所以直线 MA,MB 与 x 轴总围成等腰三角形. 22.解: (1)当 a ? ? 时, f '( x) ?

=

=0. …………12 分

1 3

1 1 3? x ? ? ( x ? [e, e 2 ]) ,……………………1 分 x 3 3x

由 f ' ? x? ? 0 得 x ? 3 , 当 x ? ?e,3? 时, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间?e,3? 上单调递增,
2 ' 2 当 x ? 3, e ? ? 时, f ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间 3, e ? ? 上单调递减,………………

?

?

3分

? f ? x ? 在区间 [e, e2 ] 上只有极大值,无极小值,且
f ? x ?极大值 =f ? 3? ? ln 3 ? 1 …………5 分
(2)?函数 g ( x) ? f ( x) ?
2

2 2 2 x 只有一个零点,等价于方程 f ( x) ? x 2 ? 0 只有一个实数 t t

解,即 2 x ? t ln x ? tx ? 0 只有唯一正实数解.设 h( x) ? 2 x 2 ? t ln x ? tx ,则

t 4 x 2 ? tx ? t h ' ( x) ? 4 x ? ? t ? ,令 h' ( x) ? 0,4 x 2 ? tx ? t ? 0 ,? x ? 0, t ? 0, 解得: x x

x1 ?

t ? t 2 ? 16t t ? t 2 ? 16t …7 分 (舍去), x2 ? , 8 8
'

当 x ? (0, x2 ) 时, h ( x) ? 0, 则h( x) 在 x ? (0, x2 ) 上单调递减; 当 x ? ( x2 ,??) 时, h ( x) ? 0, 则h( x) 在 x ? ( x2 ,??) 上单调递增;
'

h( x2 ) .………………8 分 ? h( x)的最小值为
要使得方程 2 x ? t ln x ? tx ? 0 只有唯一实数解,
2

2 ? t ln x2 ? tx2 ? 0 ?h( x2 ) ? 0 ?2 x2 则? ' ,得 ,即? 2 ?h ( x2 ) ? 0 ?4 x2 ? tx2 ? t ? 0

2t ln x2 ? tx2 ? t ? 0 ?t ? 0,? 2 ln x2 ? x2 ?1 ? 0 ,………………10 分
设 m( x) ? 2 ln x ? x ? 1( x ? 0), m ( x) ?
'

2 ? 1 ? 0 恒成立,故 m( x) 在(0,+∞)单调递增, x

m( x) ? 0 至多有一解.又? m(1) ? 0 ,

∴ x2 ? 1 ,即

t ? t 2 ? 16t 解得 t ? 2 .………………12 分 ? 1, 8


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