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解析几何题型与方法(理科)(好,好)


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2008 届二轮专题复习:解析几何题型与方法(理科)
一、考点回顾赵明灿 230500198701193199
1.直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的斜率是一个非常重要的概念, 斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度.当斜率 k 存 在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x=a(a∈R). 因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑. (2) .直线的方程 a.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; b.截距式: y ? kx ? b ; c.两点式:

y ? y1 x ? x1 x y ? ; d.截距式: ? ? 1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

e.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0. (3).两直线的位置关系 两条直线 l1 , l 2 有三种位置关系:平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重 合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k 1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k 1 = k 2 ,且 b1 ? b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1 k 2 =-1.
(4).简单的线性规划. a.线性规划问题涉及如下概念: ①存在一定的限制条件,这些约束条件如果由 x、y 的一次不等式(或方程)组成的不等式 组来表示,称为线性约束条件. ②都有一个目标要求,就是要求依赖于 x、y 的某个函数(称为目标函数)达到最大值或最 小值.特殊地,若此函数是 x、y 的一次解析式,就称为线性目标函数. ③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. ④满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解. ⑤所有可行解组成的集合,叫做可行域. ⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解,叫做这个问题的最优解. b.线性规划问题有以下基本定理: ①一个线性规划问题,若有可行解,则可行域一定是一个凸多边形. ② 凸多边形的顶点个数是有限的. ③ 对于不是求最优整数解的线性规划问题,最优解一定在凸多边形的顶点中找到. C.线性规划问题一般用图解法. 2. 圆 (1).圆的定义:平面内到定点等于定长的点的集合(或轨迹)。 (2).圆的方程
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a.圆的标准方程

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0),称为圆的标准方程,
其圆心坐标为(a,b),半径为 r. 特别地,当圆心在原点(0,0),半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r .
2 2 2

b.圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0)称为圆的一般方程,

E 1 D , ? ),半径为 r ? D 2 ? E 2 ? 4F . 2 2 2 E D 当 D 2 ? E 2 ? 4F =0 时,方程表示一个点( ? , ? ); 2 2
其圆心坐标为( ? 当 D ? E ? 4F <0 时,方程不表示任何图形.
2 2

c.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:

? x ? r cos ? x2 ? y2 ? r 2 ? ? ? y ? r sin ?

(θ 为参数)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ?

c ? ? x ? a? r o s ? s ? ? y ? b? r i n

(θ 为参数)

(3).直线与圆 3.圆锥曲线 (1).椭圆 a.定义 定义 1:平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|),这个动点的 轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点). 定义 2:点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

c 数e= (0<e<1) 时,这个点的轨迹是椭圆. a
b.图形和标准方程

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x2 y2 图8-1的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b> 0) a b 2 x y2 图8- 2 的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b> 0) b a
c.几何性质
条件 {M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a >|F1 F2 |}

|MF1 | {M|
标准方程 顶点 轴 焦点 焦距
离心率

|MF2 | = 点M到l 2 的距离

点M到l 1 的距离

= e, 0<e<1}

x2 y2 ? ? 1(a>b> 0) a 2 b2 A1 (- a , 0), A2 (a , 0) B1 (0 ,- b), B2 (0 , b)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0) |F1 F2 |=2c(c > 0), c 2 =a2 - b2

x2 y2 ? ? 1( a>b> 0) b2 a2 A1 (0 ,- a), A2 (0 , a) B1 (- b , 0), B2 (b , 0)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c)

对称轴: x 轴, y 轴.长轴长|A1 A2 |=2a ,短轴长|B1 B2 |=2b

c e= (0<e<1) a a2 a2 ;l 2 : x= 准线方程 l1 :x= ? c c
焦点半径 |MF1 |= a + ex0 , |MF2 |= a - ex0

a2 a2 ;l 2 : y= c c |MF1 |= a + ey0 , |MF2 |= a - ey0 l1 :y= ?


点和椭圆 的关系



x2 0 a2

?

y2 0 b2

? 1 ? ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 < 内
(k 为切线斜率), y=kx± b 2 k 2 ? a 2 x0x y y + 02 =1 2 b a (x0 , y0 )为切点 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 b a

(k 为切线斜率), y=kx± a 2 k 2 ? b 2 切线方程 x 0 x + y 0 y =1 a2 b2 (x0 , y0 )为切点 切点弦 方 程 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 a b

1 k2 弦长公式 其中(x1 , y1 ), 2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为割弦所在直 (x | x 2 -x 1 | 1 + k 2 或|y 1 -y 2 | 1 +
线的斜率

d.常用结论

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①过椭圆

x2 y 2 2b 2 (过焦点垂直 ? 2 ? 1的焦点的弦 AB 长的最大值为 2a, (长轴);最小值为 a2 b a

长轴的弦) ②设椭圆

x2 y 2 ? ? 1的两焦点分别为 F1,F2, P 为椭圆任意一点,当∠F1PF2 最大时, a 2 b2

P 为短轴端点; ③椭圆上的点到焦点的最短距离为 a-c;椭圆上的点到焦点的最长距离为 a+c (2)双曲线 a.定义 定义 1:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点). 定义 2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的 轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点). b.图形和标准方程

图 8-3 的标准方程为:

x2 y2 - 2 =1(a>0,b> 0) a2 b

图 8-4 的标准方程为:

y2 x2 - 2 =1(a>0,b> 0) a2 b
c.几何性质

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P ={M|MF1 |-|MF2 |= 2a , a > 0 , 2a <|F1 F2 |}. 条件

P={M|

|MF1 | |MF2 | = =e,e>1}. 点M到l 1 的距离 点M到l 2 的距离
y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (0 ,- a), A2 (0 , a)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c)

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距 离心率

y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (- a , 0), A2 (a , 0)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0)

对称轴: x 轴, y 轴,实轴长|A1 A2 |= 2a ,虚轴长|B1 B2 |= 2b |F1 F2 |= 2c(c > 0), c 2 = a2 + b2

c e= (e>1) a a2 a2 l1 : x=- ;l 2 : x= 准线方程 c c
渐近线 方 程 共渐近线 的双曲线 系方程 焦点半径

l1 :y=-

a2 a2 ; l 2 : y= c c

y=±

y2 b x2 x( 或 2 - 2 = 0) a a b

y=±

y2 a x2 x( 或 2 - 2 = 0) b a b

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ex0 + a , |MF2 |= ex0 - a y=kx± a 2 k 2 ? b 2 (k 为切线斜率)

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ey0 + a , |MF2 |= ey0 - a y=kx± b 2 k 2 ? a 2 (k 为切线斜率)

b b k> 或k<- a x0x a y0y - 2 =1 切线方程 2 a b
((x0 , y0 )为切点

a a k> 或k<- b y0y b x0x - 2 =1 2 a b
((x0 , y0 )为切点

xy=a 2 的切线方程:

x0y ? y0x =a 2 ((x 0 ,y 0 ) 为切点 2

切点弦 方 程

(x0 , y0 )在双曲线外 x0x y y - 02 =1 2 a b

(x0 , y0 )在双曲线外 y0y x x - 02 =1 2 a b

| x 2 -x 1 | 1 + k 2 或 | y 1 -y 2 | 1 +
弦长公式

1 k2

其中(x1 , y1 ),(x2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为 割弦所在直线的斜率

d.常用结论 ①过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点的弦 AB 长的最小值为 2a (A,B 分别在两支上) ,最小值为 a 2 b2
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2b 2 (A,B 在同一支上且过焦点垂直实轴的弦) a
②双曲线的

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 的渐近线方程为 2 ? 2 ? 0 a2 b a b

③双曲线上的点到焦点的最短距离为 c-a (3).抛物线 a.定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 定点 F 叫做抛物线 的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. b.抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表:

①抛物线的标准方程有以下特点:都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴;方程不同,开 口方向不同;焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离. ②p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离.

③弦长公式:设直线为y=kx+b抛物线为y 2 = 2px,|AB| = 1 ? k 2
|x 2 -x 1 | = 1 ? 1 |y 2 -y 1 | k2

焦点弦长公式:|AB|=p+x1+x2 c.常用结论 ①过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p ②设 A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上的两点, 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2=-p2 ③设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定 点(2p,0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦 点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0<e<1 时,是椭圆,当 e>1 时, 是双曲线,当 e=1 时,是抛物线. 4. 直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来) (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比 b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所在的直 线方程 (4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是 圆锥曲线上否存在两点关于直线对称)
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5.二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线 为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法, 并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、 有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形 成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。 6.知识网络 点斜式 两点式 直线方程的基本形式 一般式 在线上 点和直线的位置关系 在线外——点到直线的距离 重合 垂直 两条直线的位置关系 平行 交点 相交 夹角 二元一次不等式表示平面区域 线性规划 简单的线性规划 线性规划的实际应用 标准式 一般式 参数式 直线的倾斜角和斜率

直线

曲线与方程

交点 相交 弦长 圆的方程 相切——圆的切线 位置关系 相等 圆 直线与圆的位置关系 判定方法:圆心到直线的距离 d 与半径 R 的比较 外切、相交、内切、内含 应用两立方程的解式 位置关系 圆心点与两半径和(差)比较 圆与圆的位置关系 判定方法:圆心距离与两半径和(差)的比较 圆内 位置关系 圆外 圆上 点与圆的位置关系 判定方法:点到圆心的距离与半径 R 的比较 性质:对称性、焦点、顶点、 圆锥曲线——椭圆、曲线、直线—定义—标准方程 离率、准线、焦半径等 直线与圆锥曲线的位置关系 二、经典例题剖析 (根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析,要求例题不得少于 8 个) 考点一 曲线(轨迹)方程的求法 常见的求轨迹方程的方法: (1)单动点的轨迹问题——直接法(五步曲)+ 待定系数法(定义法); (2)双动点的轨迹问题——代入法; (3)多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。

圆的定义

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1. (哈九中) 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, x2 b2

满足 (

x1 y1 x y 3 , 短轴长为 2,0 为坐标原点. , ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,椭圆的离心率 e ? 2 b a b a

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c), (c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过 e ?

3 , 2b ? 2 ,及 a, b, c 之间的关系可得椭圆的方程;(2)从 2

方程入手,通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理;(3)要注意特殊与一般 的关系,分直线的斜率存在与不存在讨论。 答案:(1) 2b ? 2.b ? 1, e ?

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2.e ? 3 a a 2

椭圆的方程为

y2 ? x2 ? 1 4

(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

?y ? kx? 3 ? 2 3k ?1 ? ? ( k 2 ? 4) x 2 ? 2 3k x ? 1 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 由 ? y2 2 k ?4 k ?4 ? ? x ?1 ?4
由已知

0?

x1 x2 y1 y 2 1 k2 3k 3 ? 2 ? x1 x 2 ? (kx1 ? 3 )( kx2 ? 3 ) ? (1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 4 4 4 4 b a

k2 ? 4 1 3k ? 2 3k 3 ? (? 2 )? ? 2 ? , 解得k ? ? 2 4 4 k ?4 k ?4 4
(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点.S△AOB=1 当 A,B 不为顶点时,设 AB 的方程为 y=kx+b

?y ? kx? b ? 2k b ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2k bx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4

b2 ? 4 x1 x 2 ? 2 k ?4

x1 x2 ?

y1 y 2 (kx ? b)( kx2 ? b) ? 0 ? x1 x2 ? 1 ? 0代入整理得 : 4 4
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1 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 2 2b ? k ? 4 S ? ? | b || x1 ? x 2 |? | b | ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 |? 2 2 k2 ? 4
2 2

?

4k 2 ?1 2|b|

所以三角形的面积为定值. 点评:本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质,二次方程的根与系数的关系、解析几何 的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 2. (湖北省十一校)在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1) 平面内两点 G、M 同时满足① GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥

??? ??? ??? ? ? ?

?

????

????

???? ?

???? ?

??? ? AB
(1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2) P、Q、R、 都在曲线 E 上 , 设 N 定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF · RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

解析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征;(2)要把握好直线与椭圆的位置关系, 弦长公式,灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案:(1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , △ABC 的重心 , 由③知 M(

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

?G 为

?

G(

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心,?M 在 x 轴上

x ,0), 3
????
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

???? ?

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 ? y 2 ? 1 (x≠0)。 3 x2 ? y 2 ? 1的右焦点 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 ,0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
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6 2k 2 设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = , 3k 2 ? 1
则| PQ | = 1 ? k
2
2 · ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

6k 2 ? 3 x1·x2 = 3k 2 ? 1

=

1? k 2 · (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ) ? 4? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

=

2 3(k 2 ? 1) 3k 2 ? 1 2 3(k 2 ? 1) 1 得 | RN | = 3? k2 k

?RN⊥PQ,把 k 换成 ?
1 ?S = | PQ | ·| RN | 2
=

6(k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)

=2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S 1 8 ≥16 ? k 2 ? 2 ≥2 , ? k 2?S 3 ? ≤ S < 2 , (当 k = ±1 时取等号) 2 ? 3(k 2 ?
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 ≤ S ≤ 2 2 3 ?Smax = 2 , Smin = 2

点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系 及不等式,转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。

考点二 圆锥曲线的几何性质 3.(2006 年安徽省高考题)如图,F 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 P a 2 b2
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为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点 形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF
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已知四边

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y
M P

(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且品行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若
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o

F

x

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AB ? 12 ,求此时的双曲线方程

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分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。 解:∵四边形 OFPM 是 ? ,∴ | OF |? | PM |? c,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则

a2 | PM |? | PH | ? 2 c





e?

| PF | ? | OF | ?c ?c2 ?e2 ? ? ? 2 ? 2 a2 a 2 c ? 2a 2 e ? 2 | PH | c?2 c?2 c c



e2 ? ? e ? 2 ? 0

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(Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为
2 2

x2 y2 ? 2 ? 1四边形 OFPM 是 4a 2 3a

菱形,所以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方 程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 ,
2 2

又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k

2

48a 2 60a 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得: 12 ? 2 ( ) ? 4 ,解得 9 9

a2 ?

x2 y2 9 27 2 ,则 b ? ,所以 ? ? 1 为所求 9 27 4 4 4

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点评:本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。

4.(2006 年湖北省高考题)设 A, B 分别为椭圆 长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线 (Ⅰ)、求椭圆的方程;
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x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆 a 2 b2

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(Ⅱ)、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线 AP, BP 分别与椭圆相交 于异于 A, B 的点 M、N ,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内
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分析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力
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a2 解:(Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 c
故椭圆的方程为

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x2 y2 ? ?1 4 3

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y
M A 京翰教育 http://www.zgjhjy.com/ P

o
N

B

(4,0)

x

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(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0) 设 M(x0,y0)
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∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 (4-x02) 4

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1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,

6 y0 ) x0 ? 2

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从而 BM =(x0-2,y0),

???? ?

??? ? 6 y0 ) BP =(2, x0 ? 2

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2 ???? ??? ? ? 6 y0 2 ∴ BM · BP =2x0-4+ = (x02-4+3y02) x0 ? 2 x0 ? 2

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2 ○

将○代入○,化简得 BM · BP = 1 2

???? ?

??? ?

5 (2-x0) 2

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∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0)
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???? ?

??? ?

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设 M(x1,y1),N(x2,y2),

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为( 依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ), 2 2

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] MN =( 1 2 2 4 4
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴

6 y1 6 y2 (x 2 ? 2) y1 3 ? ,即 y2= x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2
2 2

4 ○

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4
于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内
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5 ○

2

1 5 2 MN = (2-x1 )( x2 ? 2) ? 0 4 4

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点评:本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,运用数学知识进行推理 运算的能力和解决问题的能力 考点三 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.
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5.已知某椭圆的焦点 F1(-4,0),F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个 焦点为 B,且=10,椭圆上不同两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,| F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离,所以可以从椭圆的定义入手. 解:(1)由椭圆的定义及已知条件知:2a=|F1B|+|F2B|=10,所以 a=5,又 c=3, 故 b=4.故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 9

9 25 ,因为椭圆的右准线方程为 x ? ,离 5 4 4 4 25 4 心率 e ? .所以根据椭圆的第二定义,有 | F2 A |? ( ? x1 ) ? 5 ? x1 , 5 5 4 5 4 25 4 4 | F2 C |? ( ? x2 ) ? 5 ? x2 .因为|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列,5 ? x1 + 5 4 5 5 4 9 x1+x2=8, 5 ? x2 ? 2 ? ,所以: 5 5
由点 B(4,y0)在椭圆上,得|F2B|=|y0|= 从而弦 AC 的中点的横坐标为

x1 ? x 2 ? 4。 2

点评:涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而涉及 曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是右焦 点与右准线对应,不能弄错. 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程, 利用判别式、 韦达定理 来求解或证明. 6.抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2
2

的 两 条 直 线 分 别 交 抛 物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2) 两 点 (P,A,B 三 点 互 不相同 ), 且 满 足

k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) .(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程;
(Ⅱ)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (Ⅲ)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值 范围. 分析:将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程,用韦达定理来求解. 解: Ⅰ) ( 由抛物线 C 的方程 y ? ax ( a ? 0 ) 焦点坐标为 (0, 得,
2

1 1 准线方程为 y ? ? . ), 4a 4a

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( Ⅱ ) 证 明 : 设 直 线 PA 的 方 程 为 y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) , 直 线 PB 的 方 程 为

y ? y 0 ? k 2 ( x ? x0 ) .
点 P( x0 , y 0 ) 和点 A( x1 , y1 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 )? ① ? 的解.将②式代入① 2 ? y ? ax ?? ② ?

式得 ax 2 ? k1 x ? k1 x0 ? y 0 ? 0 ,于是 x1 ? x0 ?

k1 k ,故 x1 ? 1 ? x0 a a



又点 P( x0 , y 0 ) 和点 B( x2 , y 2 ) 的坐标是方程组 ?

? y ? y0 ? k2 ( x ? x0 )? ④ ? 的解. 将⑤式代入 2 ? ? y ? ax      ⑤ ?

④式得 ax 2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y 0 ? 0 .于是 x2 ? x0 ? 由已知得, k 2 ? ??k1 ,则 x 2 ? ?

?
a

k2 k ,故 x2 ? 2 ? x0 . a a


k1 ? x0 .

设点 M 的坐标为 ( x M , y M ) ,由 BM ? ? MA ,则 x M ?

x 2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式得 x M ? ∴线段 PM 的中点在 y 轴上.

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即 x M ? x0 ? 0 . 1? ?

(Ⅲ)因为点 P(1,?1) 在抛物线 y ? ax 上,所以 a ? ?1 ,抛物线方程为 y ? ? x .
2 2

由③式知 x1 ? ?k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y1 ? ?(k1 ? 1) .
2 2

将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1 ,代入 y ? ? x 得 y 2 ? ?(k 2 ? 1) .
2 2

因此,直线 PA 、 PB 分别与抛物线 C 的交点 A 、 B 的坐标为

A(?k1 ? 1, ?k12 ? 2k1 ? 1) , B(k1 ? 1, ?k12 ? 2k1 ? 1) .
于是 AP ? (k1 ? 2, k1 ? 2k1 ) , AB ? (2k1 , 4k1 ) ,
2

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1 ) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ? 1) .
因 ?PAB 为钝角且 P 、 A 、 B 三点互不相同,故必有 AP ? AB ? 0 .

??? ??? ? ?

1 ? k1 ? 0 .又点 A 的纵坐标 y1 满足 y1 ? ?(k1 ? 1) 2 ,故 2 1 1 1 当 k1 ? ?2 时, y1 ? ?1 ;当 ? ? k1 ? 0 时, ?1 ? y1 ? ? .即 y1 ? (??, ?1) ? (?1, ? ) 2 4 4
求得 k 1 的取值范围是 k1 ? ?2 或 ?
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点评:解析几何解题思维方法比较简单,但对运算能力的要求比较高,平时练习要注意提高 自己的运算能力. 7.(上海市宝山区)已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点到焦点 F 的距离比到 y
2

轴的距离大 1。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若过焦点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,M 在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线 MN 的方程; (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题, 我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积”.求 出体积 16 后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 16 ,求侧
3 3

棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为 16 ,求所有侧面面积之和的最小值”.
3

现有正确命题:过点 A(?

p , 0) 的直线交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 P、Q 两点,设 2

点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过焦点 F。 试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题。 答案:解:(1) y ? 4 x
2

(2)设 N (

t2 , ?t ) (t>0),则 M (t 2 , 2t ) ,F(1,0)。 4

因为 M、F、N 共线,则有 kFM ? k NF , 所以

?t 1 2 t ?1 4

?

2t ,解得 t ? 2 , t ?1
2

所以 k ?

2 2 ?2 2, 2 ?1

因而,直线 MN 的方程是 y ? 2 2( x ? 1) 。 (3)“逆向问题”一: ①已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,
2

设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(? 证明:设过 F 的直线为 y=k(x ?

p , 0) 。 2

p ), P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 R( x1 , ? y1 ) 2

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? y2 ? 4x ? ? p ? y ? k(x ? ) ? 2



k 2 x 2 ? ( pk 2 ? 4) x ?

1 2 2 p k ?0 4

, 所 以

x1 x2 ?

p2 4



k RA

p p p p k ( x2 ? ) k ( x1 x2 ? x1 ) k ( x1 ? ) k ( x1 ? ) ? y1 2 , k ? 2 ? 2 2 =k , ? ?? ?? RA QA p p p p p x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? x1 ? x1 ? 2 2 2 2 2

所以直线 RQ 必过焦点 A。 ②过点 A(? p , 0) 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,FP 与抛物线交于另一点 R,则 RQ 垂
2

直于 x 轴。 ③已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) ,过点 B(m,0 )(m>0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两
2

点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。 “逆向问题”二:已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交椭 a 2 b2

圆 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(

a2 , 0) 。 c

2 2 “逆向问题”三:已知双曲线 C: x ? y ? 1 的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交 2 2

a

b

双曲线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(

a2 , 0) 。 c

考点五 圆锥曲线在高考中的应用 (1).圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 8. (2004 年全国高考天津理科 22 题)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于 焦点 F(C,0)(C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭 圆相交于 P、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP·O Q = 0,求直线 PQ 的方程; (3)设 A P = ? AQ( ? >1),过点 P 且平行与准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M, 证明 FM = - ? FQ 。 分析:(1)要求椭圆的方程及离心率,很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程 的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解: (1)根据已知条件“椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(C,0) (C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A。” 可设椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a> 2 ), 2 a2

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从而有 a ? c ?
2 2

? 2 ? ; OF ? 2 FA , 可以有 c ? ( ac 又因 2
2

2

, ? c) 联系以上这两个关于 a、

c 的方程组并解得 a= 6 ,c=2,所以椭圆的方程为

x2 y2 6 。 ? ? 1 ,离心率 e= 2 6 2

(2)根据已知条件 “O P·O Q = 0” ,我们可设 P ?x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y 2 ? ,把两个向量 的数量积的形式转化为坐标表示的形式,再根据直线 PQ 经过 A(3,0),只须求出直线 PQ 的斜率 K 即可求出直线 PQ 的方程。而 P、Q 两点又在椭圆上,因此,我们容易想到通 过 直 线 y=k ( x-3 ) 与 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 ,联系方程组消去一个未知数 y(或 x)得 6 2

?3k

2

? 1 x 2 ? 18k 2 x ? 27 k 2 ? 6 ? 0 , 并 利 用 一 元 二 次 方 程 的 根 与 系 数 关 系 结 合

?

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 及 y1 y 2 ? k 2 ?x1 ? 3??x2 ? 3? 不难求出 k= ?

5 ,这里应特别注意 K 的值 5

要保证 ? >0 成立,否则无法保证直线 PQ 与椭圆有两个交点。 (3)要证 F M =- ? F Q ,我们容易想到通过式中两个向量 FM、FQ 的坐标之间关系来谋 求证题的方法。为此我们可根据题意“过点 P 且平行为准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M”,求得点 M 坐标为 ?x1 ,? y1 ? 。又因 AP= ? AQ,易知 FM、FQ 的两个纵坐标已经满足

y1 ? ??y 2 , 所 以 现 在 要 考 虑 的 问 题 是 如 何 证 明 FM 、 FQ 的 两 个 横 坐 标 应 该 满 足 x1 ? 2 ? ?? ?x2 ? 2? ,事实上, AP ? ?x1 ? 3, y1 ?, AQ ? ?x2 ? 3, y 2 ?
注意到 ? >1,解得 x 2 ?

5? ? 1 2?



因 F(2,0),M ?x1 ,? y1 ? ,故 FM= ?x1 ? 2,? y1 ? = ?? ?x2 ? 3? ? 1,? y 2 ? 。 =?

?1? ? ? ? ? ?1 ? ,? y1 ? = ? ? ? ,? y 2 ? ? 2 ? ? 2? ?

又 FQ= ? x 2 ? 2, y 2 ? ? ?

? ? ?1 ? , y 2 ? ,因此 FM=- ? FQ。 ? 2? ?

点评:本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念,直线方程、平面向量的坐标表 示和向量的数量积,多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何 的基础思想方法,以及分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系, 转化为两个向量坐标之间的关系, 再通过代数运算的方法来解决有 关向量的问题是一种常用的解题手段。
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9. (江苏卷)已知 F1 (?2,0), F2 (2,0), 点P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M (m,0) ,使 MP ? MQ 恒成 立,求实数 m 的值. (ii) P、 作直线 x ? 过 Q 求λ 的取值范围. 答案:解:(1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双 曲线右支,由 c ? 2, 2a ? 2, ? b ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2

1 的垂线 PA、 OB, 垂足分别为 A、 记 ? ? | PA | ? | QB | , B, 2 | AB |

2

y2 ? 1( x ? 1). 3

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,与双曲 线方程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x ? x ? 4k ? 0 1 2 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
解得 k2 >3 (i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? y1 y 2

? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4k 2 ( k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 k2 ?3 k2 ?3 3 ? (4m ? 5) k 2 ? ? m2 . 2 k ?3 ?
? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的
2 2 2

k 2 ? 3 恒成立,
2 ? ?1 ? m ? 0 ?? 2 , 解得m ? ?1. ?m ? 4 m ? 5 ? 0 ?

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∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. (ii)? a ? 1, c ? 2,? 直线 x ?

1 是双曲线的右准线, 2 1 1 1 由双曲线定义得: | PA |? | PF2 |? | PF2 |, | QB |? | QF2 | , e 2 2
1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 方法一:? ? ? 2 | AB | 2 | y2 ? y1| ? 1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? 1? 2 . 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

? k 2 ? 3,? 0 ?

1 1 1 3 ? ,故 ? ? ? , 2 3 2 3 k

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |, 此时? ? 综上, ? ? ? ,

1 , 2

?1

3? ?. ? ?2 3 ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

2? ,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则 3 3 ? | PQ | | PQ | 1 1 ?PQC ?| ? ? |,? ? ? ? ? ? . ? 2 2 | AB | 2 | CQ | 2 sin ? 2 cos( ? ? ) 2 ?? ?

?



?
3

?? ?
?1

2? 3 ,得 ? sin ? ? 1, 3 2

故: ? ? ? ,

3? ?. ? ?2 3 ?

(2)。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 10.(2004 年全国高考福建理科 22 题)如图,P 是抛物线 C: y ? 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。
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1 2 x 上一点,直线 L 2

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(Ⅰ)若直线 L 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 不过原点且与 X 轴交于 S,与 Y 轴交于点 T,试求 分析:(1)要求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,我们常把 M 的坐标转化为线段 PQ 的两 个端点坐标之间的关系。而 P、Q 两点又是直线 L 与抛物线的交点,容易想到直线 L 的方 程与抛物线 C 的方程相联立消去 y(或 x),转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另 外,求过抛物线 P 的切线的斜率问题,我们自然会想到求出数 y ?
'

1 2 x 的导数。 2

解:(1)事实上 y ? x ,这样过 P ?x1 , y1 ? 的斜率为 x1 ,由于直线 L 与过点 P 的切线垂直, 因此直线 L 的斜率为 ?

1 1 2 1 ( x1 ≠0),所以可设直线 L 的方程为 y ? x1 ? ? ( x ? x1 ) , 2 x1 x1

结合 y ?

2 1 2 x ,消去 y 并化简得 x 2 ? x ? x12 ? 2 ? 0 。 x1 2

若设 Q ? x 2 , y 2 ? ,M ? x 0 , y 0 ? ,因 M 为 PQ 的中点,故有

x0 ? ?

y ? y2 1 1 1 ? ?x1 ? x 2 ?, y 0 ? ? x12 ? 2 ? 1 消 去 x1 得 M 的 轨 迹 方 程 为 x1 2 2 2

?

?

2 y 0 ? x0 ?

1 ? 1( x0 ? 0) 。 2 2 x0
2

即 M 的轨迹方程为 y ? x ?

1 ? 1?x ? 0? 。 2x 2

(2) 根据式子

ST SP

?

ST SQ

的特点, 我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。

于是可先求 S、T 两点的坐标,易知:

1 ? ? S x1 ? x12 ,0 , T ? 0,1 ? x12 ? ,从而有 2 ? ?
? 1 ? ST ? ?1 ? x12 ? x12 ? 1, SP ? y1 x12 ? 1, SQ ? y 2 ? 2 ?


?

?

x12 ? 1

ST SP

?

ST SQ

= ?1 ?

? ?

1 2 ?? 1 1 ? ? x1 ?? ? 2 ?? y1 y2 ? ? ?
2

1 2 1 2 1 ?1 2 ? 2 又因 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? ? ? x1 ? 1? 2 2 4 ?2 ?


ST SP

?

ST SQ

≥ ?1 ?

? ?

1 2? x1 ? · 2 ?

1 ≥2 y1 y 2
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∵ y1 、 y 2 可取一切不相等的正数。 ∴

ST SP

?

ST SQ

的取值范围是(2, ? ? )。

点评:这里的解法有别于 2004 年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到,其解法的 优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答,这更贴近考生的学习实际。 三、方法总结与 2008 年高考预测 (分析 2008 年高考命题趋势,对命题难度,内容,热点等作总结) (一)方法总结 1.求曲线方程常利用待定系数法,求出相应的 a,b,p 等.要充分认识椭圆中参数 a,b,c,e 的意义及相互关系,在求标准方程时,已知条件常与这些参数有关. 2.涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要注意运用第一定义,而涉 及曲线上的点到某一焦点的距离,常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者,需要注意的是右 焦点与右准线对应,不能弄错. 3.直线与圆锥曲线的位置关系问题,利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转 化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明. 4.对于轨迹问题,要根据已知条件求出轨迹方程,再由方程说明轨迹的位置、形状、 大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等. 5.与圆锥曲线有关的对称问题,利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. (二)2008 年高考预测 1.求曲线(轨迹)方程的常用方法(直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法 等)。 2.掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3.解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容, 因而成为高考考查的重点。 综观近几年的全国和部 分省高考数学试题,本专题列出高考考查的热点内容有: (1)直线方程; (2)圆锥曲线的标准方程; (3)圆锥曲线的几何性质; (4)直线与圆锥曲线的位置关系; (5)求曲线(轨迹)方程。特别是求曲线(轨迹)方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题 是高考解析几何问题的热中之热。 四、强化训练 (要求选择填空解答兼有并留有解答空间,便于用户直接应用) 选择题

x2 y2 ? ? 1 内 有 一 点 P(1,? 1), F 为 右 焦 点 , 椭 圆 上 有 一 点 M , 使 1.若椭圆 4 3
| MP | ? 2 | MF 最小,则点 M 是() |

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(A) (

2 6 3 , ?1) (B) (1, ? ) 3 2
2

(C) (1, ? ) (D) (?

3 2

2 6 , ?1) 3

2.过抛物线 y ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,若 x1 ? x2 ? 3, 则

PQ 的中点 M 到抛物线准线的距离为()
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

x2 y 2 x2 y2 2 3. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 双曲线 2 ? 2 ? 1 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的 a b a b
离心率分别为 e1 , e2 , e3 ,则() (A) e1e2 ? e3 (B) e1e2 ? e3 (C) e1e2 ? e3 (D) e1e2 ? e3 4.抛物线 y ? 2 px 上的一点为 Q(6, y0 ) 且 Q 点到抛物线的焦点 F 的距离 | FQ |? 10 ,
2

则 F 点到抛物线的准线 l 的距离是() (A)16 (B)12 (C)8 (D)4 5.直线 l : x ? y ? 2 ,点 P(1,0) ,若 P 点关于 l 的对称点 P 在双曲线 2ax ? ay ? 1 上, 1
2 2

则双曲线的焦点坐标是() (A) (0, ?

6 6 42 42 ) (B) (? , 0) (C) (0, ? ) (D) ( ? , 0) 2 2 2 2

6.设连结双曲线

x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 的四个顶点所成的四边形面积为 S1 ,连结 a2 b b a

起四个焦点所成的四边形的面积为 S 2 ,则 S1 : S 2 的最大值是() (A)

1 1 (B) (C) 1 (D) 2 4 2
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,椭圆上的点与点 F 的距离的 a2 b2

7. 设 F(c,0)为椭圆

最大值为 M,最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离是 A.( c,? 8
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1 ( M ? m) 的点是( 2
D.以上都不对



b ) a

B.(0, ? b )

C.( ? c,?

b ) a

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中心在原点, 焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横

坐标为

1 ,则椭圆方程为( 2

)

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A.
9

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75

B.

2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25

C.

x2 y2 ? ?1 25 75

D.

x2 y2 ? ?1 75 25

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 4 5 4 10 8 10 A 2 B C D 5 5 5 2 10 抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3,则恒有( ) A x3=x1+x2 B x1x2=x1x3+x2x3 C x1+x2+x3=0 D x1x2+x2x3+x3x1=0
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斜率为 1 的直线 l 与椭圆
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已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当△ABC )

的面积最大时,m 等于( A
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3
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B

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9 4

C

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5 2

D

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3 2

12 A
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设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ? 4 B
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9 2 ) 的最小值为( ) v
D
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2

C

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8

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2 2

1—12 答案 1.【答案】A 解析: 设点 M 到右准线距离为 | MN | ,则

| MF | 1 ?e? 。 | MN | 2

于是 | MP | ?2 | MF |?| MP | ? | MN | ,所以过点 P 作准线 x ?

a2 的垂线,该垂线与椭圆的 c

焦点就是 M ,此时 M (

2 6 , ?1) 。 3

2. 【答案】D 解析: 分别过点 P, Q, M 向准线引垂线,其长度分别为 d1 , d 2 , d3 ,∵ M 是

PQ 的中点,

p p ( ? x1 ) ? ( ? x2 ) d ? d2 x ?x ? p 2 ∴ d3 ? 1 ? 2 ? 1 2 ? 2。 2 2 2
3.【答案】C 解析: ∵椭圆 e1 ?

a 2 ? b2 b2 ? 1? ( 2 ) , a a

双曲线 e2 ?

a 2 ? b2 b2 ? 1 ? 2 ,抛物线 e3 ? 1 。 a a
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b2 b2 b2 2 ∴ e1e2 ? (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? 1 ? ( 2 ) ? 1 ? e3 a a a
4.【答案】C 解析: 抛物线准线 x ? ? 由 p 的意义知选 C 。 5.【答案】D 解析: 解得对称点 P (2, ?1) ,代入双曲线方程的 a ? 1

p p ,由抛物线定义知 6 ? ( ? ) ? 10 ,得 p ? 8 , 2 2

1 , 7

∴双曲线为

7 42 x2 y 2 ?7 ? 。 ? ? 1 。∴半焦距 c ? 7 2 2 7 2

6.【答案】B 解析: 设 a ? 0, b ? 0 , S1 ?

1 ? 2a ? 2b ? 2ab , 2

1 S2 ? 2 ? ( ? 2c ? c) ? 2c 2 ? 2(a 2 ? b2 ) 2


S1 2ab a 2 ? b2 1 ? ? ? 2 2 2 2 S 2 2(a ? b ) 2(a ? b ) 2

7.B 提示:M=a+c,m=a-c,∴

1 ( M ? m) =a,应选 B. 2
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8.C

提示

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ht tp//w w w.x j k t yg om x c : . c /w /

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ht tp//w w w.x j k t yg om x c : . c /w /

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由题意,可设椭圆方程为

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y2 x2 ? a2 b2

=1, 且 a2=50+b2 , 即 方 程 为

y2 x2 ? 2 =1 50 ? b 2 b
得 b2=25,a2=75 9. C 提示
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将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程

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由 x1+x2=1 可求

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弦长|AB|= 2 ?

4 ? 5 ? t2 4 10 ≤ 5 5

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答案

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C

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D

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? y ? ax 2 k b b 解方程组 ? ,得 ax2-kx-b=0,可知 x1+x2= ,x1x2=- ,x3=- , a a k ? y ? kx ? b
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代入验证即可 答案
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B
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由题意知 A(1,1),B(m, m ),C(4,2)

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直线 AC 所在方程为 x-3y+2=0,

点 B 到该直线的距离为 d=

|m ?3 m ? 2|
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S ?ABC ?

1 1 |m ? 3 m ? 2| 1 1 3 1 | AB | ?d ? ? 10 ? ? | m ? 3 m ? 2 |? | ( m ? ) 2 ? | ∵ m ∈ 2 2 2 2 2 4 10
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(1,4),∴当 m ?
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12 C 提示 距离的最小值 填空题 13 直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点 作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________ 14 在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________
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3 9 时,S△ABC 有最大值,此时 m= 答案 B 4 2 考虑式子的几何意义, 转化为求圆 x2+y2=2 上的点与双曲线 xy=9 上的点的 选C
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A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P,使∠OPA=
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? , 2

则椭圆离心率的范围是_________ 16 已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时, BP⊥PQ,则 Q 点的横坐标的取值范围是_________
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13-16 答案

x2 y2 =1 提示 所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| ? 5 4 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P 使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解 14. 8x-y-15=0 提示 设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B,且 A(x1,y1),B(x2,y2), 代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2)
13.
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y1 ? y2 16 ? ? kAB=8 x1 ? x2 y1 ? y2

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故所求直线方程为 y=8x-15

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15

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2 <e<1 2

提示

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设椭圆方程为

x2 y2 =1(a>b>0),以 OA 为直径的圆: ? a2 b2
即 e2x2-ax+b2=0,该方程有一解 x2,一

x2-ax+y2=0,两式联立消 y 得

a2 ? b2 2 x -ax+b2=0 2 a

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解为 a,由韦达定理 x2= 16 ∴
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a a 2 -a,0<x2<a,即 0< 2 -a<a ? <e<1 2 2 e e
提示
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(-∞,-3 ] ∪ [ 1,+∞)

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设 P(t,t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,

t 2 ? 1 ( s 2 ? 1) ? (t 2 ? 1) =-1,即 t2+(s-1)t-s+1=0, ? t ?1 s ?t ∵t∈R,∴必须有Δ =(s-1)2+4(s-1)≥0 即 s2+2s-3≥0,解得 s≤-3 或 s≥1
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解答题

x2 y2 1. (江苏省扬州中学)点 P 在以 F1 , F2 为焦点的双曲线 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上, a b
已知 PF1 ? PF2 , | PF1 |? 2 | PF2 | ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求双曲线的离心率 e ;
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(Ⅱ)过点 P 作直线分别与双曲线渐近线相交于 P , P2 两点,且 OP1 ? OP2 ? ? 1

27 , 4

2 PP ? PP2 ? 0 ,求双曲线 E 的方程; 1
(Ⅲ)若过点 Q(m,0) ( m 为非零常数)的直线 l 与(2)中双曲线 E 相交于不同于双曲线 顶点的两点 M、N,且 MQ ? ? QN ( ? 为非零常数),问在 x 轴上是否存在定点 G,使

F1 F2 ? (GM ? ? GN ) ?若存在,求出所有这种定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由.
解析: 答案:解:(I) | PF1 |? 2 | PF2 |, | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? PF1 |? 4a, | PF2 |? 2a |

? PF1 ? PF2 ? (4a) 2 ? (2a) 2 ? (2c) 2 ? e ? 5
(II) E :

x2 y2 ? 2 ? 1 渐近线为 y ? ?2 x 设 P ( x1 ,2 x1 ), P2 ( x2 ,?2 x2 ), P( x, y) 1 a 2 4a

OP1 ? OP2 ? ?3x1 x2 ? ?
?x ?

27 9 ? x1 x2 ? ,? 2 PP1 ? PP2 ? 0 4 4

2 x1 ? x2 2(2 x1 ? x2 ) 9 2 2 代入 E 化简 x1 x 2 ? a ? a ? 2 ,y ? 3 3 8

?

x2 y2 ? ?1 2 8

(III)假设在 x 轴上存在定点 G(t ,0) 使 F1 F2 ? (GM ? ? GN ) , 设 l : x ? ky ? m, M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y 4 ) 联立 l 与 E 的方程得

? 8k m ? ? y 3 ? y 4 ? 4k 2 ? 1 (1) ? (4k 2 ? 1) y 2 ? 8kmy ? 4m 2 ? 8 ? 0 故 ? 2 ? y y ? 4 m ? 8 ( 2) ? 3 4 4k 2 ? 1 ?
GM ? ? GN ? ( x3 ? t ? ?x 4 ? ?t , y3 ? ?y 4 ), F1 F2 ? (2 10 ,0)

F1 F2 ? (GM ? ? GN )

? x3 ? t ? ?x4 ? ?t ? 0 ? k ( y3 ? ?y 4 ) ? (1 ? ? )m ? (? ? 1)t ? 0(3)
由 MQ ? ? QN ? y 3 ? ?y 4 ? 0 ? y3 ? ??y 4 (4) ∴(3)即为 2ky3 ? (1 ? ? )m ? (? ? 1)t ? 0(5) ,将(4)代入(1)(2)
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有 y 3 ? (? ? 1)

m2 ? 2 2 代入(5)得 t ? 2km m

故在 x 轴上存在定点 G (

2 ,0) 使 F1 F2 ? (GM ? ? GN ) 。 m

点评: 2. (重庆一中) 已知 AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一条弦,M(2,1)是 AB 的中点,以 M a 2 b2

为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线 AB 交于 N (4, ?1) . (1)设双曲线离心率为 e ,试将 e 表示为椭圆的半长轴长的函数; (2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时,求椭圆的方程; (3)求出椭圆长轴长的取值范围. 解析:

? x12 y12 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 答案:(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? 2 相减得 2 x2 y2 ? ? ?1 ? a2 b 2 ?
y1 ? y2 y1 ? y2 b2 ? ?? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 a
由双曲线定义知离心率 e ? 则 k AB ?

2 1 b2 ?? ?? 2 4 2 a

即 a ? 2b 故 b ? c
2 2
2

2

(2 ? 4) 2 ? 22 2 ? 2 a |a?2 2 | | ?4| c

(2)由上知椭圆离心率为

2 . 2

故e ?

2 ? 2 |a?2 2 |

则a ?3 2 或 2

当 a ? 3 2 时,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 18 9

x2 ? y 2 ? 1 .而此时 M (2,1) 在椭圆外. 故舍去. 当 a ? 2 时,椭圆方程为 2
则所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 18 9
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(3)由题设知 AB : y ? ? x ? 3 .椭圆 x ? 2 y ? a ? 0
2 2 2

? y ? ?x ? 3 2 2 2 2 得 3x ? 12 x ? 18 ? a ? 0 有 ? ? 12 ? 12(18 ? a ) ? 0 ? 2 x ? 2 y2 ? a2 ? 0 ?
故a ? 6 又由(2)知 e ?

?| a ? 2 2 |? 2 2 ? ?1 即 ? |a?2 2 | ?a ? 2 2 ? 0 ?

故 a 的范围是 ( 6, 2 2) ? (2 2, 2 ? 2 2) . 则长轴 2a 的范围是 (2 6, 4 2) ? (4 2, 4 ? 4 2) .

点评: 3. (深圳市) 已知椭圆 C 的中心为原点, F (1, 0) 是它的一个焦点, 点 直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且当直线 l 垂直于 x 轴时, OA ? OB ?

5 . 6

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得在椭圆 C 的右准线上可以找到一点 P ,满足 ?ABP 为正三角 形.如果存在,求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 解析: 答案:解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a 2 ? b 2 ? 1 .??① a2 b2

b2 b2 ?当 l 垂直于 x 轴时, A, B 两点坐标分别是 (1, ) 和 (1,? ) , a a
? OA ? OB ? (1, b2 b2 b4 b4 5 ) ? (1, ? ) ? 1 ? 2 ,则 1 ? 2 ? ,即 a 2 ? 6b 4 .???② a a 6 a a
4 2

由①,②消去 a ,得 6b ? b ? 1 ? 0 .

?b 2 ?

1 1 2 或 b ? ? (舍去). 2 3 1 3 2 2 当 b ? 时, a ? . 2 2
因此,椭圆 C 的方程为

2x 2 ? 2 y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设存在满足条件的直线 l .
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2b 2 6 (1)当直线 l 垂直于 x 轴时,由(Ⅰ)的解答可知 AB ? ,焦点 F 到右准线的距 ? a 3
离为 d ?

a2 1 3 ? c ? ,此时不满足 d ? AB . 2 c 2

因此,当直线 l 垂直于 x 轴时不满足条件. (2)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? 2x 2 ? (6k 2 ? 2) x 2 ? 12 k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 , 2 ? 2y ? 1 ? ? 3
设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ?

6k 2 6k 2 ? 3 , x1 x 2 ? . 3k 2 ? 1 6k 2 ? 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

6k 2 2 6k 2 ? 3 ? (1 ? k )[( 2 ) ? 4( 2 )] ? 3k ? 1 6k ? 2
2

6 (k 2 ? 1) . 3k 2 ? 1

又设 AB 的中点为 M ,则 x M ?

x1 ? x 2 3k 2 . ? 2 3k 2 ? 1

当 ?ABP 为正三角形时,直线 MP 的斜率为 k MP ? ?

1 . k

? xP ?

3 , 2
1 1 3 3k 2 1 ? k 2 3(k 2 ? 1) xP ? xM ? 1 ? 2 ? ( ? 2 )? ? . 2 3k ? 1 k2 k k2 2(3k 2 ? 1)

? MP ? 1 ?

当 ?ABP 为正三角形时, MP ? 解得 k ? 1 , k ? ?1.
2

1 ? k 2 3(k 2 ? 1) 3 3 6 (k 2 ? 1) ? ? AB ,即 = , 2 2 k2 2(3k 2 ? 1) 3k 2 ? 1

因此,满足条件的直线 l 存在,且直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 点评: 4. (东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连)已知 F1、F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

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的左、右焦点,其左准线与 x 轴相交于点 N,并且满足, F1 F2 ? 2 NF1 , | F1 F2 |? 2. 设 A、B 是上半椭圆上满足 NA ? ? NB 的两点,其中 ? ? [ , ]. (1)求此椭圆的方程及直线 AB 的斜率的取值范围; (2)设 A、B 两点分别作此椭圆的切线,两切线相交于一点 P,求证:点 P 在一条定直 线上,并求点 P 的纵坐标的取值范围. 答案:解:(1)由于 F1 F2 ? 2 NF1 , | F1 F2 |? 2 ,

1 1 5 3

?2c ?| F1 F2 |? 2, ? 2 ?a ? ? ? 1 ?| NF1 |? 1, ?c ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
?a 2 ? 2 x2 ? 解得 ? 2 ,从而所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 2 ?b ? 1 ?

? NA ? ? NB, ? A, B, N 三点共线,而点 N 的坐标为(-2,0).
设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,其中 k 为直线 AB 的斜率,依条件知 k≠0.

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 消去 x 得 2 ? ? y ?1 ?2

1 ( y ? 2) 2 ? 2 y 2 ? 2 , k



2k 2 ? 1 2 4 y ? y ? 2 ? 0. k k2

? 4 2 2k 2 ? 1 ? 0, ?? ? ( ) ? 8 ? 根据条件可知 ? k k2 ? k ? 0. ?
解得 0 ?| k |?

2 . 2

4k ? ? y1 ? y 2 ? 2k 2 ? 1 , ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则根据韦达定理,得 ? 2 ? y y ? 2k . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
又由 NA ? ? NB, 得( x1 ? 2, y1 ) ? ? ( x 2 ? 2, y 2 )

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? x1 ? 2 ? ? ( x 2 ? 2), ?? ? y1 ? ?y 2 .

4k ? ?(1 ? ? ) y 2 ? 2k 2 ? 1 , ? 从而 ? 2 ??y 2 ? 2k . ? 2 2k 2 ? 1 ?

消去 y 2 得

(1 ? ? ) 2

?
(1 ? ? ) 2

?

8 2k ? 1
2

.

令 ? (? ) ?

?
1

1 1 , ? ? [ , ], ,则 5 3 1 ?

? ?(? ) ? (? ?
由于

?

? 2)? ? 1 ?

?2

?2 ? 1 . ?2

1 1 ? ? ? ,所以? ?(? ) ? 0. 5 3 1 1 ? ? (? )是区间[ , ] 上的减函数, 5 3 1 1 16 36 从而 ? ( ) ? ? (? ) ? ? ( ) , 即 , ? ? (? ) ? 3 5 3 5 16 8 36 , ? ? 2 ? 3 2k ? 1 5
? 16 8 36 2 1 ? 2 ? ,解得 ?| k |? 3 2k ? 1 5 6 2 2 2 1 , ? ?k? . 2 6 2

而0 ? k ?

因此直线 AB 的斜率的取值范围是 [

2 1 , ]. 6 2

(2)上半椭圆的方程为 y ? 1 ?

1 2 1 1 2 x ,且y1 ? 1 ? x12 , y 2 ? 1 ? x 2 2 2 2

求导可得 y ? ?

?x 2 1? 1 2 x 2

所以两条切线的斜率分别为

k PA ? ?

x1 2 1? 1 2 x1 2

??

x1 , k PB ? ? 2 y1

x2 2 1? 1 2 x2 2

??

x2 2 y2

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[解法一]:切线 PA 的方程是

y ? y1 ? ?
2

x1 x x x 2 ? 2 y12 ( x ? x1 ),即y ? ? 1 ? 1 2 y1 2 y1 2 y1

又 x1 ? 2 y1 ? 2 ,
2

从而切线 PA 的方程为

y??

x1 x 1 ? 2 y1 y1 x2 x 1 ? . 2 y2 y2

同理可得切线 PB 的方程为

y1 ? ?

x1 x 1 ? ?y ? ? 2y ? y ? 1 1 由 ? ? y ? ? x2 x ? 1 ? 2 y2 y2 ?
再由

2( y 2 ? y1 ) ? ? x0 ? ? x y ? x y ? 2 1 1 2 可解得点 P 的坐标 ( x 0 , y 0 )满足 ? ? y ? x 2 ? x1 ? 0 x 2 y1 ? x1 y 2 ?

? x1 ? 2 ? ? ( x 2 ? 2) ,得 ? ? y1 ? ? ? y 2

x1 ? 2 x 2 ? 2 ? ? x 2 y1 ? x1 y 2 ? 2( y 2 ? y1 ). y1 y2
2( y 2 ? y1 ) ? ? x 0 ? ? 2 ( y ? y ) ? ?1 ? 2 1 ∴? ? y ? x 2 ? x1 ? 1 ? 0 2( y 2 ? y1 ) 2k AB ?
又由(1)知

2 1 1 ? k AB ? ? 2 ? ?3 2, 6 2 k AB

∴1 ? y0 ?

3 2 . 2 3 2 ] 2

因此点 P 在定直线 x ? ?1 上,并且点 P 的纵坐标的取值范围是[1, [解法二]:设点 P 的从标为 ( x 0 , y 0 ) ,则可得切线 PA 的方程是

y ? y0 ? ?

x1 ( x ? x0 ), 2 y1

而点 A( x1 , y1 ) 在此切线上,所以有
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y1 ? y 0 ? ?


x1 ( x1 ? x0 ) 2 y1

x0 x1 ? 2 y 0 y1 ? x12 ? 2 y12

所以有 x0 x1 ? 2 y 0 y1 ? 2 , ① 同理可得

x0 x2 ? 2 y 0 y 2 ? 2.



根据①和②可知直线 AB 的方程为,

x0 x ? 2 y 0 y ? 2
而直线 AB 过定点 N(-2,0) ∴ ? 2 x0 ? 2 ? x0 ? ?1 直线 AB 的方程为 ? x ? 2 y 0 y ? 2, ∴ k AB ?

1 2 y0 2 1 ? k AB ? ,所以有 6 2

又由(1)知

2 1 1 3 2 ? ? ? 1 ? y0 ? 6 2 y0 2 2
因此点 P 在定直线 x ? ?1 上,并且点 P 的纵坐标的取值范围是 [1,

3 2 ]。 2

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶 5. (四川省成都市 08 届 高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 )设双曲线 C: 2
点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲线 C 交于不同的两点 P、Q。 (Ⅰ)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2 Q ? 1 ,求点 T 的坐标; (Ⅱ)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ) 过点 F (1, 作直线 l 与 0) (Ⅱ) 中的轨迹 E 交于不同的两点 A、 设 FA ? ? FB , B, 若 ? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | (T 为(Ⅰ)中的点)的取值范围。 答案:解: (Ⅰ)由题,得 A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0) ,设 P( x0 , y 0 ), Q( x0 ,? y 0 ) 则 A1 P ? ( x0 ?

2 , y 0 ), A2 Q ? ( x0 ? 2 ,? y 0 ).
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由 A1 P ? A2 Q ? 1 ? x0 ? y 0 ? 2 ? 1, 即x0 ? y 0 ? 3.
2 2 2 2

????①

又 P( x0 , y 0 ) 在双曲线上,则 联立①、②,解得

2 x0 2 ? y 0 ? 1. 2

????②

x0 ? ?2

由题意, x0 ? 0, ? x0 ? 2. ∴点 T 的坐标为(2,0) ????3 分 (Ⅱ)设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为(x,y) 由 A1、P、M 三点共线,得

( x0 ? 2 ) y ? y 0 ( x ? 2 )
由 A2、Q、M 三点共线,得

????③ ????1 分

( x0 ? 2 ) y ? ? y 0 ( x ? 2 )
联立③、④,解得 x0 ?

????④ ????1 分

2 , y0 ? x

2y . x

????1 分

∵ P( x0 , y 0 ) 在双曲线上,
2 ( )2 ∴ x ? ( 2 y ) 2 ? 1. 2 x

∴轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). ????1 分 2

(Ⅲ)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故可设直线 l 的方程为

x2 x ? ky ? 1,代入 ? y 2 ? 1 中,得 2

(k 2 ? 2) y 2 ? 4ky ? 2 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0且y 2 ? 0 则由根与系数的关系,得 y1 ? y 2 ? ? 2k k2 ? 2 ??⑤

y1 y 2 ? ?

2 . k ?2
2

??⑥

????2 分

∵ FA ? ? FB,∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

将⑤式平方除以⑥式,得

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y1 y 2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y2 ? k ?2 k ?2
由 ? ? [?2,?1] ? ?

????1 分

5 1 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 0 2 ? ?
????1 分

??

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k2 ? 2 7 7. k ?2

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x 2 ? 2, y 2 ),? TA ? TB ? ( x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) ,? x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 2 . k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x 2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )

15(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

? 16 ?
令t ?

28 8 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 16 k ? 2 2 16 2 7 2 17 2 2 ∴ | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] , ∴ f (t ) ? [4, ]. 16 2 32
2

1 2 .? 0 ? k 2 ? 7 k ?2



∴ | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. 8

6.在平面直角坐标系内有两个定点 F1、F2 和动点 P,F1、F2 的坐标分别为 F1(-1,0), F2(1,0),动点 P 满足

| PF1 | 2 ? , 动点 P 的轨迹为曲线 C,曲线 C 关于直线 y=x 的 | PF2 | 2

对称曲线为曲线 C′,直线 y ? x ? m ? 3 与曲线 C′交于 A、B 两点,O 是 C′的对称中 心,△ABO 的面积为 7 。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求 m 的值。 解:(1)设 P 点坐标为(x,y)则

( x ? 1) 2 ? y 2 ( x ? 1) 2 ? y 2

?

2 , 化简得( x ? 3) 2 ? y 2 ? 8, 2
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所以曲线 C 的方程为 ( x ? 3) ? y ? 8;
2 2

(2)曲线 C 是以(-3,0)为圆心, 2 2 为半径的圆,曲线 C′也应该是一个半径为

2 2 的圆,点(-3,0)关于直线 y=x 的对称点的坐标为(0,-3),所以曲线 C′的
方程为 x ? ( y ? 3) ? 8.
2 2

又 O 是 C′对称中心,则 O(0,-3)到直线 y ? x ? m ? 3 的距离 d 为

d?

| 0 ? (?3) ? m ? 3 | 1 ? (?1)
2 2

?

|m| 2

,

S ?ABO ?

1 1 m2 m2 ? d ? | AB |? ? d ? 2 8 ? d 2 ? (8 ? )? ? 7 2 2 2 2

?

m2 m2 ? 1, 或 ? 7, 2 2

所以, m ? ? 2 , 或m ? ? 14 。

创新试题 1. 如图,已知过点 D (?2,0) 的直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交 2

y P M A D O B

l

于不同的两点 A 、 B ,点 M 是弦 AB 的中点. (Ⅰ)若 OP ? OA ? OB ,求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)求

??? ?

??? ??? ? ?

x

| MD | 的取值范围. | MA |

解: (Ⅰ) ①若直线 l ∥ x 轴, 则点 P 为 (0,0) ; ②设直线 l : x ? my ? 2 , 并设点 A, B, M , P 的坐标分别是

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ), P( x, y) (m2 ? 2) y 2 ? 4my ? 2 ? 0 , ①





? x ? my ? 2, ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2





x





由直线 l 与椭圆有两个不同的交点,可得 ? ? (?4m) ? 8(m ? 2) ? 0 ,即 8(m ? 2) ? 0 ,
2 2 2

所以 m ? 2 .
2

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由 OP ? OA ? OB 及方程①,得 y ? y1 ? y2 ?

??? ?

??? ??? ? ?

4m , m2 ? 2

x ? x1 ? x2 ? (my1 ? 2) ? (my2 ? 2) ? ?

8 , m ?2
2

8 ? ? x ? ? m2 ? 2 , ? 即? 由于 m ? 0 (否则,直线 l 与椭圆无公共点),将上方程组两式相除得, ? y ? 4m . ? m2 ? 2 ?

m??

2y , x
8 8 2 2 , x?? 得 , 整理, x ? 2 y ? 4 x ? 0 ?2 ? x ? 0) . 得 ( 2y 2 m ?2 (? ) ? 2 x
2
2 2

代入到方程 x ? ?

综上所述,点 P 的轨迹方程为 x ? 2 y ? 4 x ? 0 ( ?2 ? x ? 0) . (Ⅱ)①当 l ∥ x 轴时, A, B 分别是椭圆长轴的两个端点,则点 M 在原点 O 处,所以,

| MD |? 2,| MA |?

2 ,所以,
2

| MD | y ?y 2m ? 2 ; ②由方程①,得 y0 ? 1 2 ? 2 , | MA | 2 m ?2
2

所以, | MD |? 1 ? m | y0 ? yD |? 1 ? m

2|m| , m2 ? 2
2 m2 ? 2 , m2 ? 2

| MA |? 1 ? m 2 | y0 ? y1 |? 1 ? m 2

| y1 ? y2 | ? 1 ? m2 2
2

所以

| MD | 2m | | 2 ? ? . 2 | MA | 2 m ?2 1? 2 m
2 ? (0,1) , m2

因 为 m ?2 , 所 以 ?

2 ? (?1,0) , 所 以 m2

1?

所以

| MD | | MD | ? ( 2, ??) .综上所述, ? [ 2, ??) . | MA | | MA |

2. 已知椭圆的焦点是 F1 ( ? 3 , 0) 和 F2 ( 3 , 0) ,离心率为 e ? (1)求椭圆上的点到直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最大值; (2)若 P 在椭圆上, PF1 ? PF2 ?

3 . 2

2 ,求△ PF1 F2 的面积. 3
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?c ? 3, ? 4 ?a ? 2, x2 y2 ? ?a ? 4, 解:设椭圆 2 ? 2 ? 1 ,半焦距为 c,则 ? c 椭圆方程 3 ? ?a 2 ? b 2 ? 3 ? ? 2 a b ?b ? 1 . ? ? ? ? 2 ?a


x2 ? y 2 ? 1 .设椭圆上的点为 P(2 cos? , sin? ) .P 到直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离 4
4 cos? ? 3 sin? ? 8 5 sin(? ? ? ) ? 8 13 ? ? ? 13 , 当 且 仅 当 s in? ? ? ) ? 1 时 取 ( 13 13 13

d?

“=”(其中 tan? ?

4 ),椭圆上的点到直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的最大值为 13 . 3 2 2 2 2 (2) PF ? PF2 ? PF ? PF2 | cos PF , PF2 ? ,又 | F1 F2 | ?| PF1 | ? | PF2 | 1 1 1 3

? 2 | PF1 | ? | PF2 | cos PF1 , PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 4 ,即 12 ? (| PF1 | ? | PF2 |) 2 |
? 2 | PF1 | ? | PF2 ?

2 ? 2 ? 16 ? 2 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ? 2 ?| PF1 | ? | PF2 |? 4 ? cos PF1 , 3 3 3


PF2 ?

1 2

? sin PF1

PF2 ?

3 2



S? ?

1 | PF1 | ? | PF2 | sin PF1 2



PF2 ?

1 4 3 ? ? ? 3 2 3 2 3

五、复习建议 1.加强直线和圆锥曲线的基础知识, 初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和 基本方法。 2.由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容,选择、填空题灵活多变,思维能力要求较 高,解答题背景新颖、综合性强,代数推理能力要求高,因此有必要对直线与圆锥曲线的重 点内容、高考的 热点问题作深入的研究。 3.在第一轮复习的基础上,再通过纵向深入,横向联系,进一步掌握解决直线与圆锥曲线 问题的思想和方法,提高我们分析问题和解决问题的能力。

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